C-'C^'Cy'...(i H- C5')(1 ^ C|?)(l -4- c'y

parmi lesquelles plusieurs peuvent coïncider, mais il n'y a pas lieu de tenir compte de cette circonstance pour le moment.

Désignons par k{c) un caractère correspondant à un choix particulier de racines des équations (2) et par

une somme relative à ce caractère mais étendue aux V classes c^, différentes ou non, ci-dessus définies. Cette somme jouira de la propriété fondamentale suivante :

On a, pour deux nombres m et m' premiers entre eux.

On vérifie immédiatement cette propriété, en remarquant que, si l'on pose symboliquement

{*) Voir, sur ce point, nos Recherches arithmétiques sur la composition des formes binaires quadratiques). (Mémoires in-S^ de l'Académie royale de Belgique, 1896.)

on peut aussi écrire symboliquement, en convenant d'effectuer toutes les multiplications indiquées,

La propriété indiquée est alors la conséquence immédiale des deux relations, dont la première seule est symbolique :

2 ^mm' =• 2 '^^ 2 ^«'^ ^ (^^') = ^ W ^ («')•

§ 2, — Démomlralion d'une équation fondamentale. 16. Posons, pour un instant,

en vertu de la propriété qui fait Tobjet du numéro précédent, on aura, pour m et m' premiers entre eux,

f{m)f{m') = r{mm').

Il vient ainsi, d*aprés une formule générale due à Ëuler (*),

(4) . . . j^f!^ =m ■*- m -^fW) ■*■-)■

La somme du premier membre s*étend à tous les nombres impairs m dont (— - A) est résidu; le produit du second membre, à tous les nombres premiers impairs q dont ( — A) est résidu quadratique; enfin, on suppose (^ («) > 1, pour que les expressions soient convergentes.

Rappelons-nous maintenant que, pour ces nombres premiers

n Bachmann, Die analyiische ZalUetitheorie, p. dO, form. 17.

q ou leurs puissances q , la somme

se réduit à deux termes; il vient

f(q')=^[k{e,t-*-k{cTf]-l,.

et le facteur général du produit infini se met sous la forme

« 1 ^[\ H- q"k (c,) -4- qf-*"* (r,)' -*-•..] c*est-à-direy par la sommation de ces deux progressions,

et, en réduisant au même dénominateur,

[i-q-k(c,)-][i-q-k(c~')-] L'équation (4) se met ainsi sous la forme

m' »[i-r*Mc,)][i-r'*M]

Dans cette équation (5) la somme s'étend aux mêmes nombres m et le produit aux mêmes nombres q que dans (4), c'est-à-dire aux nombres impairs dont ( — A) est résidu quadratique.

17. On peut reproduire la somme qui figure aux premiers membres des équations (i) et (5) par une autre voie. Soient, en effet,

des représentants respectifs des classes

positives et pr. pr. du déterminant ( — A), dont le nonnbre sera désigné par h; formons Texpression

fi fi fh

où la somme relative à Tune quelconque des formes /j s^étend à tous les systèmes de valeurs de j? et y positives ou négatives, premières entre elles, pour lesquelles

f. = aa' -♦- 26xj/ h- et/'

acquiert une valeur impaire première à A. Soit alors z le nombre des solutions de Téquation de Pell, on aura de la même manière qu*on obtient Téquation correspondante dans la détermination du nombre de classes (*)

et, en vertu de Péquation (5),

18. Il y a encore une dernière transformation à faire subir à cette équation. Désignons, en général, par p les nombres premiers impairs dont ( — A) est non-résidu et par n les nombres entiers quelconques, premiers à 2A; on aura

Si Ton multiplie membre à membre cette équation avec la

{*) DiRiGRLET Dedekind, Zahlentheorie, 4<' édition, S 88.

— i04 précédente, on trouve enfin Téoiution fondamentale :

Dans cette relation on a posé, en abrégé,

(9) p(s)«Tn

(10) L{s,k)^k{c,) 2 J:-^ MO 2 t; -*-••• "*- ^K) 2 7.'

Mais les nouvelles sommes £ /!"' qui entrent dans l'expression (10) de L (s, A:) diffèrent de celles qui entrent dans Texpression (6) de A («, k) : on doit maintenant attribuer à x et y tous les systèmes de valeurs entières, positives ou négatives, qui donnent à la forme correspondante

fi ==» ox' -♦- 26x1/ 4- cy^

une valeur impaire et première à A* Donc, dans Texpression (10) de L (^ &), on a (nMO)

et L {Sy k) se met sous la forme

(ii) L(«,ft)«2^(c,)Q(s,c,).

