CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE
à dire au sujet de la formule (8). Si M, g et ^ sont exprimés au moyen d'une seule variable, x par exemple, et que pour ^ = j:^ on ait Aa = Aa^, on pourra poser
{S bis) A« = Aao-h f j-j^^x.
Lorsqu'il y aura des forces finies appliquées en certains points de Tare, dont les abscisses sont ^^, x^, x^, etc., M sera une fonction qui change de forme à chacun de ces points. Supposons que M soit représenté par M, entre x^ et x^ , par M^ entre x^ et x^^ par M, entre x^ et 0^3, etc. ; on devra poser
A«=A«,+ [ --dx+j^ ^-dx+j^^ __^+..,;
formule qui n'exprime pas autre chose que la précédente, mais qui montre explicitement comment le calcul analytique de l'intégrale devrait être dirigé.
Les formules (9) et (10) semblent devoir donner Aa; et Aj au moyen d'une double intégration, puisqu'il faut déjà en faire une première pour avoir A a, qui entre dans les expressions de Ado? et ^dy. Mais en procédant comme il suit, on n'aura à calculer que des intégrales simples.
D'abord, on intégrera par parties les quantités dy Hol et dxàcc^ et l'on
trouvera
fdfA(x=jrAa — ffàdot,
J dx ^a=s^ xùitx, — J x^du, ou, en vertu de la formule (8) ,
Jdfàûc =yÛLa —J -^ ds, 1 dx/ia = *r Aa — | — ds.
Substituant ces valeurs dans les intégrales des formules (9) et ( 10), on auia Aa7=jAa — / -^ûty-+-l— cteH-AoT-h const., Aj = — xàûc -hj — ds-^ j -«ïr-+-^/ + const. ; formules dans lesquelles il n'entre plus que des intégrales simples.
On peut encore donner à ces formules une autre forme. Prenons les intégrales à partir d'une limite déterminée qui répond k x = x^, et substituons pour A a sa valeur ; cela nous conduira aux équations ci-après :
A^ — Aa', = (j — j,)Aa,+jjf ^^dx—£ ^^dx
Aj — Ajo = — (•ï'' — ^o)Aao — ^J^ T^ "^J, — "^
dx
■^ITâ'^^Hr-y,)-
Toutes les intégrales définies qui entrent dans chacune des deux formules peuvent être réunies en une seule. A cet effet, on observera que, sous le signe /, les lettres x et y désignent des quantités qui varient entre x^ et x ou entre /© ^t J? tandis qu'en dehors ce sont les coordonnées d'un point déterminé. Donc si, pour éviter la confusion, on met un indice aux lettres qui sont sous le signe f et qui sont fonction de la variable par rapport à laquelle on doit faire l'intégration, on pourra poser
(lo bis)
àx — ^x, = (j — 7,) Aa, + A (a; — or J
àr — A7, = — (^ — a:;)A«. + A(j— r,)
Il y aurait lieu de reproduire ici, au sujet des intégrales définies, une remarque analogue à celle que nous avons faite à propos de l'équation {8 bis).
51. Remarque sur la signification des ternies qui entrent dans les expressions de ^x et ày, — 11 y a un certain intérêt à se rendre compte de la signification particulière de chacun des termes qui entrent dans les expressions de A a? et de A/.
Soit A {fig. 1 8) le point dont nous avons appelé les coordonnées x^ etjr^j et dont la section normale tourne de l'angle Aa^. Supposons que l'arc
