HAYBZ, IMPRIMEUR DE L* ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE

Rue de Louvahij 112

En généràily dans cette inégalité, il fandra supposer A et |V fonctions de a. Mais si Ton peut supposer ces deux quantités indépendantes de a et, en outre, assigner à tous les (coefficients A des limites supérieures indépendantes de a, nous disons q|ie F («, a) vérifie uniformément la condition 0. Nous ajouterops, s*il y a lieu de le préciser^ que cette uniformité a lieu, a étpnt considéré comme variable dans telles eonditions déterminées,

3. Remarques sur les notations. Nous rencontrerons souvent, dans notre analyse, des fonctions qui nous intéresseront uniquement par la propriété de vérifier la condition e. Cornme il importe de définir une notation rappelant cette propriété, nous ferons les conventions suivantes, qui seront observées jusqu'à la fin du Mémoire :

Une fonction vérifiant la condition 8 sera représentée d'une manière générale par 6 (s), — Des fonctions difiérentes vérifiant la condition le seront par 6^ («), 62(^)9 **•» s*>' y ^ 'î^ti de distinguer ces fonctions entre elles; sinon, elles seront toutes également représentées par 6 (s).

Une fonction qui vérifie uniformément la condition 8| pour un système déterminé de valeurs d'un paramètre a, sera représentée par 9 («, a).

4. Extension des définitions précédentes. Les définitions et les notations ci-dessus se généralisent d'elles-mêmes et s'étendent au cas où la fonction considérée de s dépend de plusieurs paramètres a, p, ...

Si la fonction

Al («, 6, .. ) A^ (a, 6, .. )

vérifie la condition

mod A„ < (A/w)",

pour n > N et pour des valeurs de N et de A indépendantes de a, ^, ...; si, en outre, on peut assigner à tous les coefficients A

des limiles indépendanles de à^ |3, ..., vàom dfi^>ii6 que h fonction F(«,a, P, ...) vérifie uniformément la condition B. Dans ce cas, nous la représenterons par la notation 9 («, «, ^, ...).

Il importe de remarquer que, quand il s'agira de la condition B, le développement en série potentielle sera toujours supposé se faire par rapport à la variable s. Il n*y aura donc jamais d'ambiguïté possible dans ces notations. Nous nous servirons cependant de la notation 9 (a, p, ...) pour désigner une fonction continiie et limitée de a, |3, ... qui ne contient pas s^ mais ce n'est en réalité que l'application des conventions précédentes au cas particulier où le développement de Taylor se réduit à son premier terme.

5. Importance de la condition 9. Une fonction qui vérifie la condition B ne peut être d'un genre supérieur au premier, et si elle a une infinité de racines p, la série Sp"*, étendue è toutes ces racines, sera absolument convergente pour m < — 1 . Ce sont ces conséquences, dont on a déjà vu le rôle essentiel dans les parties précédentes du Mémoire, qui rendent importante pour nous l'étude de la condition B. Ces deux conséquences dérivent immédiatement des principes établis par M. Hadamard. Nous les avons appliqués déjà aux n"*' 16 et 17 de la deuxième partie du Mémoire et il est inutile de les reproduire encore une fois.

6. Théorème I. Si une fonction 9 (s) vérifie (uniformément) la condition B, la fonction 9 (as + b), obtenue en y remplaçant s par une fonction linéaire de s, vérifie atAssi (uniformément) la condition B.

Théorème II. Si plusieurs fonctions vérifient (uniformément) la condition B, il en est aussi de même pour leur somme et pour leur produit.

Nous allons démontrer ces deux théorèmes, en considérant, dans les démonstrations, toutes les lettres comme des quantités réelles et positives. Le raisonnement fait dans cette hypothèse sera concluant a fortiori pour tous les autres cas.

Démonêtration du théorème I. Considérons la fonction

avec la condition

(2) A„<(A./n)% pourn>N.

11 est d*abord évident que 8 {as) vérifie la condition 0, car cette substitution revient è multiplier A. par a* et Ton a, par (2),

a-A, < (aA . ln)\

En définitive, il suffit de montrer que 9 (s + 6) vérifie la condition 8. Pour faire cette démonstration, on peut supposer que les coefiicients de la série (1).

vont constamment en décroissant à partir de n b=> N. En effet, si cette condition n'avait pas lieu, on pourrait remplacer la série (1) par une autre dont les coefficients seraient plus grands que ceux de la série (1), vérifieraient la condition (2) et, en outre, celle que nous venons de dire (*). Le raisonnement fait sur cette nouvelle série sera a fortiori concluant pour la série (1). On peut enfin supposer 6 < 1 , car le raisonnement fait pour 6 < 1 s'étend de proche en proche à toutes les valeurs de 6. Posons, dans cette hypothèse,

a (8 -^ 6) =s Bo -^ B|$ + • •• H — s" -*-•••.

{*) l\ snfËrsi, par exemple, de faire

et de donnera d une valeur fixe soflSsamment grande (voir la note page 3). Les coefficients iront en décroissant pour n > dUn»

On aura

Mais, par hypothèse, les coefficients

w -♦- 1 (» -t- i)(n -♦- 2) sont décroissants; on a donc, 6 étant < 1,

ce qui prouve le théorème.

Démonstration du théorème II. La première partie du théorème est évidente. Il suffira d*établir que le produit de deux fonctions qui vérifient la condition B vérifie aussi la condition 8. Pour cela» nous allons nous servir d*une représentation symbolique du développement taylorien. Considérons la fonction 9 (s) de la démonstration précédente; en admettant que le premier ^ coefficient Aq »» 1 (ce qui n*importe pas à la généralité des raisonnements) et en posant symboliquement A" = A., on pourra poser symboliquement aussi

A" = A, < (A//i)", pour » > i.

< {àiln)\

pour

fi> 1.

Pour une autre fonction 6| (s), les mêmes conventions donneront

11 résulte de ces inégalités qu on aura une limite supérieure d'une expression symbolique entière, à termes positifs, de degré p en A et de degré q en B, en y remplaçant A par A(p et B par A|/g, pourvu seulement qu'on ait aussi

A, < A/p, B, < AJq.

Or on a aussi symboliquement

et, par la remarque précédente, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,

(A + B)« < [(A H- Ai) ln]\

Le théorème est donc démontré.

7. Théorêue ]II. Soit («, a) une fonction qui vérifie uniformément la condition S dans l'intervalle (a, b) du paramètre a, l'intégrale à limites finies

vérifie aussi la condition 0.

Ce théorème est évident. En employant les notations du n® 3, on peut l'exprimer par l'équation

Sous celte forme, le théorème se généralise aisément. Si a est une variable compleiKe et G un contour fini d^intégration, on a

/ 6 (s, a)da = ô (s),

Plus généralement encore, en employant les notations du n® 4,