Il est à remarquer que les fonctions L(s, k) qui correspondent à deux caractères opposés k et A;~' sont identiques. II suffit, pour le constater, d'observer qu'on a, dans la formule (8), k^c^^)

%Z. — I Propriétés analytiques des fondions L (s, k).

19. Les fonctions L (s, k) correspondent exactement aux fonctions Z («, y) de la deuxième partie du mémoire : comme celles-

ci, elles jouissent de propriétés différentes suivant qu'on a affaire au caractère principal ou à un autre caractère :

1*" Dans le cas du caractère principal, on a k^ {Ct)*^ 1, et la fonction

admet le même pôle « «a 1 que les fonctions Q; elle n'a aucun autre point critique, et la fonction

(«~i)L(*>,Ao)

est entière dans toute retendue du plan.

2*" Dans le cas d'un autre caractère, comme le résidu relatif au pôle 8 s^ i est le même pour toutes les fonctions Q (5, c.) et que la somme des caractères relatifs aux différentes classes est nulle, on voit que le pôle 5 =» 1 disparait pour la fonction

1=1 qui est entière dans tout le plan.

20. Développement de {s — 1) L (s, k) F (s) par la formule de Maclaurin, genf*e de cette fonction, — Si Ton développe la fonction

par la formule de Maclaurin sous la forme

la loi de décroissance des coefficients sera exprimée par Tinégalité

car cette loi est vraie (12,3<^) pour chacune des fonctions

(« — 1 ) Q («, Ci) F («), qui figurent au second membre de la dernière équation.

Cette loi, ainsi qu*on Ta vu dans la démonstration du n® 16 de la seconde partie, nous permet d'affirmer que les fonctions entières (s — 1) L {«,/:) r (s) ne peuvent être d'un genre supérieur au premier. Leur produit par la fonction du premier genre 1 :r (5) seront donc du premier genre. D*où la conclusion suivante :

Les fonctions (s — 1) L (s, ko), dans le cas du caractère principal, et L (s, k) dans le cas d'un autre caractère, sont des fonctions entières du premier genre.

21. Élude des zéros des fonctions L (s, k). — La loi de croissance des modules des racines successives des fonctions L («, k) serait difficile à déterminer avec précision ; mais on obtient, sans peine, le seul résultat qui nous soit utile et qui peut s'énoncer comme il suit :

5t l'on représente, en général, par p (k) les zéros de la fonction L (s, k), la série

sera absolument convergente pour m > 1 .

En effet, cette propriété est exacte pour la série étendue k tous les zéros de (s — i)L(s, k)T (s), en vertu de la loi de décroissance des coefficients a. étudiée au numéro précédent; elle est exacte aussi pour la série étendue aux zéros de 1 : F (s); elle subsiste donc pour la série étendue aux zéros des deux fonctions simultanément, c'est-à-dire à ceux de L (s, k).

Un second point important relatif aux zéros résulte de Texpression de L (s, k) en produit infini par la formule (8). Ce produit est absolument convergent et aucun de ses termes ne peut s'annuler pour <Sl(5) > 1, donc : Aucune racine p(k) n'a sa partie réelle supérieure à l'unité.

Il reste encore à démontrer qu'aucun de ces zéros n'a sa partie réelle égale à l'unité. C'est là un point plus difficile. Nous commencerons par démontrer, par une méthode nouvelle et très simple, qu'aucune des fonctions L {s, k) ne s'annule pour « sa 1.

§ i. Aucune des fonctions L (s, k) ne s'annule pour s «=s 1 .

22. Prenons les dérivées logarithmiques des deux membres de Féquation fondamentale (8) et changeons les signes. Il vient

/4CIX L-(^ k) P'{s) ^ k(c,)lq ^ k(c-^)lq

La fonction P (s) n'a ni pôles ni zéros pour S{ [s) > g' comme le montre sa définition par la formule (9). Donc, si Ion multiplie réquation précédente par {s — i) on trouve, sans diflieulté, en faisant tendre s vers Funité,

(,3) |im(«-l)iMJ = lim(«-t)2[Mc,) + A(r-')]^-

23. Étudions les valeurs que peut avoir le premier membre. Si ftss ^0 est le caractère principal, le premier membre est égal à Tunité; dans le cas d'un autre caractère, il sera égal à zéro, sauf si 5 =3 1 est un zéro d'ordre de multiplicité ii pour la fonction L (s, A), auquel cas le premier membre est égal à ( — fx).

