CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE. y

naître, dans une section normale choisie à volonté, la tension de toute autre fibre que la fibre moyenne dont nous nous sommes seulement occupé jusqu'à présent. Pour cela nous continuerons à faire usage de la considération présentée au n^ 56 et rappelée au commencement du n° 41 : nous serons ainsi ramené à trouver la tension en im point de la section droite d'un prisme, connaissant déjà la tension de la fibre moyenne.

Prenons par exemple la section CD {fig- i8). Nous savons que les actions moléculaires développées dans cette section, que nous regardons comme la base du prisme infiniment petit CDC'D', doivent faire équilibre aux forces extérieures, supposées connues, qui agissent sur la partie MB de la pièce. Nous avons vu tout à l'heure comment on détermine la somme algébrique N des projections de ces forces sur la normale à la section, soit sur l'élément MM' prolongé ; et même nous savons que leur résultante vient couper CD en un point H qui est le centre des tensions, et que nous avons appris à construire. Cela posé, nommons :

if^ la distance MH;

ç la distance d'un élément quelconque de la section à l'axe perpendiculaire en M au plan de la fibre moyenne, c'est-à-dire à la ligne de niveau qui passe par la fibre moyenne, dans la section CD (n° 40) ;

G le rayon de giration de la section CD autour de ce même axe, et g le moment d'inertie correspondant ;

M la somme des moments des forces agissant sur la partie MB, par rapport au même axe;

N , û) , E , 2 les quantités désignées par ces notations au n** 41 ;

q la tension positive ou négative , par unité de surface , de la fibre élémentaire ayant o) pour base.

On aura (n** 17)

NE / . i^u,\

ou bien

NE MEt/ ^ — ZEw"*" e

Ce sont les formules (5) et (6), qui s'appliquent immédiatement ici.

No«is avons expliqué au n° 18 quelles règles on devait suivre pour donner des signes aux quantités algébriques N, M, i^, v^. Il est inutile de les rappeler ici. Seulement nous ferons observer que, comme nous sommes libres d'adopter tel sens positif que nous voudrons pour la variable Vj nous la compterons positivement en allant de M vers D, c'est-à-dire en nous éloignant du centre de courbure de la fibre moyenne à partir du point M , et négativement en sens contraire. Dès lors, le moment M qui remplace Ni^^ devant être pris positivement quand N et (^, sont positifs, on voit que M devra prendre le signe + dans le cas où ce moment tendrait à produire une rotation qui amènerait les i^ positifs sur la direction positive de N, ou bien sur MM' prolongé. Dans le cas de la figure, M serait positif pour un sens de rotation dirigée comme celle des aiguilles d'une montre, de gauche à droite : il serait négatif dans le cas contraire. En se conformant à ces conventions (et à celles qui concernent N, comme nous l'avons fait ci-dessus) , le signe Het le signe — , dont se trouveront affectées les valeurs numériques de gr, indiqueront respectivement une tension et une pression.

Nous avons indiqué (n®* 41 et 42) des procédés pour calculer ou construire géométriquement N , et nous avons également donné une construction géométrique pour trouver le centre des tensions ; on a donc déjà tous les éléments entrant dans la première des deux formules qui font connaître q^ si d'ailleurs la section considérée est complètement définie et qu'on puisse calculer E, 2 Eu), g. Donnons ici quelques détails sur les procédés qu'on peut employer pour obtenir la valeur de M.

Cette quantité n'étant autre chose qu'une somme algébrique des moments de diverses forces par rapport à un point du plan dans lequel elles se trouvent, il suffira de savoir comment on déterminerait le moment de l'une d'elles. Rien de plus facile si Ton donne son intensité et sa distance au centre des moments. Si elle est définie par ses deux composantes X, Y, suivant deux axes rectangulaires, et par les coordonnées ^, « de son point d'application ; les coordonnées du centre des moments étant d'ailleurs a?, j, ou sait que l'expression analytique du moment est ± [X(w — j) — Y{^ — x)] ; par conséquent, en réunissant tous les termes analogues, on aura