CHAPITRE III. — PIÈGES COURBES A FLEXION PLANE

cette expression en divisant l'intervalle s — s^en un nombre pair de parties égales, etc.

§ IV. — Exemples de L'application des formules précédentes .

55. Abaissement du sommet d'un arc chargé uniformément suivant sa longueur. — Gomme premier exemple de l'application des formules cidessus établies, nous allons chercher l'abaissement qu'éprouve le sommet d'un arc reposant à ses extrémités sur deux appuis fixes situés au même niveau, et chargé d'un poids uniformément réparti suivant sa longueur. La fibre moyenne sera supposée circulaire, et la section transversale constante dans toute l'étendue de l'arc. Enfin, nous admettrons que, par les procédés qui seront indiqués ultérieurement, on ait déterminé la réaction des appuis.

Soit ABC {fig- 27) l'arc dont il s'agit. Prenons la ligne AC des appuis pour axe des a?, et l'axe de symétrie DB pour axe des j. Désignons par

p le rayon constant de l'arc ABC ;

a l'angle GOB, que fait la normale en un point quelconque G avec l'axe des 7;

(p l'angle COB, ou le demi-angle au centre qui correspond à l'arc AC;

p le poids par unité de longueur de Tare AC et de sa charge;

P, Q les composantes verticale et horizontale de la réaction de l'un des appuis ;

Enfin conservons aux autres notations le sens qu'elles ont dans les formules générales (n*'47).

La première chose à faire, dans une application pratique, consisterait à chercher les valeurs de P et de Q. D'abord on voit immédiatement, par les conditions générales d'équilibre, que P doit égaler le poids de la demi-travée BC, c'est-à-dire /?p<p. Quant à la composante Q, nous verrons plus tard comment on la détermine : ici nous regarderons ce calcul comme fait, et, par conséquent, Q comme une donnée.

Cela posé, cherchons les valeurs de M et de N en fonction de a. Les forces qpii agissent sur la partie GC sont P, Q et une série de poids élémentaires qu'on peut représenter par joeiy ouppda^ pour une longueur infiniment petite mesurée sur GrC. Si nous appelons «^ l'angle FOB, le moment du poids

pf^da^ , agissant en F, par rapport au point G, sera p^da^ (sin a^ — sin a) ; faisant la somme, et tenant compte des moments de P et de Q, on aura

M = / /?p*(sina^ — sina)c?a^ — /7p^(p(sin^ — sina) 4- Qp(cosa — cos^) ;

ou bien,

M =/?p'(cosa — cos(p-h ftsina — ^sin^) -hQp(cosa — cos(p).

On obtiendra N en projetant sur la tangente en G les forces verticales P,/7p((p — a) et la force horizontale Q, ce qui donne

N = — Qcosûf — /?pasina.

Nous avons eu soin de nous conformer, pour le sens des moments positifs et le signe de N, aux conventions déjà plusieurs fois rappelées, notamment aux xf^ 41 et 45. Ces expressions de. M et de N seront d'ailleurs applicables dans toute retendue BG, puisque entre B et G n'agit aucune force finie.

Maintenant, on observera que l'abaissement du point B n'est autre chose, au signe près, que la quantité désignée au n® 50 par t^y^ : on pourra donc le calculer par la formule donnée à la fin du n** 52. Seulement, comme nous avons M et N exprimés en fonction de a, il faut exprimer les autres quantités au moyen de la même variable. Or on trouve sans difficulté

j? = p sin a, rfo? = p cos a rfa,

f = p (cos a — cos ^) , dy =^ — psinocda, a = CD = psin(p, y^ =p{^ — cos(p),

{x — a) j-dx= — p^ (sin(p — sin oc) da;

quant à e et e, ce sont des constantes qu'il n'y a pas^lieu d'exprimer autrement. Par suite, on a

— Ajo = — ^p (1 — cos <p)

-h I — (sin a — sin (p) (cos a — cos ^ -h a sin a — ^ sin ^) c?a

H- I -^ (sin a — sin (p) (cos a — cos ^) du

-h 1 — «sin^arfa-h 1 -^sinacosarfa.

Jo ^ Jo ^