CHAPITRE III. — PIÈGES CQURBES A FLEXION PLANE. Qt

castrement et l'appui fixe fiissent ailleurs, eu uo point (a?', j') par exemple, on exprimerait que pour ce point Aa, A^, Aj sont nuls, et l'on aurait

Nous avons supprimé ici, comme inutiles, les indices qui distinguaient les variables sous le signe /, dans les formules (9 bis) et (10 bis). On déduit de la première relation

puis, substituant cette valeur dans les deux autres, on trouve

Ajo = - A (/- J.) -£' [(•« - ^.) ? è + 7 è] ^-

Supposons maintenant le cas très-ordinaire, presque le seul cas pratique, dans lequel les deux extrémités reposent simplement sur deux appuis fixes. Prenons l'un de ces appuis pour origine des coordonnées, la ligne qui les joint pour axe des x; désignons leur distance par 2a. En appliquant au second appui la formule qui fait connaître A/, supprimant encore les indices sous le signe /, et chobissant l'origine des coordonnées pour origine des intégrations, on aura

d'oi

o = - 2 a Aa, -h J^ ^{x-!ia)j^-^^^^dx = o, ** J^ \Ta ) e dx iaedx\ '

ce qui résout la question, car Lx^ et Ly^ sont nuls. Si l'on prenait d'autres axes des x et des /, cette formule changerait : mais on ramènerait aisément

la.

le problème aux termes que nous avons adoptés , par une simple transformation de coordonnées. C'est un détail auquel il est inutile de s'arrêter.

Enfin nous considérerons le cas où la fibre moyenne aurait un point fixe, et un élément dont la position changerait par la flexion, mais dont la direction serait déterminée à priori. C'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'un arc symétrique par rapport à une ligne est symétriquement chargé de chaque côté de cette ligne. Il est clair que la symétrie doit subsister après la flexion, et par suite la direction de l'élément situé sur l'axe de symétrie ne doit pas changer. Dans cette circonstance, on pourrait procéder ainsi qu'il suit. On prendrait pour axe des ce une ligne quelconque passant par le point fixe, et pour axe des jr une perpendiculaire menée par le point où l'on connaît la direction de la fibre moyenne. Ce dernier point étant pris pour Tune des limites {x^^ jj ^^ intégrales définies, on aura d'abord, par hypothèse, Aa^ = o. Ensuite, si l'on appelle a l'abscisse du point fixe, les équations {g bis) et {lo bis) appliquées à ce point donneront, en continuant à supprimer les indices sous le signe /,

Dans le cas plus particulier où l'on supposerait une symétrie complète comme celle que nous donnions tout à l'heure pour exemple, on pourrait prendre la direction de l'axe des x de telle manière que l'axe des y fût la ligne de symétrie elle-même. Alors on aurait Aa^ = o, Aa:^, = o, et l'équation qui donne Aj^ ferait connaître la quantité dont varie la flèche de l'arc.

55. Du nombre de condàions nécessaire pour déterminer les constantes introduites par l'intégration. — En général, on voit que, puisqu'il y a trois constantes Aa:^,, Aj^, Aa^, il sera nécessaire d'avoir trois conditions pour les déterminer. La connaissance de la direction que doit avoir l'un des éléments de la fibre moyenne fléchie, compte pour une condition ; un point fixe compte pour deux; un point qui serait assujetti à* rester sur une courbe donnée, compterait pour une, etc.