Corollaire IV. — 5/ y tend vers rinfini, on a

y«oo (y^y p

Démonslration. Décomposons les nombres premiers dans les deux mêmes classes p^ et p^ qu'au numéro précédent. On a

2'^|sinp/pJ<2^V2'f'|sinp/p,|.

Quand y tend vers Tinfini, la première somme du second membre tend vers une limite finie (corollaire I), donc le quotient de cette somme par ly aura pour limite zéro. En ce qui concerne la seconde somme, on peut poser les inégalités

Donc ce quotient est aussi petit que Ton veut avec e. car nous

avons démontré au n° 29 que le rapport 5 ^ ^ a pour limite

Tunité.

En résumé donc, le rapport dont il est question dans Ténoncé du corollaire décroit au-dessous de toute limite donnée 1^2; et a par conséquent pour limite zéro.

48. Deuxième conséquence. — La somme étendue aux nombres premiers <y

2^sin?//,

tend vers une limite déterminée quand y tend vers l'infini.

Démonstration. Il ne sera pas inutile de remarquer que cette deuxième conséquence est moins apparente que la première et que Ion ne peut plus établir que la convergence soit absolue. La convergence n'a lieu que quand les termes s'introduisent dans Tordre indiqué, e'esi-à-dire dans Tordre des nombres premiers. Il est bien vrai sans doute que sin (3//) est infiniment petit en même temps que i + cos ^Ip, mais il est infiniment petit de

Tordre de V^\ -*• eo8|3^ seulement et I*ordre de dccroissonce des termes des deux sommes