CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

niveau (n** 19); par conséquent, elle se trouve conjuguée, dans l'ellipse centrale d'inertie de la section CD', du diamètre passant par le centre des tensions. Mais, d'un autre côté, toutes les forces extérieures qui agissent sur la pièce entre M' et l'extrémité B, étant réductibles, par hypothèse, à une ou deux forces dans le plan de la fibre moyenne, le centre des tensions ne peut se trouver que sur la ligne d'intersection de ce plan avec le plan CD', ligne qui est un diamètre de l'ellipse centrale, puisque M' est le centre de gravité de CD' (n** 55). Donc ce diamètre et son conjugué sont perpendiculaires entre eux, caractère qui n'appartient qu'aux axes principaux. Donc enfin la condition que nous voulions établir, consiste en ce que la ligne suwant laquelle cliaque section normale coupe le plan de la fibre moyenne, doit être axe principal d'inertie au centre de gravité de cette section.

Cette condition est d'ailleurs suffisante ; car, si elle est remplie, on en conclura, comme conséquence immédiate, que, dans toutes les sections normales, les lignes de niveau sont perpendiculaires au plan de la fibre moyenne : donc les plans normaux successifs de la fibre moyenne déformée se coupent suivant des perpendiculaires au plan dans lequel cette fibre était primitivement contenue, ce qui exige qu'elle n'en soit pas sortie, ou tout au moins qu'elle soit restée dans un plan parallèle.

Nous supposerons désormais remplie la condition dont nous venons de parler. Nous aurons ainsi un cas restreint dans le problème général de la flexion et de la résistance des pièces courbes; mais ce cas n'en sera pas moins assez étendu pour comprendre à peu près toutes les questions de ce genre que l'on peut rencontrer dans la pratique. Aussi allons-nous le traiter avec un certain développement, sans cependant faire aucune hypothèse sur la forme primitive de la fibre moyenne et sur les forces, en dehors de celles que nous avons énoncées au commencement du n*' 40. Nous aurons encore, comme au chapitre II, à traiter trois problèmes généraux.

41 . Recherche de la tension d'un élément quelconque de la fibre moyenne, lorsque les forces extérieures sont données. — Si l'on considère une section normale quelconque CD [fig> 1 8), on a vu au n*" 56 que les actions moléculaires développées dans cette section doivent faire équilibre aux forces extérieures qui agissent entre le point M et l'extrémité B de la pièce; on a

yO FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

VU de plus que ces actions pouvaient être déterminées comme s'il s^agissait d'un prisme ayant pour base la section CD, et soumis aux mêmes forces.

En conséquence, projetons toutes ces forces sur la normale à CD ou sur l'élément de courbe MM' prolongé ; donnons le signe -h à toutes les projections qui agissent dans le sens de M vers M', et le signe — aux projections qui agissent en sens contraire : nous nous serons ainsi conformé à Tune des conventions des n°* 14 et 18, car il est clair que les premières forces tendent à séparer les deux portions de la pièce réunies en CD, tandis que les autres tendent à presser ces portions Tune contre l'autre. Appelons :

N la somme algébrique des projections des forces, obtenues ainsi qu'il vient d'être dit;

ea l'un des éléments superficiels de CD ;

E son coefficient d'élasticité ;

E^ la valeur particulière de E au centre de gravité;

2 une somme étendue à tous les éléments œ.

La tension q^ de la fibre moyenne, par unité de surface, sera, d'après l'une des six formules données dans le chapitre P% la formule (i) par exemple

(nM4),

NE

cette valeur exprimera une tension proprement dite, lorsque N sera positif; dans le cas contraire, l'élément MM' sera en réalité soumis à une pression dont la formule ci-dessus donnera la valeur rapportée à l'unité de surÊice. La recherche de la force N peut être effectuée par le calcul, en multipliant chaque force comprise entre les points M et B par le cosinus de l'angle aigu ou obtus qu*elle fait avec la direction MM' prolongée. La force étant considérée comme positive, le cosinus donnera au produit le signe qu'il doit avoir. On peut encore faire usage du calcul sous une autre forme. Soient a et j3 les angles que la direction MM' (prise dans le sens de M vers M') fait respectivement avec les directions positives de deux axes rectangulaires tracés dans le plan de la fibre moyenne ; soient X et Y les deux composantes de l'une des forces, suivant les deux mêmes axes, ces composantes prenant un signe, conformément aux conventions ordinaires. La projection de la force considérée