CHAPITRE m. — PIEGES COURBES A FLEXION PLANE

56. Tassement produit par une charge uniformément répartie suivant une parallèle à la corde de Varc. — Nous admettrons identiquement les mêmes données qu'au n"* 55, à part cette différence, que la charge sera répartie uniformément, non plus suivant la longueur de l'arc, mais suivant une parallèle à sa corde ; c'est-à-dire qu'une partie de l'arç occupant en projection sur cette corde une longueur /, supportera une charge/?'/. Cette charge agit d'ailleurs perpendiculairement à la corde. On demande de déterminer l'abaissement — Aj^ du sommet de l'arc.

On remarquera d'abord que la pièce a un poids propre* dont on ne pourrait pas toujours faire abstraction; mais si l'on en tenait compte, cela aurait simplement pour effet d'introduire dans l'expression de — A j^ les termes

A ^ et C ^ que nous avons calculés au numéro précédent. En outre, les

termes B -^ et G -^ doivent rester les mêmes que tout à l'heure, car il

est clair que la réaction Q entrera de la même manière danà M et N, et par suite dans l'expression de la quantité demandée. Seulement Q ne conservera pas la même valeur numérique, et dans les applications il faudra avoir soin de prendre celle qui répond au cas actuel. Tout considéré, nous n'avons donc à chercher que les termes provenant de l'introduction de p' dans M etN.

Or on trouve sans difficulté

M = -/?'p* (sin^ — sina)^ — Pp (sin? — sina) H- . . . , N =/?'p (sin^ — sina) sina — Psina — ... ; et comme P est ici égal à /7^p sin^,

M = — - p'f^ (sin^<p — sin^a) + . . . , N = — p'^ sin^a — ....

D'où l'on conclut que les termes analogues à A ^ et C — sont, dans le cas actuel,

1 ^^(sin^ — sina) (sin*(p — ^\Ti^a)doL et / ^-^sin'arfa.

lOO FLEXION ET RESISTANCE DES PIECES COURBES.

Nous retrouvons ici. deux intégrales partielles que nous avons déjà données aux n""* 9 et 55, savoir /sinarfa et fsin^adoc; en outre on a

1 sin'arfa= 1 sinocdoc — 1 sina cos^arfa = | 7— cos(p -h îCOS*(p.

En conséquence les deux intégrales ci-dessus ont pour expression

~^((psin^(p — - (psiiKp — sin^cp -h | sin*<pcos(p + | — |cosç j= A.' -^>

". '£;£!(» oc, + ico,-,) = C'£^.

Ainsi rpn trouverait en définitive

- A j. = A' ^ H- B 2£l H C ' ^ + D ^ - Ap ( I - cos ^ ) ,

es e e

formule à laquelle il suffirait de joindre les deux termes A — et G ^ > si Ton voulait tenir compte du poids propre de l'arc.

Les données numériques de l'exemple précédent conduiraient aux valeurs

Ces mêmes quantités développées en séries deviendraient

57. Exemple numérique. Tassement des arches en fonte du viaduc de Tàrascon. — Nous allons maintenant donner un exemple numérique des applications que nous venons de faire, en cherchant le tassement des arches en fonte du viaduc établi à Tàrascon, sur le Rhône, pour le service du chemin de fer de Lyon à la Méditerranée.

Chaque arche est soutenue par huit arcs en fonte, mais il nous suffira d'en considérer un seul. La section transversale de l'un de ces arcs est dessinée dans la /ig. 28. D'après les expériences de MM. Desplaces et