ÉTUDE PRÉLIMINAIRE DE QUELQUES FONCTIONS AUXILIAIRES

§ 1 . — Considérations générales sur la portée de la démonstration.

1. C est à DiRiCHLET que Ton doit d*avoir étendu aux formes quadratiques le théorème de la progression arithmétique (Académie de Berlin^ 1840, et t. XXI du Journal de Crelle), On trouve dans ce travail plutôt Tesquisse d^une démonstration qu'une démonstration complète. Dirichlet a généralisé son théorème dans les Comptes rendus de 1850, en montrant qu'une forme quadratique proprement primitive peut représenter une infinité de nombres premiers qui sont en même temps d'une forme linéaire donnée, pourvu que les caractères quadratiques de ces deux formes soient compatibles. M. H. Weber a, dans un travail remarquable {Malh. Ann., t. XX, p. 501), fait disparaître les lacunes considérables que Dirichlet avait laissées dans la démonstration de son théorème sous sa forme restreinte. Enfin,

M. A. Meyer (Journ. fur d. reine u. ang. Math., t. CIII» p. 98) a étendu la méthode de M. Weber à la démonstration du théorème sous sa forme la plus complète.

2. Les principes des méthodes de Riemann et de M. Hadamard, dont nous venons de reconnaître Tefficacité dans la théorie des formes linéaires, peuvent aussi s*étendre à la théorie des formes quadratiques. Il se présente toutefois une différence très considérable entre les formes de déterminant positif et celles de déterminant négatif. Ainsi, tandis que l'extension se fait naturellement à ces dernières, les formes de déterminant positif exigent une analyse beaucoup plus compliquée. C'est pourquoi, nous nous bornerons, dans cette troisième partie, à la théorie des formes de déterminant négatif et nous traiterons dans une quatrième partie celle des formes de déterminant positif (*).

Nous pourrions abréger notre travail en utilisant immédiatement les formules de MM. Weber et Meyer. Cependant, nous allons refaire toute la démonstration par une méthode nouvelle qui nous parait offrir de multiples avantages. Nous n*en signalerons que deux.

Dans notre premier chapitre, nous étudions une fonction ^{t,c) qui possède une propriété fonctionnelle fondamentale. Celle-ci s'exprime par la formule (11) du ^ 3. M. Weber établit une formule analogue et qui pourrait nous servir (**). Mais M. Bachmann, dans sa Zahlentheorie (2" partie, p. 298), attire l'attention sur la difficulté et la longueur excessive de la démonstration de MM. Weber et Meyer où l'on fait appel aux fonctions 6 de deux arguments. Si bien qu'il se voit forcé de se contenter de la résumer dans son livre, en renvoyant à l'original pour le détail de la démonstration et en émettant le vœu d'en voir proposer une plus simple. Sur ce point, nous pensons satisfaire complètement au

(*) Un résumé de cette quatrième partie a paru dans le Bulletin (session du 28 janvier 4897).

{**) M. Hadamard prend cette formule comme point de départ delà démonstration qu'il a esquissée dans le Bulletin de la Société mathématique de France (1896) et dont nous avons déjà parlé dans la note placée en tète de la deuxième partie.

desideratum de M. Bachmann : la démonstration qui fait lobjet de nos ^ 2 et 3 n'a rien d'excessif comme longueur ; elle est absolument complète et ne s'appuie que sur la propriété très élémentaire de la fonction ^/^(a^x) qui a été démontrée, en quelques lignes, dans la seconde partie du mémoire.

Le second avantage que nous voyons dans notre méthode est d'éliminer toutes les considérations relatives à la loi de réciprocité de LegendrCy qui formaient une des parties délicates des démonstrations précédentes.

Nous traiterons seulement dans cette partie, le cas où l'on ne fait pas intervenir la progression arithmétique, parce qu'il est le plus simple et qu'à notre avis il y a toujours avantage à commencer par ce premier cas. Le lecteur qui aura examiné notre travail et qui voudra bien y joindre les considérations particulières qui font l'objet de la généralisation de M. Meyer, verra que notre méthode et nos résultats s'étendent d'eux-mêmes au cas le plus compliqué. Nous nous réservons d'ailleurs de montrer plus tard que toutes les longueurs inhérentes à la méthode de M. Meyer disparaissent en même temps.

