CHAPITRE III. — PIÈCES COURBES A FLEXION PLANE

par suite, le nombre des inconnues est encore exprimé par

Donc le nombre des équations posées ci-dessus dépasse de 3 ^i H- 3/? + 3 celui des inconnues. Mais il est à remarquer que dans ces équations entreront nécessairement, comme on Ta vu au n** 52, des constantes arbitraires introduites par l'intégration des formules différentielles de la flexion. Ces constantes seront au nombre de trois pour chaque pièce, et puisqu'il y a /ï -h /? + I pièces, en comptant la pièce principale, les tirants et les pièces secondaires, on aura donc en définitive 3 (« -h /? 4- i) inconnues auxiliaires, et par conséquent il y aura juste autant d'équations que d'inconnues.

66. Du calage des arcs. — Dans la pratique, les grands arcs métalliques par lesquels on fait supporter une toiture ou un tablier de pont ne sont pas formés d'un seul bloc. On les construit en général avec des voussoirs juxtaposés, entre lesquels on enfonce des cales en métal et que l'on boulonne ensuite fortement. Il résulte de cette disposition que l'arc exerce sur ses appuis des pressions indépendantes des forces qui le sollicitent lui-même , c'est-à-dire qu'il agirait encore sur ses appuis si l'on supprimait toutes les charges qui lui sont directement appliquées. Gela équivaut en quelque sorte à une dilatation artificielle, en vertu de laquelle la fibre moyenne prendrait une longueur supérieure à sa longueur primitive. II semble qu'on tiendra compte de ce fait d'une manière rationnelle et satisfaisante, si l'on attribue à la constante A, qui entre dans les formules des §§ III et V de ce chapitre, non pas la valeur du coefficient de la dilatation linéaire produite par le changement des circonstances atmosphériques, mais ce coefficient augmenté du rapport entre l'allongement produit par le calage et la longueur de l'arc. Ainsi, soient S la longueur totale de la fibre moyenne, d'après le projet ; s la somme des épaisseurs des cales introduites entre les segments de cette fibre ; a' la dilatation linéaire, positive ou négative, due au changement de température. On devra prendre

Naturellement le rapport | est variable dans la pratique, mais il reste

toujours très-petit; on peut admettre qu'il dépasse rarement 0,0001, et même il est ordinairement inférieur à ce nombre.

§ VI. — Ejcemple de la recherche des actions mutuelles dans un système de pièces courbes, et des réactions dues à la fixité des appuis.

67. Énoncé du problème. Recherche des actions mutuelles et réactions des appuis dans un pont Vergniais. — La question que Ton a le plus sou« vent à résoudre, dans le genre de recherches dont nous nous occupons actuellement, e^t celle que nous avons traitée au vl" 59, réduite à des termes un peu moins généraux. Il faudrait, au lieu de forces quelconques, ne considérer que des poids, et au lieu d'une fibre moyenne plane, de forme arbitraire, prendre un arc de cercle dont les deux extrémités seraient au même niveau. Mais nous n'en donnerons pas encore des exemples, parce que l'importance de la question nous a engagé à lui consacrer un chapitre spécial. Nous allons seulement donner un exemple particulier du problème résolu au n° 64.

Cet exemple consistera dans la détermination de diverses forces que nous avons regardées comme connues, au n^ 46, quand nous nous sommes occupé de chercher les pressions et tensions par unité de surface, aux divers points d'im arc pareil à ceux adoptés par M. Vergniais. Nous avons déjà défini à ce moment la forme de la fibre moyenne des trois pièces qui composent une ferme : sauf les relations particulières entre les dimensions, ces pièces ont précisément la disposition générale décrite au n"* 64. Ainsi on a un arc principal AG {fig. 3i) avec deux contre-forts DE, FG; les points A, D, G, G sont fixes et constituent des appuis simples ; aux points E, F sont des assemblages rigides avec encastrement réciproque des pièces Tune dans l'autre. Tout le système est dressé dans un plan vertical ; les trois pièces sont à fibre moyenne circulaire et ont même rayon; les trois sommets D, B, G sont sur une même horizontale ; enfin les sommets D et G se trouvent sur la verticale des naissances A et C. Les arcs DE, BE, BF, FG supportent un poids constant p par mètre courant de projection horizontale ; ce poids devient p' pour les portions AE, FG; deux poids égaux à P sont attachés aux points syméti'iques R, T, sur l'arc principal entre les points de jonction avec les contre-forts ; ceux-ci supportent enfin deux poids P' agissant en