I) (C) ^ (AB) — (C) ^ (BA

Pour évaluer chacune de ces intégrales parliellesy donnons à Zf au point A, la valeur initiale be"^*. En parcourant la circonférence C, z reviendra en A avec la valeur 6e'^*; Tintégrale (AB), dans (1), a donc pour valeur

f(x) x'dx =» — e'^" / f{x) x'dx,

Après le parcours de C, z reviendra en B avec Targument — n; donc rintégrale (BA) sera

(BÂ)«=>e

-^^ / f{x) x'dx.

L'intégrale (C) le long du cercle infiniment petit est nulle, pour cR («) > — 1 , et nous poserons d*abord

L'équation (t) prend ainsi la forme

/*/'(z) z'dz — (c^" — e-^*') r f(x) x'dx « 0,

d'où l'on lire

(2). . . . / f(x) x'dx = -. ^ / /*(«) «'«'«.

^ ' J sin «ir 2i,/

Le second membre de cette équation fournit,sous une première

forme, Texpression valable dans tout le plan s que nous nous proposions d*obtenir« En effet, la fonction à intégrer ne peut pas avoir de point critique sur le contour G d'intégration.

Nous allons transformer ce second membre. Dans l'intégrale relative au contour G qui y figure, on a

z = be*^, dz = be*fidfy

donc

-y f{z) z'dz = —J f(bc *?) e^'^'^fW'^,

d où la relation suivante, dont nous aurons souvent à faire usage,

(3) . . . r fit) z'dz = -^ r r(befr) ef^W'rfy. t/ 2 sm sn^/

—TT

11. Cas où f (z) dépend de s. Supposons que nous ayons maintenant à considérer une intégrale de la forme plus générale

f(z,s)z'dz,

où Ton désigne par f(z, s) une fonction synectique de z dans le cercle de rayon b et cela pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de s. Les raisonnements et les conclusions du numéro précédent subsistent intégralement. On a donc

(4) . . rf{z,8)z-dz = -^ f'f(be'f,s)é'^"f'df, J 2 sm %ifJ

et le second membre de cette équation fournit une représentation, valable dans tout le plan 8, de la fonction de % qui n est définie dans le premier membre que pour ^ (s) > — 1.

12. Théorème. Soiiy suivant les notations du n^ 3, 9 (s, z) ime fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition quand le paramètre réel ou imaginaire z varie dans un cercle de

rayon h autour de l'origine; si 6 (s, z) est en outre une fonction synectique de z dans ce cercle de rayon b, la fonction définie pour cR (s) > — ^ par la formule

F(«) = sin<ir / ô{8,z)z'dz

est une fonction entière de s qui vérifie la condition et s'eœprimey quel que soit s, par l'intégrale

F (s) «= i b"-' n ô («, 6e*^) et'+'^f y y.

—TT

Démonstration, Ces deux expressions de F (s) sont égales par la formule (4) du numéro précédent. 11 suffit donc de démontrer que la seconde vérifie la condition 9. La quantité qui y figure sous le signe d'intégration, savoir :

b'+'ô {s, bfff) et'+*)î'*,

vérifie uniformément la condition 6, f variant de — ir à 4- tc, car c'est un produit de (rois facteurs qui sont dans ce cas (théorème il, n® 6), donc l'intégrale vérifie aussi la condition B (théorème III, n<> 7).

Retnarque. On peut généraliser le théorème précédent en y remplaçant Q(s,z) par une fonction plus générale 9 («,z,a, ^, ...) renfermant un plus grand nombre de paramètres variables, et vérifiant toujours uniformément la condition 9. Il en résultera une fonction

F («, a, p, ...) = sin sn / $ (6*, z, a, p, ...) z'dz,

qui vérifiera uniformément la condition 9.

13. Application à F (s). La fonction F (1 —s) peut être défi nie, pour S{ (s) > 0, par l'équation

e- 'X' 'dx=» / -^ / c-'x- *rfx.

AppNq^ions la transformation (3) du n^ 10 à la première intégrale ad second membre. 11 vient

r (1 — «)-. ^^ n e-*(*-f+«-F)e<'->î'yî. -H /** e-'x-rfx.