§ 2. — Définition et propriété fonctionnelle de F (a, (3, t).

3. La relation fonctionnelle qu'il s'agit d'établir dans ce paragraphe est une conséquence de celle à laquelle satisfait la fonction ^^ [a, x) de la seconde partie du mémoire. Voici cette dernière relation (2* partie, n** 3) :

^4 (a, x) = 2 c"^"^*'^*'^' = -^ h -*- 2 2 « ' cos 2nTa .

Ce qui nous sera utile dans cette équation peut se condenser dans la formule plus simple :

en désignant^ d'une manière générale, par 0(ar) une fonction continue qui tend vers une limite finie quand x tend vers zéro. C'est sous une forme un peu différente que nous aurons à nous servir de cette relation. Désignons par it^ et v deux constantes positives, par a et P deux constantes quelconques et faisons le produit de deux équations analogues à la précédente; nous obtiendrons un résultat de la forme

( I ) . . . -i-, (or, fXï) ^, (6, vx) = -— : H c ',

OÙ 9 (x) est ime fonction continue qui tend vers une limite finie quand x tend vers zéro et où K est une quantité indépendante de x et plus grande que zéro.

C'est à la relation (i) que nous allons ramener la propriété fonctionnelle de la fonction *(/,c) qui jouera, dans cette troisième partie du mémoire, le même rôle que les fondions tp(a,x) dans la seconde. Nous étudierons cette fonction au paragraphe suivant et nous commencerons par l'étude d'une fonction intermédiaire F (a, P, t),

4. Définition de la fonction F (a, [3, t). — Celte définition se rattache è la considération d'une forme quadratique /de déterminant négatif ( — A) et à coefficients positifs

/*= ax^ -¥- %x\j -+- c^*, et la fonction F s'exprime par la somme double

OÙ Ton a

( x = a -+- 2mA,

Quant aux variables m et n, par rapport auxquelles se fait la sommation, elles reçoivent toutes les valeurs entières de — oo

ft -h 00 .

5. Réduction de F (a, (3, t) à des fonctions F,^ » (l). — Nous nous proposons de trouver une rehlion fonctionnelle vérifiée par F (a, (3, t). Pour cela, nous allons partager la somme S«,^ qui sert de définition à cette fonction, en ab sommes partielles que nous désignerons respectivement par F, * (/), ces indices prenant les systèmes de valeurs

I^a fonction Pi^kO) sera définie par la somme double

tn\m'

où X cl y s'expriment toujours par les formules (3), mais où m ei n prennent les seuls systèmes de valeurs qui se déduisent des formules

m = i -¥• hm\

n «= A: -+■ an\

quand on donne à m' et n' tous les systèmes de valeurs entières de — 00 à -H 00 .

Il est clair que la somme F< *(0 comprend une partie des termes qui entrent dans la somme F et que Ton a

Afin d'exprimer simplement x et // en fonction de m' et n\ posons en abrégé,

^ a' = a -H 2tA,

On voit que, pour former la fonction

il faut donner à x et y tous les systèmes de valeurs qui se

déduisent des formules

( X = «' -4- 26Am', * ' ' ' * • ( y = p'+. 2aAn',

quand m', n' reçoivent toutes les valeurs entières de — oo à h- oo .

