CHAPITRE II. — PIÈCES COURBES EN GENERAL. • 6l

La courbe AB recevra le nom de fibre moyenne de la pièce courbe, par analogie avec la définition, donnée au n^ 12, de la fibre moyenne d'un prisme. De même, nous appellerons fibre élémentaire le volume engendré par un élément superficiel de Faire mobile, pendant une fraction infiniment petite de son parcours.

54. Conséquence de la définition dune pièce courbe. — Ainsi qu'on vient de le voir, dans la définition que nous avons donnée d'une pièce courbe, nous n'avons pas exclu le cas d'une fibre moyenne à double courbure, ni celui des changements d'étendue et de figure de la section transversale, ni, enfin, le cas d'un arc engendré par une aire qui pendant son mouve-' ment le long de la courbe directrice [ne tournerait pas simplement autour d'axes perpendiculaires aux plans osculateurs successifs, mais encore autour des tangentes à la courbe AB, de manière à constituer une espèce de solide tordu. Toutefois ces divers écarts devront être renfermés dans de justes limites et ne pas s'opérer avec rapidité. Lorsque cette ëondition sera remplie, la partie de l'arc comprise entre deux sections infiniment voisines, normales à la fibre moyenne, pourra évidemment être considérée comme très-peu différente d'un prisme droit. De plus, toutes les arêtes de ce prisme auront sensiblement même longueur, car la plus grande dimension de sa base, mesurée parallèlement au plan oscillateur de la fibre moyenne, est petite par rapport au rayon de courbure (n** 55) : hypothèse d'où il résulte que la différence entre la plus longue et la plus courte arête du prisme dont il s'agit, est elle-même une petite fraction de l'élément de fibre moyenne compris entre les deux sections normales qui le terminent.

55. Indication des problèmes à résoudre. — Maintenant que nous avons une idée précise de la pièce dont nous voulons apprécier la stabilité, supposons que cette pièce soit sollicitée par diverses forces extérieures, que sa température vienne à changer; mais que, malgré ces actions diverses, l'équi- Hbre existe toujours, abstraction faite des mouvements nécessaires pour passer d'une position d'équilibre à une autre, qui correspond à Faction de forces différentes. On peut alors se proposer trois, problèmes, dont voici l'indication succincte.

D'abord,, puisque les diverses parties de la pièce restent en équilibre

malgré les forces qui leur sont appliquées, il est clair qu'il doit se développer entre ces parties des réactions mutuelles, tensions ou pressions, nécessaires pour contre-balancer la tendance au mouvement qui est due à l'action des forces extérieures. Le premier problème que Ton peut avoir à résoudre, consisterait dans la recherche de ces pressions et tensions intérieures, en supposant connues toutes les forces extérieures, y compris toutes les réactions que la pièce reçoit des corps voisins.

En second lieu, la forme primitive que nous avons supposée à la pièce, ne se maintiendra pas lorsque les forces agiront et que la température chan- .gera : on sait en effet que la matière ne développe les pressions et tensions dont nous venons de reconnaître l'existence, que par des changements dans les positions relatives des molécules ; on sait aussi qu'une variation de température est toujours accompiagnée de pareils changements. Le second problème aura pour objet la détermination des écarts entre la forme primitive et la forme définitive de la pièce, écarts produits par l'influence des charges et de la température.

Enfin, dans beaucoup de cas, une partie des forces extérieures que nous avons regardées comme connues en énonçant le premier problème, ne sont pas toujours des données immédiates de la question. Il en est ainsi ^ par exemple, des réactions exercées sur la pièce par les appuis qui la soutiennent, les tirants, et généralement tous les corps extérieurs auxquels elle se trouve liée. La détermination de ces réactions, indispensable pour les applications numériques des deux problèmes précédents, constituera le troisième de ces problèmes, que nous allons examiner successivement-

§ IL — Détermination de la tension en un point quelconque de la pièce courbe, lorsque toutes les forces extérieures sont connues.

36. Considérons la partie de la pièce comprise entre deux plans normaux CD et CD' {fig^ i8) très-voisins l'un de l'autre, mais d'ailleurs quelconques ; elle peut être assimilée à un prisme droit dont toutes les fibres élémentaires auraient la longueur MM' (n** 54). Ce prisme reste en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées, et des réactions qu'il reçoit dans les plans CD et CD', de la part des mole-