SECTION SECONDE

Des Congruences du premier degré.

ïD. xhÉorème. Ze produit de deux nombres positifs plus pe» tits qu'un nombre premier donné , ne peut être dii^iséparce nombre premier»

Soit/7 le nombre premier et a <ip ef^ o \ ]e dis qu'on ne pourra trouver aucun nombre positif Z>, plus petit que /?, qui rende

ab^o ( module p ).

En effet , s'il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres h, c, d, etc, tous plus petits que p, ensorte qu'on ait ab^o, ac^o, etc., (mod./?), soit b le plus petit de tous, desorte qu'on n'en puisse supposer un plus petit que b , on aura évidemment Z> >> I ; car si ^=i , on aurait ab=:a<Cp et partant non divisible par p. Or p comme nombre premier ne peut être divisé par b, mais tombera entre deux multiples de Z>, inb et (772+ i ) b. Soit p — J7ib:=:b' , b' sera positif et <C b. Or nous avons supposé ab^o ( mod./?), on aura donc mab^o\ et retranchant de ap^o, on aura a (/7 — mb) z=.aU ^o; donc Z>' devrait être rais au rang des nombres b , c, d, etc., et serait plus petit que le plus petit de tous, ce qui est contre la supposition.

14. Si aucun des deux nombres a. et h n'est divisible par un nombre premier p , le produit ab ne le sera pas non plus.

Soient a et /3 les résidus minima positifs des nombres « et 3, s uivant le module /?, aucun d'eux ne sera nul par hypothèse. Or si l'on avait ab^o, comme ab^a^f on aurait ct/3^o, ce qui serait contraire au théorème précédent.

La démonstration de ce théorème a déjà été donnée par Euclide , 1E.I. VII, 52. Nous n'avons pas cependant voulu l'omettre, tant parceque plusieurs auteurs modernes ont présenté des raisonnemens vagues au lieu de démonstration , ou bien ont négligé ce théorème j que dans le but de faire mieux saisir , par ce cas très-simple, l'esprit de la méthode que nous appliquerons par la suite à des points bien difficiles.

i5. Si aucun des nombres a, b, c, d, etc, n'est divisible par le nombre premier Tp,le produit abcd, etc. ne le sera pas non plus.

Suivant l'article précédent, ab n'est pas divisible paryf?^ donc il en est de même de abc , et ainsi de suite.

16. Théorème. Un nombre composé ne peut se résoudre que d'une seule manière f en facteurs premiers.

Il est évident par les élémens, que Ton peut toujours décomposer un nombre quelconque en facteurs premiers ; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit possible que d'une manière. Imaginons qu'un nombre composé ^

./4.:=:a b c etc., a, b , c, etc. étant des nombres premiers inégaux, soit encore decomposable d'une autre manière en facteurs premiers. Il est d'abord manifeste que dans ce second système de facteurs il ne peut entrer d'autres nombres premiers que a^bfC, etc. , puisque quelqu' autre que ce fut ne pourrait diviser ^,qui est composé des premiers. De même aucun des nombres premiers a, b, c, etc. ne peut y manquer, car sans cela il ne diviserait pas ^ ( n" i5 )^ la différence ne peut donc porter que sur les exposans. Or soit un nombre premier p , qui ait dans l'un des systèmes l'exposant m, et dans l'autre l'exposant Ji, m étant > tz : divisons de part et d'autre par p"" , p restera dans l'un affecté de l'ex-

A posant 772 — ?i y et disparaîtra de l'autre, donc -7 pom-rait se décomposer de deux manières, dans l'une desquelles /? n'entrerait pas, tandis qu'il resterait dans l'autre , ce qui est contre ce que nous avons démontré.

17. Si donc le nombre y4 est le produit de ^, C, Z), etc. , il s'ensuit que les nombres B , C , D , etc ne peuvent avoir de facteurs premiers différeus de ceux de ^; et que chacun de ces facteurs doit

se trouver autant de fois dans les nombres B, C , D , etc ; pris ensemble, que dans ^. On déduit de là le caractère pour reconnaître si le nombre B divise ou non un autre nombre ^. Il le divisera s'il ne contient aucun facteur premier étranger k ^, ni aucune puissance plus grande d'un des facteurs premiers de y4. Si une de ces conditions manque, B ne divisera pas ^.

A l'aide du calcul des combinaisons , on verra aisément que si. . .

