CHAPITRE III. — PIÈCES COURBRS A FLEXION PLANE. I

S et U, symétriquement par rapport à OB. On demande les réactions provenant des quatre appuis et les forces mutuelles qui s'exercent en E et en F. Nous observerons que, par suite de la symétrie complète dans la forme des pièces et dans la distribution des forces par rapport à la verticale OB, il suffit de déterminer les réactions aux points F, G, G, attendu qu* elles devront être les mêmes en intensité et symétriques en direction, aux points E, D, A.

68. Détail du calcul algébrique. — La question étant ainsi posée, nous pourrions, pour la résoudre, appliquer sans aucun changement la marche du n** 64 : mais les conditions particulières au cas actuel permettent des simplifications notables. D'ailleurs le problème du n** 64 avait surtout pour objet de faire comprendre Tesprit d'une théorie générale; et plutôt que d'en déduire les équations dont nous avons besoin, ce qui exigerait des transformations assez longues, nous considérons comme préférable de procéder par voie de démonstration directe.

Nous désignerons par :

2a la distance AG, F la flèche BK de l'arc principal, f la flèche BH des arcs secondaires ;

p le rayon commun des trois fibres moyennes ;

a?, / les coordonnées d'un point quelconque de la courbe BC, par rapport aux axes Ko;, Kj; x^^ r, les coordonnées d'un point quelconque de FG, par rapport aux mêmes axes ;

(X l'angle que fait une normale quelconque à l'arc principal, avec l'axe des/;

A, l'angle d'une normale à l'arc FG, avec O'G, cet angle étant compté négativement ;

(p, ô, 7, y les angles BOG, BOF, BOR, — SO'G;

Ao:', Aj', Aa' les variations des deux coordonnées et de l'inclinaison de la section normale, par l'effet de flexion, spécialement pour le point F; Aj^ l'accroissement de KB; Aa'', La"' les variations angulaires des sections normales en G et G ; \

X, X' les composantes parallèles aux a?, des réactions appliquées en G et F à l'arc principal; X'' la composante de même direction, appliquée en G;

Y, Y', Y'^ les composantes verticales correspondantes;

fji! le moment du couple à joindre à la force (X', Y') pour pouvoir supposer son point d'application en F;

M, N, g, c, G, ^ les quantités représentées par les mêmes lettres dans les formules générales du présent chapitre (§§ I et III), lorsqu'elles se rapportent à la pièce principale; M,, N^, g^, e^, s^ les quantités analogues pour l'arc FG;

A le coefficient de la dilatation linéaire due à la chaleur, au calage, ou à toute cause étrangère aux charges.

Les équations fournies par la statique des systèmes invariables se réduiront à quatre : en effet, pour la pièce DE elles seraient les mêmes que pour FG; pour la pièce principale l'équation de projection sur l'horizontale et celle des moments sont satisfaites d'elles-mêmes, à cause de la symétrie. Voici celles qui restent :

Pour l'équilibre de ABC, en translation verticale : (.) YH-Y'-P-->a-i;.'a = o;

Pour l'équilibre de FG :

(4) XV— ^Y''« — Ac'-f-^/?a^4-P>(sin7'+sinfl)=o.

Il nous faut encore trois équations, car nous avons sept inconnues X, X', yj\ Y, Y', Y'', IX . On les trouvera ainsi qu'il suit: On aura, en vertu de la formule (8) (n^ 48),

Ad(X=^ = — î- — ;

donc, en intégrant et remarquant que A a est nul pour a = o,

Aa = / — - da.