CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

Au premier abord, on trouvera peut-être singulier que, connaissant la pièce dans son état primitif et les forces en équilibre qui lui sont ensuite appliquées, la théorie ne donne pas la situation qu'elle prend définitivement. Cependant on voit aisément qu'il doit en être ainsi, quand on sp pénètre bien des conditions du problème. La question qui consisterait à trouver le déplacement absolu, serait une question de dynamique, dans laquelle on devrait tenir compte non-seulement de la situation primitive du corps et des forces qui lui sont appliquées, mais encore des masses de ses différents points et de leurs vitesses initiales. Or ce sont là des données que nous n'avons pas introduites. Nous avons simplement supposé l'équilibre des forces extérieures et la petitesse du. déplacement total. Mais avec ces deux conditions on peut évidemment imaginer une infinité de déplacements, tous très-petits et d'ailleurs arbitraires. Si l'on en a trouvé un, et qu'on fasse mouvoir très-peu la pièce à partir de cette seconde position, sans altérer la forme nouvelle qu'elle a prise, les deux conditions dont il s'agit seront encore satisfaites. En effet, nous aurons bien un déplacement total trèspetit, et les forces extérieures n'ayant pas sensiblement changé dans leurs positions relatives, se feront encore équilibre. Il y a donc une indétermination réelle dans le problème, et l'on ne peut la faire cesser qu'en introduisant de nouvelles données, comme nous l'avons fait au n"* 52.

Toutefois le raisonnement que nous venons de faire, ou mieux encore les considérations générales présentées au n"* 38, montrent que toutes les positions définitives que l'on pourrait attribuer à la pièce ont entre elles une relation remarquable : c'est qu'on peut passer de l'une à l'autre, en faisant mouvoir la pièce comme un corps solide, sans nouvelle déformation. C'est ce que prouvent aussi les formules {g bis) et {lo bis) qui donnent les expressions des déplacements Ao?, Aj d'un point quelconque suivant les axes coordonnés. En effet, désignons par A a?', A j' ce que seraient ces quantités en y Éaisant Aa^ = o, Jicc^ = 6, Aj^^ = o, nous aurons

àx = ^x, -h (j — Jo) ^«0 -H ^^\

Ajr = Ajo — (^ — ^o) ^«0 + ^y-

Par suite, les déplacements relatifs àx — Ao?', Aj* — Aj^ seront exprimés

comme il suit :

Hx — Aa/= Aa7, -h {j — Jo) ^«0»

Aj — Ay= A/,— (a?— .rjAa,.

Or le premier terme des seconds membres de ces deux équations sera produit par une translation commune de tous les points, ayant pour composantes Aj?^, AJp ; le second terme sera produit (n° 50) par une rotation Aa^, autour du point (^o> Jo)- Ainsi donc on voit qu'après avoir pris une position définitive particulière, satisfaisant aux deux conditions indiquées plus haut, on pourra obtenir toutes les autres en imprimant au système une translation et une rotation communes à tous ses points.

^54. Intégration approximatwe des formules (8), (9) et (10). — Nous avons intégré sous forme symbolique les équations (8), (9) et (10), et nous avons ainsi trouvé les formules du n"* 50, dans lesquelles se trouvent trois intégrales définies, prises entre les limites x^ et x. Les quantités qui entrent sous le signe/ ne sont en définitive fonction que d'une seule variable indépendante, déterminant l'un des points de la fibre moyenne. Il n'y a donc à effectuer ici que de simples quadratures. Si Ton veut se dispenser de la recherche de l'intégrale indéfinie, ou si cette intégrale n'est pas exprimable sous forme d'un nombre fini de termes, on pourra toujours employer l'un des procédés d'approximation connus^ celui de Thomas Simpson par exemple. On partagera l'intervalle àe x^kx en un nombre pair n de parties égales; pour chaque valeur de x ainsi obtenue, on cherchera la valeur correspondante du multiplicateur de dx ou dx^ sous le signe /; puis, en appelant w^, a^ , Wj, . . . , w„ toutes ces valeurs, on aura, pour expression approchée de l'intégrale demandée,

Zn

(w, H- tiu, -h 2«2 -1- 4^^ H- 2W, -^ . . . -+" 4w„, -h w„).

Il est clair qu'on pourrait adopter, au lieu de x^ toute autre variable indépendante; il n'y aurait qu'à disposer préalablement l'élément de l'intégrale de manière à contenir en facteur la différentielle de cette variable. Ainsi, au

lieu de j — -jz^^ rien n'empêcherait d'écrire / — cty, et l'on calculerait