^z=za b c etc, a, b, c, etc. étant comme ci-dessus des nombres premiers différens , le nombre des diviseurs différens de -4, en j comprenant i et^, est ( ct+ j ) (/3^-i ) (>+ ^ ) ^^c.

18. Si donc ^ = ^ b c^ etc., K=:k / /wf* etc., et si tous les facteurs «, b, c, etc. diffèrent des facteurs i?:, /, ttz , etc. ; -«^ et K n'auront d'autre diviseur commun que i, ou bien seront premiers entr'eux.

Le plus grand commun dwiseur entre plusieurs nombres donnés \A, By c, etc. se trouve de la manière suivante : On décompose les nombres en facteurs premiers , et l'on prend ceux qui sont communs à tous les nombres ué , B , C , etc. ( s'il n'j en avait pas de tels, les nombres donnés n'auraient pas de commun diviseur ) ; alors on remarque quels sont les exposans de ces facteurs, dans chacun des nombres A, B , C, etc. 3 on donne à chaque facteur le plus petit des exposans qu'il a dans A, B , C , etc., et l'on compose un produit des puissances qui en résultent 3 ce sera le plus grand commun diviseur cherché.

Si l'on cherchait au contraire le plus petit nopibre divisible à-lafois , par les nombres A , B , C , etc. , on prendrait tous les nombres premiers qui diviseraient quelqu'un des nombres -df, ^, C, etc, et on donnerait à chacun d'eux le plus haut exposant qu'il ait dans les nombres AjB, C , etc. Le produit de toutes ces puissances serait le nombre cherché.

Soient, par exemple,

Pour trouver le plus grand diviseur commun , on a les facteurs premiers 2 et 3 , qui doivent être affectés des exposans 3 et 2 , d'où il vient 2^ . 3^:=72. Quant au plus petit nombre divisible pa.rA,Bj C^ il sera 2 ^3^ 5, 7 = 6048.

Nous

ARITHMETIQUES. 9

Nous omettons les démonstrations à cause de leur facilité ', d'ailleurs on sait par les élémens comment on résout ces problêmes , quand les nombres A. , B , C, etc. ne sont point donnés tout décomposés en facteurs.

19. Si les nombres a., b,c, etc. sonl premiers af^ec k, leur produit l'est aussi.

En effet, puisqu'aucun des nombres a,h y c, etc. n*a de facteurs premiers communs avec k , et que le produit de ces nombres ne peut avoir de facteurs premiers qui n'appartiennent à quelqu'un d'entr'eux, ce produit n'aura non plus aucun facteur premier commun avec k.

Si les nombres a, b, c , etc» sont premiers entr''eux , et que k soit dii^isible par chacun d'eux , il le sera aussi par leur produit.

C'est une suite des n<^s 17 et 18. Soit eu effet p un diviseur premier quelconque du produit abc etc. et qu'îl ait l'exposant tt, quelqu'un

des nombres a ,b , c, etc. sera divisible par p , parconséquent k,

qui est divisible par ce nombre, le sera aussi par^t»' : il en sera de même des autres diviseurs du produit.

Donc, si deux nombres ra,n sont congrus suivant plusieurs modules a , b, c, etc. premiers entfsux , ils le seront aussi suivant leur produit. En effet, puisque m — n est divisible par chacun des nombres a, b , c , etc. , il le sera aussi par leur produit.

Enfin , si a est premier avec h , et que ak soit divisible par b , k sera aussi dit^isible par b. En effet, puisque ak est divisible par

a et par b , il le sera par leur produit j donc —r=-r sera un entier.

20. Quand A=. a. b c etc.( a , h , c , etc. étant des nombres premiers inégaux) , est une puissance parfaite , par exemple, quand A = k", tous les exposans a, /3, ^, etc. sont divisibles par n.

En effet, le nombre k n'est pas divisible par d'autres nombres premiers que a, b , c, etc j soit a l'exposant de a dans k, dans k" ce

sera noL : donc n/x =^ ot et - est un entier. On démontrera de même

que -, — , etc. sont des nombres entiers.

2 ï . Quand a , b , c, etc» sont premiers entreux , et que le produit

,0 BECHERCHES

abc etc, est une puissance parfaite k" , chaque nombre a , b , c , etc. est une puissance semblable .

Soit a = l^rrtp^ etc. , /, m,pj etc. étant des nombres premiers différens,dont aucun par hypothèse ne divise les nombres ^, c, etc.,

puisque le produit abc etc. est divisible par / ttî jd etc. , on se convaincra, comme dans l'article précédent, que KffXy'Tt , etc. sont

divisibles par n , et partant que / a est entier. Il en sera de même pour b, c, etc.

