CHAPITRE II. — PIÈCES COURBES EN GENERAL. G

cules voisines de ces plans ; or les réactions qui s'exercent en CD' constituent nécessairement un système de forces équivalent aux forces extérieures appliquées entre CD' et l'extrémité B, puisque la partie M'B reste aussi en équilibre : il en résulte que le prisme CDC'D' éprouve, dans sa base CD, des actions moléculaires capables de faire équilibre à toutes les forces extérieures qui sollicitent la pièce entre le point M et l'extrémité B. On pourra donc appliquer*, pour trouver l'intensité et la nature de ces actions, la méthode développée au § VI du chapitre I (n"" 51), poui^u que la nature particulière de la question ne rende pas inadmissibles les hypothèses sur lesquelles elle est fondée.

57. Observation sur V étendue de la déformation. — A la vérité, pour appliquer cette méthode, il semble que Ton devrait connaître la forme d'équilibre affectée par la pièce dans son état définitif, produit par la flexion, tandis que l'on ne connaît ordinairement que la forme dans l'état primitif. Mais, dans toutes les constructions jouissant d'une certaine stabilité, ces deux formes sont généralement très-peu différentes l'une de l'autre. En effet, des forces suffisantes pour altérer, par leur action permanente, l'élasticité de la matière ne produisent encore que des allongements ou raccourcissements très-faibles ; et il en est de même des variations de la température atmosphérique. Par exemple, s'il s'agit du fer, on sait que, sous une traction de 20 kilogrammes par millimètre carré, un prisme de fer ne s'allonge que de 0,001 de sa longueur primitive, et il est bien rare que dans les constructions on atteigne cette limite. De même, une variation de température de 3o degrés, relativement à la température initiale, ne produirait qu'une dilatation ou contraction de o°*,ooo366 par mètre de longueur. Pour d'autres matières que le fer, les chiffres changeraient, mais les conclusions resteraient les mêmes. Par conséquent, chaque fibre élémentaire variant très-peu en longueur, il est assez naturel d'admettre que la pièce elle-même ne se déformera pas beaucoup.

Toutefois nous ne chercherons pas à dissimuler que ce raisonnement n'est pas entièrement rigoureux. Si l'on considère une pièce très-grande, de petits changements de longueur de toutes les fibres élémentaires peuvent, en s' accumulant, produire des effets sensibles siir la forme générale de la

pièce. Mais alors, pour ne pas nous engager dans des calculs que personne n'a tentés jusqu'à présent, nous serons forcés de comprendre le fait dont il s'agit parmi les données et hypothèses de la question : le raisonnement que nous avons présenté aura du moins pour résultat de montrer que cette hypothèse est plausible et qu'elle doit en effet se vérifier dans la plupart des cas. En conséquence, nous admettons que la pièce fléchie diffère infiniment peu, quant à la forme et aux dimensions, de la pièce dans son état primitif. Dès lors il n'y aura aucune difficulté pour calculer ou construire géométriquement les éléments à introduire dans les formules mentionnées au n° 51 , au moyen desquelles on déterminera la tension en un point quelconque de la section CD. La question reviendra évidemment à trouver la tension développée en chaque point de la section d'un prisme connu, sous l'action de forces connues, problème qui a été résolu en détail dans le chapitre I.

§ III. — Recherche de la déformation de la fibre moyenne. Détermination

des forces inconnues.

58. Construction approximative de la fibre moyenne déformée. — On suppose toujours connues toutes les forces extérieures qui agissent sur la pièce donnée dans son état primitif; on donne de plus la différence entre les températures dans l'état primitif et dans l'état final. On demande la forme qui sera définitivement affectée par la fibre moyenne. Voici comment on peut concevoir la solution du problème ainsi posé :

Ayant placé à volonté {fig- ^ 9) ^^ première section normale CD (celle qui termine l'arc à une de ses extrémités), on mènera à une distance AB, que nous supposerons d'abord infiniment petite, la seconde section EF, dans la portion qu'elle occuperait relativement à la première, s'il n'y avait pas de déformation. L'intensité, la direction et la position des forces P qui agissent depuis CD jusqu'^à l'autre extrémité de la pièce étant connues, puisque l'on néglige l'influence du changement de forme sur la position des forces (n*" 57) , on pourra tracer Taxe neutre dans la section EF (n"* 19) : la position définitive E'F' du plan EF devra contenir cette ligne. Il suffira donc de connaître encore un point de E'F'. Or on peut aisément déterminer le point B', position définitive de l'extrémité B de la fibre élémentaire moyenne AB.