CHAPITRE III. — PIECES COURBES A FLEXION PLANE
Le signe dépendra du choix des axes coordonnés; dans le cas de la^g*. i8, ce serait le signe -h qu'il faudrait prendre, car si l'on a X positif et ti > J^ on voit que le moment de X tendra bien à faire tourner de gauche à droite, comme tournent les aiguilles d'une montre.
44. Construction géométrique pour déterminer la tension en un point quelconque d'une section dans laquelle le coefficient d'élasticité ne varie pas. — Lorsque le coefficient d'élasticité ne varie pas d'un point à l'autre d'une section normale, et que la construction géométrique du n^ 42 a été exécutée à une échelle suffisamment grande, il est aisé d'en déduire les valeurs de q en la complétant comme il suit :
Soient CD (yîg*. 21) la projection de la section normale considérée sur le plan de la fibre moyenne, M le point où cette fibre coupe le plan CD, -h MC et — MD les valeurs extrêmes de la variable v dans la section, H le centre des tensions. En conservant les notations des n^* 41 et 45, on aura, par suite de la constance de E ,
9 = 2^V+gO'
Pour représenter géométriquement cette quantité, on élèvera ME perpendiculaire à CD et égale à G ; on joindra HE et on mènera EK perpendiculairement à cette ligne : K sera la projection de l'axe neutre, car
ME
MK = ^^=— (nM9).
HM •'f ^ '
Donc la tension par unité de surface en un point quelconque projeté au point L sera proportionnelle à la distance LK (n"* 20) ; donc si l'on prend une distance MP pour représenter à une échelle quelconque la tension £— de la fibre moyenne en M, que Ton joigne PK, la tension en L sera
représentée à la même échelle par la ligne LQ parallèle à MP. Par conséquent le plus grand effort aurait lieu en C et le plus petit en D, dans le cas de la figure ; et les valeurs de ces efforts seraient représentées par CR et DS. Il est à peine besoin de remarquer que, dans la formule précédente, G^2a> doit être le moment d'inertie de la section relativement à l'axe projeté
y G FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.
sur le point M, ce qui détermine G*. Nous voulons parler ici du moment d'inertie tel qu'il est ordinairement défini dans les ouvrages sur la résistance des matériaux, c'est-à-dire calculé en supposant la densité de la surface constante et égale à l'unité. Nous ajouterons encore que si le point K tombe en dehors des points G et D, cela montre que toutes les fibres supportent des actions de même nature, tandis que le contraire arrivera si K est entre G et D (n"* 20). Enfin, il n'y aura pas d'incertitude sur la nature de ces divers efforts, puisque l'on sait reconnaître par le signe de N s'il y a pression ou tension au point M de la fibre moyenne (n** 41).
§ IL — Exemples numériques de la détermination des tensions en un
point quelconque d'un arc.
45. Premier exemple : Pont de Brest, projet de M. Tritschler. — Voici maintenant deux exemples de la détermination numérique des tensions dans une section donnée d'un arc, toutes les forces extérieures étant supposées connues, et le coefficient d'élasticité étant regardé comme constant.
Le premier de ces deux exemples se rapporte à un projet de pont qui avait été fait pour la ville de Brest, par M, Tritschler, architecte. Le pont devait être soutenu par deux arcs en tôle à fibre moyenne circulaire, placés en amont et en aval. L'ensemble de ces deux arcs présentait une section rectangulaire de 3 mètres de hauteur sur une largeur réduite de 0^,048 (*) : ce nombre, plus petit que la largeur réelle, tient compte, par aperçu, des é videments qui étaient pratiqués dans la tôle. Les arcs présentaient donc une section de 1 44000 millimètres carrés, ayant par rapport à la ligne de niveau d\i
centre de gravité un rayon de giration égal à y — • 3* (j^*' ^)> soit à - y/S.
La fibre moyenne était un arc de cercle de 55 mètres de rayon et 40 mètres de flèche : d'où l'on conclut aisément que la ligne des naissances, ou la corde, avait pour longueur io5™,83.
La charge n'était pas répartie d'une manière tout à fait uniforme. En prenant de part et d'autre de la verticale BG du centre {Jig. 22)' une longueur
(*) Nous n^entendons pas donner très-rigoureusement ici les nombres du projet; il s'agit simplement d*un exemple d*application de la théorie.