' 2sm39r,/ J

-jr

Remplaçons le premier membre, r(1 — ^\ par tc : r(5)sin «tt, qui lui est égal, et multiplions toute Téquation par sin «ir; nous obtiendrons

« sin «T r^e-'x-^àx — -- 6*- C^ e''^'^f^''''fV"^^'df.

Remplaçons la variable d'intégration x par bx\ il vient

■ — sin »«• r*e-*'x-dx — - f e-*(~"'+*"'1''e<'-"^dj..

-TT

Enfin, si Ton fait 6 =» 1, on trouve, en particulier,

(7) •- — = sin %r 1 e"x-"dx / c-<fTH4.ia«)g(i-.)fy^

Cette expression remarquable de 1 : r(s) est due à Heine. Elle va jouer un rôle important dans les recherches qui vont suivre.

14. Théorème. La fonction 1 : r(«) est une fonction entière dans tout le plan qui vérifie la condition 6.

Cest ce qui résulte de Tune quelconque des trois dernières équations, par exemple de Féquation (7), où le second membre est une somme de deux termes qui vérifient la condition 6, le premier par les théorèmes des n^ 9 (où Ton changera s en — s) et 6, le second par celui du n^ 7.

§ 3. Transformation générale d'une intégrale définie double.

Théorèmes qui s'en déduisent,

15. Théorème. Soient \ ety deux variables réelles et ( (y) une fonction continue de y dans l'intervalle (o, b) ; soient ensuite s une quantité réelle ou imaginaire telle qu'on ait «(R (s) > 1 et m un nombre positif; je dis que l'intégrale double

-f'fWyf

peut se mettre sous la forme

f{y)y'^'^''^y I e-'x"dx -\- m 1 e-^'^dx I f{xy)y^'-''dy.

(fit

Démonstration, Changeons cl*abord, dans l'intégrale I, la variable d'intégration x en x : j^"*; il vient

f = /* f (y) y^"'^dyf''e-'x"dx ;

ensuite, par la subdivision de Tintcrvalle (y"*, oo) d'intégration en deux parties,

/'(»)•/-"-'% I y +y e-'x-dx\.

b*» ym

Par cette formule, 1 se décompose en deux termes, dont le premier figure aussi comme premier terme dans la décomposition à démontrer. Il nous reste donc à démontrer que les seconds termes sont égaux aussi, ou que Ton a

f(y)y^^'-Hy I e"x"dx =^ m J e'^^^dx j f {xy)y''^-'^dy.

Pour cela, changeons x en x"* dans Tintégrale intérieure au premier membre. Celui-ci prend la forme

r f{y)y'"^"'^dy r «-'-X— <-*> — .

Écrivons cette expression comme il suit :

fin) y"^' ''^dy I e-«'"x-"^' -«) —

La fonction soumise à une double intégration est maintenant continue dans tout le champ de celte intégration, qui est compris entre les trois droites : « = y, ac = 6, y = e. On peut intervertir les intégrations et Ton trouve

/•* dx /**

lim / c-'^x— f'-*> — / f(y)y'''"*^dy.

Enfin, si Ton change encore, dans l'intégrale intérieure, y en xi/, on trouve

lim r e"^dx r f(xy)y'^^"*^dy,

c'est-à-dire, sans aucune difficulté pour c)\(«) > 1,

1 / f'^dx r f{xy)y'^^"Hyy

ce qui est bien le second terme de la décomposition à établir.

16. Cas particulier. Pour w» = 1, le théorème précédent fournil Téqualion

f[y)dy I e'^'x-'dx = / /"(y) y' '*dx 1 c-'x-'rfx

J^ ^"dxf f(xy)y'-'dy.

17. Théorème. Désignons, comme au n^ 3, par (s, y) une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition S qiuind le paramètre réel ou imaginaire y varie dans un cercle de rayon h autour de l'origine; si la fonction 6 (s, y) est, en outre, une fonction synectique de y dans ce cercle, je dis que la fonction définie, pour «R (s) > 1 , par la formule

* (*> y) ^y I c^'x^'dx ,

est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition 0.

Démonstration. Ce théorème résulte de la formule précédente (n® 16). Par celle-ci, F (s) se décompose en deux termes :

e^'xr'dx X sin 5îr / e («, y) y' '*dy

in st I e""'rfx / 6 («, xy) y'~*dy.

sin

Je dis que chacun de ces deux termes vérifie la condition B. Quant au premier, il est un produit de deux facteurs qui vérifient respectivement la condition par les théorèmes du n"" 9 pour le premier et du n"" 12 pour le second.

