CHAPITRE III. — PIECES COURBES A FLEXION PLANE. Jl

sur MM' sera égale à la somme des projections de ses composantes, ou bien

à X cos a -h Y cos ^ ; donc en désignant par 2 ^^^ somme étendue à toutes les forces qui agissent sur la partie MB, on aura

N = y ^ (X cos a -h Y cos (3).

42. Construction géométrique de la force N et des centres des tensions, — Nous indiquerons aussi une construction géométrique pouvant remplacer les calculs qui ont pour objet la détermination de la force N.

Après avoir partagé la fibre moyenne M^M„ {fig- 20) en intervalles égaux ou inégaux M^>M,, M, M,, M^M^, etc., auxquels correspondent les sections normales CoD^, C,D,, C^D,, C3D3, etc., supposons qu'on ait pu facilement réduire à une seule force toutes celles qui agissent entre deux sections consécutives, et qu'on ait obtenu de cette manière les forces F, , F,, F3, F^, etc. ; supposons de plus que, dans la section extrême C^D^ (mais non pas nécessairement au centre de gravité M^), agisse la force R^. On mènera par un point O arbitraire la ligne OR^ parallèle et proportionnelle à la force R^ , et dans le même sens ; par le point R<, on mènera RgRi parallèle à la force F, , et Ton prendra la longueur RoRi proportionnelle à la force F, et de même sens. On continuera de la même manière à construire le polygone R^,R^ R^Rj . . . , dont les côtés successifs représentent en intensité, en direction, en sens, et aussi dans leur ordre, les forces F, , Fj,, F3, etc. Les propriétés bien connues du polygone des forces montrent immédiatement que les lignes OR^, OR,, ORj, etc. , représentent à la même échelle, en intensité, direction et sens, les forces totales qui agissent respectivement sur les sections G^D^,, G^D,, GjDj, etc. Il ne restera plus, pour avoir N, dans une section quelconque, C3D, par exemple, qu'à projeter la résultante OR3, qui lui correspond, sur la tangente en M,, le sens positif de la projection étant de M3 vers Mj,. On trouverait ainsi pour N3 la valeur Or,, qui, dans le cas de la figure, devrait prendre le signe — .

Il nous sera utile par la suite d'avoii' non-seulement chaque résultante en grandeur, direction et sens, mais d'avoir aussi sa position réelle dans le plan. Or rien n'est plus facile, quand la construction précédente est effectuée.

Par le point K^>, où la première résultante Ro coupe la première force F,, on mènera K^K, parallèle à OR^ : cette ligne K^K^ coïncidera avec la position véritable de la seconde résultante OR, , car cette résultante doit passer par le point de rencontre de R^, et de F,. De même, parle point K, , où la résultante dirigée suivant K^K, coupe la seconde force F,, on mènera K^ Kj parallèle à OR^, jusqu'à la rencontre de F, ; puis par K^ la parallèle KjK, à OR3, et ainsi de suite. Les différents côtés du polygone ainsi formé ne seront autre chose que les résultantes successives, rétablies dans leur position véritable; et puisque l'on en connaît la grandeur et le sens, elles seront entièrement connues.

On déduira donc aisément de là le centre des tensions dans une section quelconque. On sait en effet que ce point est l'intersection de la résultante qui correspond à la section dont il s'agit, avec le plan de cette section : ainsi pour la section C^ D^ on aura le centre des tensions H^ déterminé par la rencontre de la résultante R^, dirigée suivant K3 K^, avec la trace C^ D^ du plan de la section sur le plan de la fibre moyenne, qui est en même temps celui de la figure. On aurait d'une manière semblable les autres centres de tensions M ^, H,, H^, H,, etc., dont le lieu géométrique constitue ce qu'on appelle communément la courbe des pressions. Il n'est peut-être pas sans utilité de faire remarquer que si les forces F,, F^, F,, etc., ne provenaient pas d'une charge répartie d'une manière continue sur la longueur de la pièce, et si dans une section, telle que C^ D^ par exemple, agissait une force finie qui ne se subdivise pas en une infinité de forces élémentaires distribuées sur ime certaine étendue à droite et à gauche de Cj, D^, alors la courbe des pressions présenterait une discontinuité. On aurait d'abord une première branche, telle que M^jH^H^; puis, la dernière résultante se combinant avec la force isolée qui agit en un point de Cjj D^, le centre des tensions passerait brusquement de H^en un autre point H'2, d'où partirait une seconde branche de courbe continue, allant jusqu'à une autre section dans laquelle une nouvelle force finie produirait ime nouvelle discontinuité.

45, Recherche de la tension en un point quelconque d'une section normale donnée. — Il s'agit maintenant de compléter la recherche indiquée dans les précédents numéros de ce paragraphe, en donnant le moyen de con-