CHAPITRE m. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE, ll

solidaires les unes des autres. Afin de donner à nos indications plus de précision et de clarté, nous raisonnerons sur un exemple; mais le lecteur n'aura pas de peine à généraliser la méthode et à voir comment il faudrait procéder dans d'autres cas.

Soit donné le système de trois pièces, dont les fibres moyennes sont ABC, DE, FG {fig^ 3o); ces trois courbes sont dans un même plan, qui contient aussi toutes les forces extérieures. Les points A, G, D, G constituent des appuis fixes sans encastrement, c'est-à-dire que les coordonnées de ces points sont invariables, mais que la direction des tangentes peut y changer : aux points E, F, au contraire, il y a encastrement réciproque des pièces l'une dans l'autre, de telle manière que l'angle sous lequel elles se coupent doit être parfaitement invariable. On demande de déterminer les forces provenant de la fixité des points d'appuis, et de la liaison réciproque des pièces.

D'abord on remarquera que ces forces sont toutes dans le plan des trois courbes : car nous supposons ici, comme dans tout le courant de ce chapitre, que la flexion de l'un quelconque des trois arcs se produit dans ce plan. Or, comme toutes les charges s'y trouvent aussi contenues, il est clair que si l'une des extrémités était sollicitée par une force ou par un couple, perpendiculairement à ce plan, la fibre moyenne devrait en sortir. De plus, les réactions totales des points A, G, D, G se réduisent à des forces passant par ces points, parce que nous ne supposons pas qu'il y ait encastrement, et que nous regardons l'appui comme produisant l'effet d'une simple articulation fixe (n° 59) : on peut décomposer ces réactions en deux forces parallèles à deux axes coordonnés. Quant aux actions mutuelles exercées en E et F, on remplacera chacune d'elles par deux forces parallèles aux axes, appliquées en E ou F, et par un couple. Cela posé, prenons pour origine des coordonnées le point A ; et soient alors :

2 a la longueur AC ;

^'^ y\ ^\ y\ 3c"\ /", x'\ y'^ les coordonnées des points D, E, F, G; tix\ b.y\ b.x"\ tiy'\ les variations de x" , y\ x'\ y'\ par l'effet de la flexion ;

Aa, Aa', Aa'', àcc^\ Aa*^, Aa"" les changements d'inclinaison des sections

Il6 FLEXION ET R^SIâTANCE DES PIECES COURBES.

normales en A, D, E, F, G, C; on observera que, par suite de l'encastrement réciproque, cette variation est la même, en E ou F, pour la pièce principale ABC, et pour les contre-forts DE ou FG;

X, X'^ X'", X^ les composantes parallèles aux x des forces appliquées à la pièce ABC, en A, E, F, C;

X', X'^ les composantes de même direction, appliquées en D et G aux deux contre-forts; '

Y, Y',' Y'^ Y''', Y'"", Y^ les composantes parallèles aux j, qui correspondent à celles qu'on vient de définir ;

^\ fjt!" les moments des couples à joindre respectivement aux forces (X'^ Y'') et (X''', Y''^), pour les transporter parallèlement à elles-mêmes en E ou F ; '

F Tune des forces extérieures appliquées à la pièce ABC, indépendamment des réactions inconnues; ^et fl ses angles avec les x et les j positifs ;

F,, ^, , 0,, Fjj, ^2? ^2 ^^s notations analogues pour les pièces DE, FG; p le bras de levier de la force F relativement au point A ; p^ celui de F, par rapport à D ; /?,, celui de F^ par rapport à G ;

M, N, g, e, 0?, j, J les quantités représentées par les mêmes lettres dans les formules générales du présent chapitre (§§ I et IIÏ); lorsqu'elles se rapporteront à la pièce principale ABC; nous distinguerons par les indices i et 2 les quantités analogues pour les pièces DE, FG;

A le coefficient de la dilatation linéaire produite par les causes indépendantes des charges ;

2 une somme de termes semblables pour Tune des trois pièces.

L'équilibre des forces extérieures appliquées à chacun des trois corps ABC, DE, FG (y compris les réactions aux points extrêmes), donnera d'abord neuf équations, savoir :

Pour l'équilibre de ABC :

X -+- X'^H- X'''+ X^+ 2F cos^=: o, Y 4- Y^-+- Y^''+ Y^+ 2F cosÔ =r o, X V- Y'V'+ fjt!'^ XV- ^'"^'"-^ f^"- 2 Y^a + 2F/^ = o ;