Le second terme est Tintégrale, par rapport au paramètre x, de la fonction

rj Hs,xy)y'-^dy,

sin sjt

qui vérifie uniformément la condition par le théorème du n^' 12; donc (n® 7), ce terme lui-même vériGe la condition et le théorème est démontré.

Remarque, On peut généraliser le théorème en y remplaçant la fonction i{s,y) par une fonction plus générale ^{s^ypOL,^^...),

dépendant de plusieurs paramètres et vérifiant uniformément la condition e. Il en résultera une fonction F (8,»^^,.,.) qui vérifiera uniformément la condition e, a, |3,... étant considérés comme variables.

18. Théorème. Soit, comme au numéro précédent, 9 (s, y) une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition Q quand le paramètre réel ou imaginaire y varie dans un cercle de rayon b autour de l'origine ; si 6 (s, y) est, en outre, une fonction synectique de y dans ce cercle, je dis que la fonction définie pour cR (s) > iy par la formule

P(«) = j;^y M«,y)y-*rfy,

est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition S.

Démonstration. La formule (6) du n® 13 devient, en y remplaçant b par y^

-p— = sin SX I e'^'ar'dx — - / e-yf'«"?^H«*"»)e<»-')»''dy,

ce qui, substitué sous le signe d'intégration dans Texpression de P(j), nous donne la décomposition en deux termes :

e (s, y) ày j e~^'x"*dx

f B(Syy)dy r e-v(e--?'+wnf)g(i-.)î>yy.

'TT

Le second terme converge dans tout le plan et vérifie la condition 6 (n® 7). Reste à démontrer que le premier définit une fonction entière vérifiant la condition 0. C*est là ce qui faisait lobjet du théorème précédent (n" 17).

Remarque, On peut reproduire ici une remarque identique à eelle qui termine le numéro précédent.

19* On peut restreindre, comme il suit, les conditions du théorème précédent :

Théorème. Soii 6 (s) une fonction entière de s, qui vérifie uniformément la condition S, quand le paramètre y varie des deux manières suivantes : 1® dans l'intervalle réel (0, b); 2® dans un cercle de rayon s suffisamment petit autour de Forigine. Si la fonction 9 (s, y) est^ en outre, une fonction synectique de y dans ce cercle de rayon suffisamment petit, la formule

définit, pour cR (s) > 1 , une fonction entière dans tout le plan et qui vérifie la condition e.

En effet, faisons la décomposition en deux termes :

le premier terme vérifie la condition 6 par le théorème du numéro précédent; le second, par l'application immédiate des conclusions du n^ 7 à l'intégrale qui y figure et de celles du n® 14 au facteur tt : F {s).

Remarque. Comme au numéro précédent, on peut aussi reproduire textuellement ici la remarque finale du n^ 17.

§ 4. Application des théorèmes précédents à certains

cas particuliers.

20. Nous allons considérer des intégrales où figure le trinôme du second degré en y

p -♦- ^qy -*- ry\

Nous ferons, sur celle expression, les hypothèses suivantes : i^ Les irois coefficienls p, 9, r sonl réels, le premier p est positif et non nul;

2** Le discriminant que nous représentons par (),

^=9- — pr, est positif;

5® L*expression (p -f- iqy -+■ ry^) ne s'annule pas dans Fintervalle (0, i) dey.

On a, dans ces conditions, le théorème suivant :

21. Théorème. La fonction définie, pour ,^(s)> 1, par la formule

2?» -»- ry*)

est une fonction entière de s dans tout le plan qui vérifie la condition e.

Démonstration. Changeons d*abord y en l : y dans rintégrale; il viendra

^qy 4- ry

Donnons-nous un nombre Y assez grand pour que la fonction (py* H- Sg?/ H- ry^) soit constamment croissante pour y > Y et faisons la décomposition en deux termes :

i /^ ^ dy i /^ * dy

^""^"ros— 07 {py-^^y-^r)'^T(s—k)J ipy'-^^qy^r/

Le premier terme est un produit de deux facteurs qtu vérifient la condition (n*^ 14 et n^ 7). Il reste simplement à examiner le second terme.

