CHAPITRE IL

THÉORÈME DE DIRICHLET •' INFINITÉ DES NOMBRES PREMIERS REPRÉSENTABLES PAR UNE FORME QUADRATIQUE.

§ î. — Définition et propriétés des caractères de classes. 13. Toutes les classes (positives) proprement primitives du

déterminant ( — A) forment, comme on le sait, un groupe et peuvent s obtenir chacune une seule fois, au moyen de certaines classes fondamentales :

appartenant respectivement aux exposants

.mi, 171), ... m^, en formant le produit

(i) c:=^ci*ci*..,cir,

où Texpression Cj d'exposant nul représente la classe principale et où Ton donne aux exposants Aj, h^ ... h^ toutes les valeurs comprises dans le tableau

A, «0,1,2,... m, — 1; /», BsO, 1,2, ...m, — i ;

Soient maintenant ti;^, u^j, ... t^r ^^^ racines quelconques des

équations

(2) wT*=\, u?f« = 4,...u?r'^c=l;

nous dirons que le produit

A;(c) = ti7Î*u?î*... wi'-

est un caractère de la classe c. Le nombre de ces caractères sera

égal à celui des racines des équations (2), c*est-â-dire au nombre

des classes positives proprement primitives. Nous représenterons

ce nombre par h :

Il est clair que ces définitions supposent qu'il y ait plusieurs classes de formes du déterminant ( — A). L*analyse que nous allons faire n*a d'objet que dans cette hypothèse.

14. Les caractères de classes jouissent de propriétés analogues à ceux des caractères d'un nombre (mod. M).

Nous nommerons caractère principal celui qui correspond aux racines des équations (2), toutes égales à Tunité

nous le représenterons par Aiq.

Nous dirons que les deux caractères

formés respectivement avec les racines conjuguées

Wi, ti;^, ... u?„ i i I

sont conjugués ou opposés. Un caractère qui coïncide avec son opposé (caractère ambigu) ne peut être formé que de racines réelles des équations (2).

On démontre, exactement comme dans le cas des caractères d^un nombre, que les caractères de classes jouissent des propriétés suivantes :

1* Pour tout caractère particulier k^ la somme étendue à toutes les classes (positives) proprement primitives est nulle :

sauf pour le caractère principal, auquel cas elle est égale au nombre des classes :

2Mc)=A;

2^ Pour toute classe c, la somme étendue à tous les caractères est nulle :

sauf pour la classe principale, auquel cas elle est égale au nombre des classes :

3® Pour un même caractère k et deux classes quelconques c et c\ on a la relation

k(c)k{c')^k{cc').

16. Nous allons passer maintenant à une propriété plus particulière des caractères de classes.

Désignons par m un nombre quelconque impair et premier à A dont le déterminant ( — A) est résidu quadratique. Ce nombre m sera proprement représentable par une forme du déterminant ( — A).

Si m désigne le nombre des facteurs premiers différents de m,

la congruence

z' «a — A (mod m)

aura 2^ racines distindes. A chacune d*elles correspond un groupe de représentations du nonibre m par des formes du déterminant ( — A). En outre, ces représentations se font dans une série de classes qu*il est facile de figurer. Soit

décomposé en ses facteurs premiers et représentons par

respectivement une des deux classes opposées capables de représenter a, (3, y, ... Les 2^ groupes de représenlaiions de m se feront respectivement dans les 2^ classes c^, figurées par les . termes du produit développé (*)