Après ces notions nécessaires sur les nombres premiers , nous allons nous occuper de ce qui peut nous conduire plus directement à notre but.

22. Siles nombres a et h dii>isibles par k sont congrus suivant le module m premier avec k , ^ ^/ ^ sont congrus suii^ant le même module»

En effet a — b est évidemment divisible par k , et, suivant Phj-

pothèse, par 772 ; donc^^ sera divisible par m (19) , c'est-à-dire , que T^r ( niod. m ).

Mais si , toutes choses d'ailleurs égales , m et k ont un divi-

seur commun e, on aura -r^jimod.—j', car - et— sont premiers

entr'eux ; mais a — b est divisible par k et par m ; donc est divisible par -et par — , et par conséquent par -7-5 c'est-à-dire que ^^ est divisible par j, ou que I^^Tmod.^Y

25. Si a est premier ai^ec m, que e et ï soient des nombres incongrus suii^ant le module m, di.e et af seront aussi incongrus.

Cette proposition est l'inverse de celle du n° précédent.

Il est évident d'après cela, que si l'on multiplie a par tous les nombres entiers, depuis o jusqu'à m-^ i , et qu'on cherche les restes minima des produits, suivant le module m y ils seront tous inégaux 5 mais le nombre de ces résidus est m , et comme aucun d'eux n'est > 772 > ils se trouveront tous dans la série depuis o jusqu'à m.

ARITHMÉTIQUES. h

■ 24. L'expression aa:'{-b, ael b étant des nombres donnés et x un nombre indéterminé ou variable , peut devenir congrue à un nombre donné quelconque , suivant le module m , premier avec a. Soit c le nombre auquel l'expression ax-{-b doit être congrue , et e le résidu minimum positif de c — Z>. Par le n° précédent on trouvera nécessairement une valeur de a: < ttz, telle que le résidu minimwn du produit ax , suivant le module m , soit e. Nommons ^ cette valeur, on aura au^e^c — b; donc ai>-\-b^c ( mod. m).

25. Nous appelons congruence l'expression de deux quantités congrues, à l'instar des équations j si elle renferme une inconnue, la résoudre, c'est trouver pour cette inconnue une valeur qui satisfasse à la congruence, c'est-à-dire la racine de cette congruence. On conçoit par là ce que c'est qu'une congruence résoluble , et une congruence irrésoluble. On voit enfin que nous emploi erons les mêmes distinctions qui ont lieu dans les équations. Nous verrons plus bas des exemples de congruences transcendantes. Quant aux congruences algébriques, elles se divisent selon la plus haute puissance de l'inconnue , en congruences du premier, du second degré etc. On peut même proposer plusieurs congruences qui renferment plusieurs inconnues, et de l'élimination desquelles nous traiterons,

26. La congruence du premier degré ax-\-b^c se résout toujours par le n° 24, quand le module est premier avec a) et si 2^ est la valeur convenable de x y ou la racine de la congruence, il est évident que tous les nombres congrus à i', suivant le module de la congruence, seront aussi des racines (n° 9). Il n'est pas moins évident que toutes les racines doivent être congrues à u : en effet, si t est une autre racine, on di\\YQiau-\-b^at-\-b\ donc au^at, et partant ^^/. On peut conclure de là que la congruence jt^p» (mod. 772) , donne la résolution complète de la congruence ax-\-b'^c.

Comme les résolutions de la congruence par les valeurs de jr congrues à ^, se présentent d'elles-mêmes, et que sous cet aspect les nombres congrus doivent être considérés comme équivalens , nous regarderons ces solutions comme une seule et même. C'est pourquoi nous dirons que la congruence ax^b^c , qui n'en admet pas d'autres , ne peut être résolue que d'une seule manière ou n'a

qu'une seule racine. Ainsi, par exemple, la congruence

6^4-5^1 3 ( mod, 11), n'admet pas d'autres racines que celles qui

ja RECHERCHES

sont^Sfmod. ii ). La même chose n'a pas lieu dans les congruences des degrés supérieurs, et dans celles du premier degré où le coefficient de l'inconnue n'est pas premier avec le modale.