6. Réduction de F,^* (t) à la fonction if\, — Pour les valeurs de X, y définies par les formules (6) ci-dessus, on a

ax^-^^xy-^cy* = - [(ax -*- 6y)" -♦- Aj/']

= - j [aa' -♦- 6p' -f- (m' -♦- n'j2a6AP4-A(!3'-f-2aAn')M a

L 2a6A ^ J \2aA /

Posons encore, en abrégé,

oa' ■+- 6S' S'

î2a6A ^ 2oA

pour chaque valeur de n', on devra attribuer à m!' toutes les valeurs de — oo à + oo . Il vient ainsi

ax" + 26xt/ -*- cy* = {a" -*- m")*4o6*A' -♦- (p" -♦- n')'4ttA',

et, par conséquent,

c*est-à-dire, par la définition de ^| rappelée au n® 3,

7. Propriétés fonctionnelles de F,, ^ (t) ei F (a, /3, t). — Appliquons au second membre de la dernière équation la relation (1)

du n® 3, nous obtiendrons un résultat de la forme

C'est la relation fonctionnelle que vérifie F,.^ 4 (t) : on y désigne par 9 {t) une fonction qui reste finie quand t tend vers zéro et par K une quantité positive indépendante de t et qui peut dépendre des indices i, k.

Par la permutation des indices i, k, on déduit ab équations distinctes de celle qui précède; ajoutons-les entre elles, nous obtiendrons, eu égard à (5), la relation fonctionnelle vérifiée par F, savoir :

Les symboles 9 (t) et K conservent la signification générale qui leur était attribuée dans Téquation précédente, mais la valeur actuelle de K est la plus petite de celles que K pouvait recevoir dans réquation précédente par la permutation des t, k.

Cette relation (8) joue un rôle fondamental dans la suite de notre étude. Elle présente cette particularité très remarquable que le premier terme au second membre ne dépend aucunement de a ni de (3, mais seulement du déterminant ( — A) de la forme quadratique.

§ 3. — Définition et propriétés de la fonction <!>(/, c).

8. Définition de 4>(l, c). — Désignons par c une classe de formes (positives) proprement primitives du déterminant ( — A) et soit f un représentant de cette classe :

fs=s ax' -*- 26xy -»- ey\ Nous définirons la fonction O (^ c) par la somme double

où Ton donne k x et y tous les systèmes de valeurs positives et négatives, pour lesquels /'acquiert une valeur impaire et première à A. Il est clair, d\iprès cela, que la définition de 4> {t, c) ne dépend pas du choix de la forme /'dans la classe c.

H résulte de cette dernière remarque qu'on peut choisir la forme fde manière à simplifier les raisonnements.

On peut d'abord admettre que a est premier avec 2À, car, dans le cas coniraire, on remplacerait f par une forme équivalente dans laquelle celte condition serait remplie. Ensuite, on peut admettre que b est positif, divisible par A et, de plus, pair ou impair en même temps que A, de façon que

soit toujours pair et divisible par A. En effet, si cette condition n avait pas lieu, par une substitution

X a= x' -4- Ay',

où X est une inconnue à déterminer convenablement, on remplacerait (a, 6, c) par une forme équivalente (a, 6', c'), où ft' serait positif et déterminé par la congruence

6' c= 6 -♦- Aa ^ (mod A),

à laquelle on ajouterait

6' = 1 (mod 2), si A était impair.

La forme /" étant choisie de cette manière, il suffit, pour que

ax' ■+- ^bxy -*- et/*

soit premier è 2A» que x soit premier è 2A, tandis que y n'est

plus soumis à aucune condition.

9. Réduction de <ï> (i, c) aux fonctions F (a, (3, l), propriété fonctionnelle de 4> (t, c). — Désignons par a un quelconque des

nombres compris enlre et 2à et premiers à 3À, puis par (3 un

des nombres

* et remarquons que tous les systèmes de valeurs de x, i/

( y = S ^ 2wA,

obtenus en donnant à r/i, n toutes les valeurs de — oo à -4- oo , rendront la forme f première à 2A; il résulte de là que la somme étendue à toutes ces valeurs, savoir :

M, Il

contiendra une partie des termes qui entrent dans la somme

et que eclle-ei sera la somme de 2Acp(2À) expressions analogues à F(a, p, /), obtenues en attribuant à à, (3 les diiïérents systèmes de valeurs possibles. On a donc

(iO) *(/,c) = 2 F(a,p,0.

Pour obtenir la relation fonctionnelle que vérilie <!>(/, c), il faut donc ajouter ^lo(^l) relations analogues à (8) et il vient ainsi :

nrmX B{1) -5