Définissons un nombre positif Z et une nouvelle variable z

par les formules

Z = pY* -*- 29Y ^ r,

et prenons z comme variable d'inli^gralion. On a, puisque zéiy sont tous deux positifs pour y > Yf

— </ -♦- l/^-t- pz , dz

y == ^ » dy =

^ 2 \/ê •+- pz

d'oix

dy \ Z'* z'dz

\ /' * dy • i r

r (« - i)y (p -i- 2(/y -H r^*)' 2r(5 - i)y v/TT^i et, en changeant encore la variable d*in(égralion z en Z : z.

--h)J (p H- % + ryV ~ Sr (« — i)y

Le second membre de celte équation déGnit une fonction entière de b qui vérifie la condition 6, en vertu du théorème précédent n" 19 (où Ton changera « en « — i). En effet, la fonction

est, vu les hypothèses surp etd(SO), une fonction continue dez dans rintervalle (0, 1) et qui est synectique dans un cercle de rayon suflisamment petit autour de Torigine.

Remarque I. Si p, q et r sont variables entre des limites finies, sans cesser de satisfaire aux conditions du n® 20, là fonction F (s) du théorème vérifiera uniformément la condition 0, pourvu que la fonction (p -+- ^qy -h ry^) ne puisse tendre vers zéro pour aucune valeur de y appartenant à l'intervalle (0, 1), limites comprises.

Remarque II. Les dérivées partielles de F (s) par rapport k pf q^r sont encore des fonctions entières de s qui vérifient la condition 0.

Cette remarque résulte immédiatement de ce que les dérivées partielles de la fonction

par rapport à p, 9, r, sont des fonctions continues ou synectiques de z dans les mêmes conditions que cette fonction elle-même. Il résulte encore de là que la remarque I s*applique aussi bien aux dérivées partielles de F (s) qu*à cette fonction elle-même. Par conséquent, si p, 9, r varient comme on Ta dit dans la remarque I, les dérivées partielles de F {%) vérifieront uniformément la condition 6.

22. Théorème. Le trinôme (p -4- 2qy h- ry*) étant assujetti aux conditions du «• 20, la fonction définie, pour ^ (s) > 1 , par l'intégrale double

/ a:"*c~»*'rfx,

est une fonction entih^e de s dans tout le plan qui vérifie la condition 6.

Appliquons la décomposition du n<^15, où nous ferons m sa 2 et f(%i) — (p -f- 2gy -h ry')~'; il viendra

F(«)=— / , ^ ^ — --X / «-'x-rfx

Txf'-'''^f\

y^^dy

(p •♦- Iqxy -+- r3?y*)'

La fonction F (s) est ainsi déeamposée en deux termes. Le premier terme vérifie la condition s, car e*est un produit de deux facteurs qui sont dans e^ cas, le premier par le théorème du n<^ 21 et le second par celui du n* 9 (où Ton changera s en — s).

Le second terme de F (s) vérifie aussi la condition S, car, quand x varie de à 1, la fonction

est, par le théorème du n® 21 qui précède (remarque I), une fonction entière de s qui vérifie uniformément la condition 8. Ce second terme est donc de la forme

2 / e-'*9 (s, x) dx.

et il vériiie la condition 8 par le théorème du n^ 7.

Remarque /. Si les coeflicients p^q^r du trinôme (p -t- 2g«/ + ry^) sont variables entre des limites finies, la fonction F (s) vérifiera uniformément la condition B, pourvu que le trinôme reste assujetti aux conditions du n*" 20 et ne puisse tendre vers zéro, pour aucun systtoie de valeurs de p, 9, r et j/ (y variant entre et 1). En efiet, par la remarque I du numéro précédent, la fonction 9 {s, x) de la démonstration ci-dessus conserve les propriétés que nous lui avons aUribuées.

Remarque IL Les dérivées partielles par rapport aux paramètres p, 7 et r de la fonction F (s) du théorème sont encore des fonctions entières de s qui vérifient la condition 6.

En eiïel, par la remarque H du numéro précédent, les dérivées partielles de la fonction 6 {s, x) de la démonstration ci*dessus conservent aussi les propriétés que nous avons attribuées à cette fonction elle-même.

On voit, en outre, que si p, 9, r sont variables comme dans la remarque précédente, les dérivées partielles on question vérifieront aussi uniformément la condition B«