cos pipf

On aura

-2 ip|sinp/p| — - 2 /pi|sin6/pi|-4--2 ipî|sinp/p,|.

y i»<y y Pi<if y j»«<y

Dans le second membre, le premier terme peut se mettre sous la forme

Pi sin plpi

IPi Pi

et il tendra vers zéro quand y tendra vers Tinfini, car tous ses termes s'obtiennent en multipliant ceux de la série convergente à termes positifs (corollaire I)

par des facteurs nuls ou de la forme l^iiîBpEtl qui sont tous plus

petits que un et tendent tous vers zéro quand y tend vers rinfini.

Enfin, dans le second terme, on a

I sin p/pî I s» l/i -+- cos 6/pï l/i — cosp/pj < l/2f , et, par conséquent, ce second terme vérifie l'inégalité

i 2 /p,|sinp/p, I <V/2l-2 /p,.

D'ailleurs, comme nous le savons, le rapport ^ S /ps ne peut

pas surpasser une limite voisine de l'unité. Donc ce second terme est aussi petit que l'on veut avec €.

Il résulte de là que l'expression

lim -T/p I sinp/p | î'^* yp<9

est aussi petite que l'on veut avec e, et est, par conséquent, rigoureusement nulle.