CHAPITRE II. — PIECES COURBES EN GENERAL

En effet, appelons :

N la somme algébrique des projections des forces P sur la direction AB, considérée comme sens positif;

A le coefficient de la dilatation linéaire produite par la variation de température, ou, plus généralement, par des causes étrangères aux charges (*) ;

(T la longueur AB ;

(ù Tun des éléments de la section EF ;

E le coefficient d'élasticité de la fibre élémentaire qui a cet élément pour base;

2 une somme étendue à tous les éléments ai.

Nous aurons, en ne tenant compte d'abord que de l'action des forces,

Nff un allongement égal à g^— > en sorte que la longueur tr deviendrait

cr r 1 -H ^g— j ; mais à cause de la dilatation linéaire dont le coefficient est 7^,

il faut encore multiplier cette quantité par i -h A, ce qui donne définitivement

N OU bien, à cause de la petitesse de ^p— et de A,

car on peut négliger h ^^r- ^ qui est comme un infiniment petit du second ordre.

Ainsi donc, le point B' et partant le plan E'F' se trouvent déterminés. On passera de même de la seconde section E'F' à une troisième, et ainsi de suite. Ayant construit de cette manière la nouvelle figure de la pièce dans une position arbitraire, on la ramènera à sa position réelle, d'après les conditions particulières de la question : ce sera quelque chose d'analogue à la détermi-

(*) Indépendamment de Teffet produit par le changement de température, la pièce peut être, en quelque sorte , dilatée artificiellement par une opération de pose , le calage , dont nous parlerons plus loin. L'humidité peut également agir sur les arcs en bois.

nation des constantes aibitraires, après Tintégration d'une équation différentielle. Par exemple, si la position de certains points ou la direction de certains éléments de la fibre moyenne sont connues d'avance, on placera la pièce déformée de manière à ce que ces points ou ces directions soient bien ce qu'on sait à priori qu'ils doivent être.

La construction qui vient d'être indiquée n'est plus applicable quand l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section ; mais alors la détermination du plan F/ F' pourrait être complétée en cherchant l'angle y qu'il fait avec EF (n** 24), angle dont l'expression est, comme on le sait.

Ma

g étant le moment d^ineitie de la section EF (n° 12), et M le moment de la force N relativement à la ligne de niveau (n'' 16) qui passe au centre de gravité.

Dans les applications, au lieu de distances infiniment petites, telles que AB, on pourrait prendre des fractions finies, mais très-petites, de la longueur totale de la pièce, ce qui donnerait lieu à ime construction approximative. Toutefois le procédé qui vient d'être indiqué est bien moins un ensemble d'opérations réalisables, qu'une conception de l'esprit propre à faire comprendre la possibilité de résoudre le problème, en traduisant par les signes de l'algèbre les diverses constructions géométriques. Nous devons ajouter qu'on se trouverait conduit de cette manière à des calculs d'une extrême complication, à cause de la multiplicité des variables que l'on aurait à y introduire. Aussi nous contenterons-nous de ces indications succinctes, nous réservant de donner de plus amples détails dans le chapitre suivant sur le seul cas qui intéresse la pratique.

59. Détermination des forces inconnues. — La solution du troisième problème général, consistant dans la détermination des forces inconnues qui sollicitent une pièce courbe^ est intimement liée avec celle du problème précédent, ainsi qu'on le verra plus tard, quand nous nous occupei ons de cas plus restreints. Il nous serait fort difficile de le traiter dans toute sa généralité sans tomber dans le vague et l'obscuiité, précisément parce que la solution du second problème n'a pas été elle-même complétée et poussée jusqu'au