CHAPITRE III

LOIS ASTMPTOTIQUES

27. Théorème. Aucune des fonctions L (s, k, x) n'a de racines de la forme 1 h- ^i.

Considérons Texpression

elle est égale à zéro ou à ( — >) suivant que « =» 1 -^ ^t est un point ordinaire ou un zéro de degré 1 da. L^Sr ^^ ]Ù-

Additionnons toutes les équations qui se déduisent de la précédente par la variation du caractère k seul. Il ne subsistera au second membre que les nombres premiers q^ représentables par

la classe principale. On trouvera donc

(i) -2^ = 2Alim(»-l)2z(9),-^'

OÙ £X est la somme des ordres de multiplicité des zéros (1 + pt) pour les fonctions qui se déduisent successivement de L(«, k, /) par la permutation de k. La somme du second membre, où Ton peut supposer s réel et > 1, ne peut surpasser la somme des modules de ses termes :

C2) ih\im(s-^i)2-zr-^^

et, par conséquent, une seule au plus des fonctions L(s,k,')Q s*annule dans la série considérée et elle n*a, dans ce cas, qu'un zéro simple. Enfin, si cette fonction existe, elle doit être formée avec un caractère k bilatéral, sans quoi, les deux fonctions identiques L (s, k, x) 6^ ^ (*i *~S X) s'annulant ensemble, deux fonctions s'annuleraient dans la série que Ton considère.

Montrons maintenant que ces dernières hypothèses ellesmêmes sont impossibles. Pour cela, ajoutons ensemble les équations (1) et (2) en faisant SX =3 1 dans la première et en y intervertissant Tordre des deux membres; supposons « réel et négligeons la partie imaginaire; il viendra, en se rappelant que x (?) est toujours réel pour un caractère bilatéral,

2A lim (s — 1) 2 [i -H X (9) c«s plq] -~^ «= 0.

Tous les termes sont positifs; en les multipliant respectivement par 1 — X (9) ^^^ i^^9* ^"' ^^^ compris entre et 2, et en observant que

2 [i -*. X (9) cos plq] [1 — X (9) cos plq] = i — cos 2^/^, on trouvera aussi

2A lira (5 — i) 2 (I — cos ^plq) ^ = 0.

«« , qU

Mais cette équation est impossible, car si Ton change ^ en 2^ et X CD Xo dans les équations (1) et (2), et si Ton soustrait ces

équations Tune de Tautre, après avoir interverti Tordre des deux membres de la première, on trouve, en négligeant la partie imaginaire,

2/ilim(« — i)5(l -cos2fi/o)i?î!^i + \ a.

Le second membre est égal à t<n ou & deiuc suivant que « sa 1 + 2^1 est un point ordinaire ou un zéro pour une des fonctions L(5, /:, Xo)> ^^^^ '' ^^ P^"^ ^^^^ ^^^' Donc, etc.

28. Nous avons maintenant étendu aux fonctions L(s, Ar, x) toutes les propriétés des fonctions L(Sy k) et Z(s, /) sur lesquelles repose l'analyse complémentaire des parties précédentes du Mémoire. Cette analyse s*étend donc aussi au cas actuel. Nous nous contenterons d en indiquer les conclusions qui se déduisent par analogie à simple vue de la formule (4) qui termine le chapitre précédent.

Soient h le nombre des classes (positives) proprement primitives, g le nombre des genres et, par conséquent, - le nombre des classes d'un même genre; désignons par g, „ tes nombres premiers de la forme linéaire Mx -h N et d'une forme quadratique de la classe c du genre (N). On a les théorèmes suivants :

1® L'expression

où la somme s'étend aux nombres q^^ qui sont < y e/ où e est égal à 2 ou à 1 selon que la classe c est ou n'est pas bilatérale^ a pour limite Vunité quand y tend vers l'infini.

2® Le nombre des nombres premiers q.,,, qui sont < y peut se représenter par l'expression

OÙ £ est infiniment petit pour y infiniment grand.