CHAPITRE m. — PIECES COURBES A FLEXION PLANE

Aa"" — Aa'"", on trouvera

h\{'2a — x"Y-^- y]-h f'iu {-la — œ") — \x"-h2ay'^^]ff^

Les relations (i6), (17), (18), (21), (22) sont, sous forme symbolique, les cinq équations finales cherchées ; les inconnues y entrent implicitement dans M, M^, M, et dans les expressions complexes U, U^, U^, V, V^, V^. il n'y aurait absolument aucune difficulté, à part la longueur des calculs, pour les mettre en évidence. En supposant cette transformation faite, on aurait des équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, qui est ici de quatorze.

Bien que les calculs précédents soient assez compliqués, on se rend aisément compte de leur signification. L'équation (16), obtenue en faisant la somme des Adjo dans toute l'étendue de Tare principal ABC, exprime évidemment que le Ao? du point final C est égal à zéro, c'est-à-dire que la distance ÀG est invariable. Les autres équations finales ont un sens analogue; l'équation (21), par exemple, exprime l'invariabilité de la distance DC.

Pour le démontrer, nous commencerons par supposer que le point D n'est plus fixe, et nous rétablirons dans (7) et (12) les variations Ax\ Aj'de ses coordonnées, variations que nous avions supprimées comme nulles ; alors nous aurons :

Dans le premier membre de (7), Aa?'' — Ao?',

Dans le premier membre de (12), Aj'^ — Aj'.

La somme des équations (7), (8) et (10) donnera pour premier membre — A.r' ; de même, la somme de (i 2) , (i 3) et (i 5) donnera — Aj' ; par suite ^ d'après la manière dont on a opéré pour composer l'équation ( 2 1 ) , on devra égaler son premier membre, pon plus à zéro, mais bien à

— (2a — .r')Aa;'H- j'Aj\ Or on a, en désignant par / la distance DC,

et puisque la caractéristique A désigne un accroissement que nous considérons théoriquement comme infiniment petit, la différentiation de cette relation donnera

/a/ = — (2a — 0?') Aa?'+ y Ay'.

Donc le premier membre de (19), ou, ce qui revient au même, de (21 ), est égal au produit de la longueur /, par la variation qu'elle subirait si le point D perdait sa fixité. L'équation (21) est donc équivalente à /a/ = o, ou à A/= o; c'est-à-dire qu'elle exprime, comme nous l'avons dit, l'invariabilité de DG . On reconnaîtrait de même que les équations ( 1 7 ) , ( 1 8 ) et ( 2 2 ) expriment l'invariabilité des distances AD, AG, CG.

Nous pensons que ces explications sont suffisantes pour bien montrer r esprit de la méthode d'élimination, qui a été employée ci-dessus. Elle revient simplement à former les valeurs des quantités analogues à

— (2a — .r')Ax'-+- j'A/'>

en fonction des forces, pour ensuite les égaler à zéro.

65. Généralisation des procédés suivis dans les cas particuliers qui précèdent. — Si le lecteur a suivi avec attention la marche que nous avons suivie dans les divers cas particuliers que nous avons analysés, il n'aura pas de peine à comprendre les indications succinctes que nous allons donner sur un cas général qui les embrasse tous.