CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

entier participe à ce mouvement angulaire sans changer de forme ; alors un point quelconque G, répondant aux coordonnées x et/, viendra en G', et Ton aura

GG' = ÂG.Aao.

Par suite, en projetant GG' sur les axes des x et des /, et appelant' 7 et S les angles de GG' avec ces axes, on trouve

GG' = ^x = AGcosy.^a, = {x—f,)^cc,,

— G'G'' = Aj = — AG cos S . Aa, = — (a: — a;,) Aao-

Ainsi l'on voit que les termes (y — j^) ^^0» — (^ — ^o)^^o sont les déplacements qui correspondent à une rotation Aa^ autour du point {x^yj^)^ d'amplitude égale à l'angle dont tourne la section normale passant par ce point.

On n'éprouvera pas plus de difficulté pour interpréter la signification des termes — * ( J — Ji) 2^ ^i» — {^^ — ^) jz- ^^i q^i constituent les éléments de deux intégrales définies entrant dans les formules {q bis) et {10 bis). Ces expressions reviennent à (j" -^ jjArfa, et — {x — x^)^da^: par conséquent elles représentent l'effet que produirait sur x ely une rotation Arfa, autour d'un point {x^ , /,) intermédiaire entre le point considéré et le point (.r^, y^). Chaque rotation d'une section normale relativement à la précédente, ou, si l'on veut, chaque rotation d'un élément de fibre moyenne autour de son point de jonction avec celui qui précède, produira un effet analogue, et la somme ou l'intégrale de ces effets isolés sera exprimée par lés deux quantités

L'élément ds^ de fibre moyenne éprouvant, par suite des forces et des autres causes (telles que la chaleur), une variation ^ds^ exprimée par

ds^ ( ^ ■+■ 7^ )> P^ ^^ f^^* ^^^ ^^ coordonnées d'un point situé à la suite de

ds^ varieront respectivement de dx^ (ah '\ et ^1(^ + 7^)' Les

go FLEXION ET RlÊSISTANCE DES PIECES COURBES.

— dx^ et A(j — Jo) "+■ I ~S^^< ^^"^

TefFet total qui résulte de la superposition des variations produites par tous les changements de longueur des éléments de la fibre moyenne, depuis le point (o?^, jj jusqu'à celui -dont on cherche les déplacements ^x et Aj.

x\ tous les déplacements partiels dont nous venons de nous occuper il faut encore joindre ùlx^^ Aj^, c'est-à-dire celui du point qui sert d'origine à l'intégration.

En résumé, l'analyse précédente montre les diverses causes qui influent sur le déplacement d'un point de la fibre moyenne, savoir : le changement de direction de la première section normale, et sa translation ; le changement d'inclinaison relative de chaque section par rapport à celle qui la précède; enfin, les variations de longueur de la fibre moyenne. Elle montre de plus un fait auquel on devait s'attendre à priori, à cause de la petitesse des déplacements dont il s'agit : c'est que l'effet total et la somme des effets partiels se produiraient si chaque cause agissait isolément, en sorte qu'elles ne sont pas influencées les unes par les autres. Ce fait a de l'analogie avec une propriété de la différentielle d'une fonction où entrent plusieurs variables.

52. Des constantes arbitraires introduites par V intégration. — Les intégrations que nous venons d'effectuer ont introduit dans les formules (8 his)^ (9 bis) et (10 bis) trois constantes Aa^, Aj:^, Aj^ qu'il faut pouvoir déterminer pour que ces formules soient susceptibles d'être appliquées à la solution des questions pratiques. Cette détermination peut évidemment donner lieu à une foule de problèmes, suivant les conditions particulières qui seront imposées. Nous nous contenterons d'en indiquer quelques-uns dont l'application se rencontrera fréquemment.

Le cas le plus simple serait celui où la pièce aurait en A {fig* 18) nonseulement un appui fixe, mais encore un encastrement qui rendrait sa direction invariable. Alors, en prenant ce point pour l'origine de l'intégration, on aurait

Aa, = 0, Aa, = 0, Aj, = 0.

Si les intégrales définies étaient prises à partir du point A , mais que l'en-