Ajoutons toutes les équations qui se déduisent de la précédente en attribuant successivement aux caractères toutes leurs valeurs, nous obtiendrons une équation finale dont on simplifie facilement les deux membres :

Le premier membre sera, d'après ce qui vient d'être dit, égal à

en désignant par I^u. la somme des ordres de multiplicité des zéros s = i pour les fonctions successives L (s, k) qui s'annulent pour cette valeur de s.

Le second membre se simplie aussi, car

sauf cependant pour les nombres premiers 90 représentables par la classe principale et pour lesquels

Notre équation finale se réduit donc à

i-2'*-=2/ilini(s-i)2^

<ssl

Pour s réel et > 1^ le second membre est essentiellement positif. Donc S|x est égal à zéro ou à un et il n*y a que deux hypothèses possibles :

1® Aucune fonction L («, k) ne s'annule pour s =» 1 ;

2^ Une seule des fonctions successives L («, k), obtenues par la variation du caractère k, s'annule pour « b=3 1 et elle ne peut admettre, dans cette hypothèse, qu'un zéro simple.

24. Plaçons-nous dans la seconde hypothèse, pour en démontrer l'impossibilité.

On voit d'abord que si L(5, k) s'annule pour « = 1, le caractère k est nécessairement réel (c'est-à-dire formé d'un produit de racines réelles), sinon, la fonction L(s, A;~'), qui est identique à L(s,k) (n"" 8), s'annulant aussi pour s=^ifi\ y aurait deux fonctions successives admettant cette racine, ce qui est impossible, comme on l'a montré au numéro précédent.

Donc, si une fonction L{s,k) s'annule pour ««=1, on aura k{c) «a A(c~*) et la formule (8) du nM8 donnera

i{s,k)^pm[i-''M

Désignons, pour un instant, par q^ les nombres q pour lesquels * (c,) = -4- i, par 72 ceux pour lesquels A(c,) = — 1 et raisonnons sur L(8,k) comme sur Z(s, y) au n** 67 de la seconde partie, nous trouverons d'abord

(u, . . . .M,-r(,nM-y^

ko)

(«, ko)

Donc, si l'on remplace P(s) par sa valeur et si Ton pose

■ • ■ .. .<.)=îT^n(^:r

il viendra, par la formule (14) précédente,

L{8yk)L{8yko)

(111) Hs)

L(2«,Ao)

Or, en substituant L à Z, on peut raisonner sur les formules II et III comme sur les formules (2) et (3) du ii° 67 de la seconde partie. Donc il est impossible que L{s,k) s'annule pour s=a 1.

§ 5. Démonstration du théorème de Dirichlet.

26. La première hypothèse du n® 25 étant la seule possible, reprenons Téquation (13) et multiplions-la par k(c), ce qui donne

ft(c-«) lim (. - I) nrrî^ lim («-!) 2 [%,c-') + %,-' c-')]i?.;

le premier membre sera nul, sauf dans le cas du caractère principal ou il est égal à un- Ajoutons toutes les équations qui se déduisent de la précédente par réchange des caractères et rappelons*nous que les deux sommes

2^(v~*) et 2*(C^"*)

s'annulent respectivement, sauf si c =3 c^ pour la première ou si c sa c^* pour la seconde, auxquels cas elles sont respec(ivement égales à A; il viendra, en désignant en général par q^ les nombres premiers représentables par la classe c :

i ** Si c est une classe bilatérale (*) (ambiguë) auquel cas c=c ~ \

(15") 2Alim(«— 1)2-T = ^;

C) Je me sers du terme bilatérale comme traduction du terme zweiseitige proposé par M. Dedekiud.

— no —

2* Si c n'est pas une classe bilatérale, (13*) yilim(s- i)5^'=i.

Ces formules renferment une démonstration nouvelle et plus précise du théorème de Dirichlet. Elles nous permettent, en effety d*énoncer le résultat suivant :

Toute forme proprement primitive du déterminant négatif ( — A) peut représenter une infinité de nombres premiers.

La fréquence des nombres premiers ainsi représentables n est pas la même pour toutes les classes de formes. Elle est la même pour toutes les formes appartenant à des classes bilatérales, la même aussi pour toutes les formes appartenant à des classes non bilatérales, mais elle est moitié moindre dans le premier cas que dans le second. Nous allons donner à ce résultat une expression plus précise encore au chapitre suivant.