CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

CD, CD', et qu'après la déformation ou ramène CD dans la position primitive, on a déjà vu (n® 40) que CD' prendrait une nouvelle position c^ d\ normale à la fibre moyenne déformée. L'angle de CD' avec c' d! sera celui

w oftj -1 • M. arc MM' Mrf.î que nous avons appelé 7 au n"" 24 : 11 a pour expression ou

D'un autre côté, cet angle est aussi égal à c' FC — CEC, c'est-à-dire qu'il représente la quantité dont la flexion accroît l'angle rfa qui existait primitivement entre CD et CD'. Donc on pourra poser l'équation

(8) • Arf« = ^,

dont l'intégration fera connaître Aa.

Nous avons démontré l'équation (8) avec une certaine disposition de la figure; mais on peut aisément reconnaître, par des vérifications directes, qu'elle ne subira aucune modification dans les autres cas, pourvu que l'on compte les angles a et les longueurs s conformément aux conditions suivantes : i"* a et ^ augmenteront en même temps; 2° le sens, regardé comme positif pour le moment M, devra tendre à produire une augmentation de or. Ainsi, dans le cas de la fig^ iS, un moment positif M amènerait l'axe des r sur l'axe des x (n® 45) ; a devra donc aller en augmentant de A en B, et, par suite, il faudra regarder comme négatifs les angles comptés à gauche de la ligne fixe RS.

49. Variation différentielle de V abscisse et de l'ordonnée d'un point quelconque. — La série de Taylor donne immédiatement les deux égalités suivantes :

cos

-+rA«)

cos a

— siufltAa

cos a

Aa»

sin

+ Aa)-

sin a

cosa Aa

sin a

Aa« f .

sma

cos a

Comme A a est très-petit, par suite de ce que nous avons dit sur la petitesse des déformations, on peut se contenter en général de prendre le premier terme de chaque développement, ce qui donne

A cos a = — sin a A a, A sin a = cosa A<9:.

Or supposons que l'on ait pris l'axe des y parallèle à la normale à partir de laquelle on compte les angles a, on aura, en choisissant convenablement le sens des x et des j positifs,

Donc

dx . dr

cos a == -y-, sm a = — -f^ds ds

^ dx dy ,

dy dx

ds ds

Le signe A exprimant un petit accroissement, on peut encore appliquer la formule qui donne la différentielle d'une fraction, et l'on aura

ds.Adx — dx.Ads dy

Il- = 57^*'

ds.Ady — dy.Ads dx ^

ds' ' — Â ^'^•

Nous avons donné au n^ 38 l'expression de la quantité dont varie la longueur d'un élément MM' de la fibre moyenne : c'est MM' (^g — ^~^)• Ainsi l'on a

b.ds = rf^ T- 4- aV

Substituant cette valeur dans les deux équations précédentes, et résolvant par rapport à b.dx et à ^dy^ on trouvera

(9) ^dx = rf)^ Aa H ctr H- Afltr,

(10) Arfy = — ctrAaH — dy-^-T^dy.

En intégrant ces formules, on aura Ao? et Aj; par conséquent on aura complètement résolu le problème consistant à déterminer la nouvelle forme de la fibre moyenne, puisque l'on connaîtra les nouvelles coordonnées de l'un quelconque de ses points. Nous allons donner quelques détails sur cette intégration.

50. Intégration des formules précédentes. — Il n'y a rien de particulier