AI/A
Comme dans la formule (8), on désigne, en général, par6(r) une fonction ccuitinue qui tend vers une limite finie quand t tend vers zéro et par K un nombre positif indépendant de t.
§ 4. — Étude de la fonction Q (s, c).
10. Première définition de Q (s, c). — Soit, comme dans le paragraphe précédent, c une classe proprement primitive du déterminant ( — A) et
^= ax' -4- 26xy -*- cy'
un représentant de cette classe. Nous définirons, pour S{(s) > 1 , la fonction Q(5, c) par la formule
où la somme s*étend, comme dans le paragraphe précédent, à tous les systèmes de valeurs positives et négatives de x et y pour lesquels la forme fesi impaire et première à A.
La série (12) est absolument et uniformément convergente pour toute valeur de s telle que Ton ait fR(«)>l -+-6, quelque petit que soit e; elle représente donc une fonction synectique de s pour «R(s) > 1. Pour cR(«) <1, la formule (Î2) ne représente plus rien, mais nous allons voir que Q{s, c) ne cesse pas d*exister. Nous allons chercher, en effet, une représentation de cette fonction valable dans tout le plan s.
11. Extension de Q(s, c) à tout le plan. — Posons la relation
^^' ' g-(«««+«*«y+ey«)'i»-i£f/
(ax* -*- 26xy -♦- cy'^)
On en déduit, par une sommation relative à ac, ?/» et pour
Q(8,c)T{s)= f *{t,c)t"*dt.
Partageons cette intégrale en deux autres» comme il suit :
La seconde intégrale se met, par la relation (11), sous la forme
^ ' I t'-Ht -^ I e{t)e H*'Ht.
2AI/a/ /
Gomme on a cR(5)>1, on peut évaluer facilement le premier terme; on change ensuite dans le second la variable d'intégration t en ^. On trouve ainsi
Substituons cette valeur dans la dernière équation ; nous obtenons
Q(.9,c)r(s) = I^-i--*. rHt,c)v-'dt
2Al/A«— ^ •/
Comme 6(-) converge vers une limite finie pour t infini, le second membre converge pour toute valeur de s et fournit, par conséquent, une définition du premier membre valable dans tout le plan.
12. Propriétés analytiques de Q(s, c). — La formule (13) nous montre que Q(5, c) est une fonction uniforme de s dans tout le plan, jouissant des propriétés suivantes :
i"* Celte fonction possède un pôle unique et simple 5 =3 1 et n'a aucun autre point critique;
â® La fonction
est synectique dans tout le plan et admet comme zéros tous les pôles de l^{s)^ mais elle peut aussi avoir d*autres racines;
3** Si Ion développe la fonction (s — i)Q(«, c) F(«) par la formule de Maclaurin
la loi de décroissance des coetlicienis est donnée par la formule
iw m
OÙ yj tend vers zéro pour n infini.
En efiet, cette loi est exacte pour chacune des intégrales
/ * f /, c) t'-Ull, f ô (-) « ""«^^^
comme on Ta montré dans la démonstration du théorème du n® 16 de la deuxième partie du mémoire. Cette loi subsistera donc aussi pour la combinaison
