CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANË. Ï sS

Supposons un réseau de pièces dont les fibres moyennes sont dans un même plan contenant aussi les forces extérieures, et dont les sections ont une forme telle, que la flexion se produit aussi dans ce plan. Ce réseau est formé par une pièce principale sur laquelle viennent s'embrancher, par articulation ou encastrement, des pièces secondaires, indépendantes les unes des autres. On suppose que la pièce principale ait k points assujettis à glisser sur des courbes fixes sans frottement; m points fixes, parmi lesquels m' sont des appuis simples et m'' des encastrements ; un points reliés deux à deux par des tirants articulés à leurs extrémités ; p points reliés à des points fixes par autant de pièces ; parmi ces/? pièces, il y en a /?' articulées à leurs deux extrémités, /?'' encastrées à leur extrémité fixe et articulées à leur point de croisement avec l'arc principal,/?'" encastrées au contraire à ce dernier point et articulées à l'autre, p'^ encastrées à leurs deux extrémités. Étant données la définition géométrique du système et les forces qui le sollicitent, on demande les réactions des points fixes et les actions mutuelles des diverses pièces les unes sur les autres.

A chaque point assujetti à demeurer sur une courbe sans frottement répondra une réaction dont il n'y aura que l'intensité à rechercher, car sa direction sera celle de la normale à la courbe ; à chaque articulation correspondront deux forces inconnues, qui sont les composantes de la réaction totale, suivant deux axes coordonnés; pour chaque encastrement il y aura, outre ces deux forces, une inconnue de plus, qui sera le moment du couple engendré par le transport, en un point déterminé, de la réaction totale, dont on ne connaît plus d'avance le point d'application. On sait, en effet, que dans un assemblage articulé, la réaction totale exercée sur une pièce par l'articulation, passe au centre autour duquel la rotation peut s'effectuer : mais il n'en est plus de même, évidemment, dans le cas d'un assemblage rigide, qui est capable d'empêcher une rotation autour de son centre. Ainsi donc il y aura un nombre total d'inconnues égal à

k ^ !i{m'^ !in^ 2p'^ p'-^ p'')+ 3{m'^ p'^ p''-+- tip'').

Faisons maintenant le dénombrement des équations que nous pouvons écrire pour les déterminer.

En premier lieu, la statique des systèmes invariables nous donnera trois

équations d'équilibre pour chaque pièce, soit en tout. ... 3{n -^ p -i-i).

Les variations A a?, Aj des deux coordonnées de tout point glissant sur une courbe fixe ont entre elles une relation obligée. Soit en effet j z=/{pc) l'équation de la courbe ; à cause de la petitesse de J^x et Aj, on aura

En mettant pour x la valeur qui résulte de la figure donnée du système, pour Af et Ax leurs expressions en fonction des forces, cela fera donc une équation pour chaque point se trouvant dans la condition dont il s'agit, soit en tout. . . k.

Les coordonnées de chaque point appartenant à deux pièces différentes doivent varier de la même quantité, quelle que soit celle des deux à laquelle on Tattribue. Gomme il y a 2 /i-h /? points dans ce cas, en exprimant ce fait on posera 2(2«-h/?) équations, ci 2(2^4-/?).

La variation angulaire A a doit être la même pour deux sections faites au point où deux pièces viennent s'encastrer l'une dans l'autre. On aura, pour exprimer cette condition, un nombre d'équations qui sera /?'''-+- /?"^.

Les variations des coordonnées sont nulles pour chaque point fixe. Si donc on égale ces variations à zéro, on trou- . vera de cette manière des équations dont le nombre sera 2, [m -i- p).

Enfin les variations d'inclinaison des sections normales faites aux points fixes d'encastrement sont nulles, ce qui donne encore lieu à m" -^ p" -^ p^"" équations, ci m" -+- p" -^ p^" .

En récapitulant, on voit qu'il y a en tout

A- H- 2m -f m*'-+- 7n H- 7/? H- p" -+• p"^ -^r- 2/;*'^+ 3 équations. Nous avons vu que le nombre des inconnues est de

or on a, d'après la définition même des lettres,