Revenons à Péquation (1) du paragraphe précédent, savoir

(i) li^nj(.i)2x(9) -^. /7«-l.m(.-.l)^;.^^^^;

multiplions-la par x (N)~' ^^ sommons par rapport à tous les

caractères x; il ne subsistera au premier membre que les nombres premiers g^^ de la forme Mx 4- N cl l'on trouvera :

1* Si k est un caractère non bilatéral, auquel cas aucune fonction L («, A:, y) n*a dé pôles au second membre (n^ 21) :

(2*). . . f(M)lim(«-l)2[fc(c,)H./c(O]% = 0;

2® Si k est un caractère bilatéral» auquel cas deux fonctions ^ («> *> X) ^^ ï^ (*» *> X') 0"^ "" Pûle (n* 21) :

(2*) f (M) lim (5-1) 2 [^^ W -^ *(0]^= X(N)-^ -*-7:(Nr.

Mais A: étant bilatéral, k (c) conserve la même valeur pour toutes les classes du genre (N), que nous représenterons en général par r,,; on a donc dans la dernière équation

* (c,) « k (cr*) = k (c«)

et réquation elIcMnéme devient

2fc (c«) f (M) Imi (« i ) 2 '^ » X (Nr* -^ X' (N)"'.

On en déduit par les théorèmes de la seconde partie (n<^ 69) et en se rappelant que x ^^ T! sont bilatéraux (n^^ 22),

2/r (cn) -= X (N)-* ■*- x' (N)-* = x (N) -i- x' (N). Donc, puisque tous ces caractères sont égaux à db 1, (3) X (N) -= X (N) = * (a

26. Soit maintenant c une classe du genre (N); multiplions les équations (2) du numéro précédent par A:(c)'~' et sommons par rapport à tous les caractères A:; il viendra

ehf(M) lim («-!) 2 TT- = 8* (c)-« [x (N)"* + x' (N)-'],

relation dans laquelle e»» 2 ou 1 suivant que la classe c est ou

n'est pas bilatérale, et où la somme du second membre s'étend à tous les caractères k bilatéraux. On remarquera que les deux caractères / et %' au second membre de cette équation dépendent de k et sont les deux caractères bilatéraux pour lesquels L(s,kyX) & tin pôle. Donc, en vertu des relations (3), chaque terme du second membre est égal à 3; le nombre des termes est égal à celui des caractères k bilatéraux, cest-à-dire à celui des genres et, par conséquent, en désignant par g le nombre des genres, il vient

(4) 6AnM)lim(5-i)2'-T^-=2s.

Cette équation prouve qu'il existe une infinité de nombres q^j^ d'une forme linéaire Mx + N et en même temps d'une forme quadratique de la classe c du genre (N). La fréquence de ces nombres est la même pour toutes les classes c bilatérales, la même aussi pour toutes les classes c non bilatérales, mais elle est moitié moindre dans le premier cas que dans le second. Ce résultat va se préciser encore au chapitre suivant.