Théorème IV. Utie intégrale de la forme

ê (x, a, p, ...) e""x'(iXf

où a est un nombre positif et où 9 (x, a, P, ...) désigne une fonction continue et limitée de la variable d'intégration x et des paramètres a, P, ... est une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 6, les paramètres étant considérés comme variables.

La démonstration de ce théorème est comprise dans celle du n® 16 de la seconde partie du Mémoire.

s s. Tratu/brma (ton générale d'utu intégrale définie timple. Application à F (i).

10. Soil f (z) ' une fonciion eyneclique de la variable imaginaire z dans un cercle <)e rayon b autour de l'origine. L'inlégrale

repréf^enie une fonction sy neciique de la variable s pour S{(s)> — !■ Mais la fonciion ne cesse pas d'exister pour les autres vateurs de s et son expression valable dans tout te pian peut s'obtenir par les considérations suivantes :

Remarquons que la fonciion de z

est syneclique et], uniforme dans la région à contour timple limitée par la portion AB de l'axe des x et deux cercles décrits de l'origine O comme centre, l'un C avec le rayon 6, l'autre C avec un rayon infiniment petit. Par consëqueni, si nous intégrons la difTérentielle

r{z)z-uz

le loog du contour AGABG'BA de celte région (C étant supposé parcouru dans le sens direct et C dans le sens rétrograde), l'intégrale sera nulle. Nous écrirons ce résultat sous la forme