27. Il nous reste à donner quelques détails sur la manière de résoudre ces congruences. Observons d'abord que la congruence

ax -i-l^u , dans laquelle le module est supposé premier avec^ , dépend de celle-ci, ax^zt:\. En effet, sïx^r satisfait à celle-ci, x^-àz?^ (^u — t) satisfera à la première; mais en désignant le module par by la congruence ax^-±z i équivaut à l'équation indéterminée ax-:=.hyà=. I , dont la solution est connue ; aussi nous nous contenterons de donner ici l'algorithme du calcul.

Si les quantités A,B , C, eic. dépendent de cl, ^,y, etc. de manière qu'on ait^=a, B:=^A-\-i , r=>^-f.^, D=J^C-{-B, etc. ; nous lesreprésenterons pour abréger, par ^= [et] ,^= [a, /S], C=[ci, fB,y],D=lct, /3, j/jcT], etc. (^). Soit maintenant l'équation axz= bjdtzi , où a et b sont positifs. Supposons , ce qui est permis , que a n*est pas < b. Alors en opérant comme on le fait ordinairement pour la recherche du plus grand diviseur commun , on formera par la division les équations

a=xoi,b-{'C , b=.^C'\-d, c=zyd-^e, etc,

dans lesquelles a , /3 , 5/ , cT , etc. , sont entiers et positifs : et b, c, d , etc. vont en diminuant continuellement jusqu'à ce qu'on

(*) On peut considérer cette relation de quantités d'une manière plus générale , ainsi que nous pourrons le faire dans une autre occasion. Nous ajouteron's seulement ici deux propositions qui trouvent leur application dans la question présente, savoir :

OÙ l'on prendra le signe supérieur, lorsque le nombre des quantités a ^C ,y . . .K, [^y sera pair, et le signe inférieur dans le cas contraire.

î2°. On peut renverser l'ordre des quantités a, C, y, etc. ; desorte que

ict,C,y^ ...^,^]=[//,A, ...y,C,A-].

Nous supprimons ici les démonstrations qui n'offrent aucune difficulté.

ARITHMETIQUES. i5

parvienne à m:=.iM7i-\-i ; ce qui doit toujours arriver. Il en

résultera «=[«, /A y, ^, et] -, Z?=[/z, //-....>, /B] -, et si l'on

prend x=[u,,. . .y, /S] , r=[A«'^. • -y y 1^ , a], on aura «,r=Z)/-|- 1 , quand le nombre des lettresût,/3 ,y,. ,fx, n est pair, et axz=.hy — i, quand il est impair.

28. Euler est le premier qui ait donné la résolution de ces équations ( Comment, de Petersb. T. VII, p. 4^). La méthode qu'il a employée consiste à substituer d'autres inconnues à la place de x et de y , elle est d'ailleurs assez connue. Lagrange a traité le problême d'une manière un peu différente. Il observe que si l'on

réduit la fraction t en fraction continue

y -f- etc.

etqu'aprèsaVoirefFacé sa dernière partie -, on la ramène à une fraction ordinaire — , on aura axzz^hy:^ i. Au reste les deux méthodes

conduisent au même algorithme. Les recherches de Lagrange se trouvent dans V Histoire de V Académie de Berlin , année 1 767 , pag. 175 , et avec d'autres, dans les Additions à f Algèbre d' Euler, 39. La congruence ax-\-t^u , dans laquelle le module n'est pas premier avec a , se ramène facilement au cas précédent. Soit jn le module et J' le plus grand diviseur commun entrer et 7;z ; il est clair d'abord que toute valeur de x qui satisfera à la congruence , suivant le module m , y satisfera aussi suivant le module J' ( n° 5 ), Mais puisque J' divise a , on a toujours ax^o ( mod. S" ) ; donc on doit avoir i^u ( mod. J' ) , ou t-^u divisible par é" , pour que la congruence soit résoluble.

; Posons donc iz == J"^ , m = cT/, t — u-=z.^k\ e tïf seront premiers entr'eux, et la congruence proposée J'^jT + cTA'^o ( mod. ciy)^ équivaudra à celle-ci, ex-\-k'^o (mod,/")-, c'est-à-dire, que toute Valeur de x qui satisfera à la seconde , satisfera aussi à la première, et vice versa. En effet, ex~\'k sera divisible par/, quand J^jr-f--:^^ le sera par jy^ et réciproquement. Mais nous avons résolu la congruence

ex-^k^o ( mod. /) ; il suit de là que si i^ est une des valeurs de :ir, la congruence x^u ( moâ,f) , donne la résolution complète de la proposée.

3o. Quand le module est composé , il est toujours avantageux d'eraplojer la méthode suivante :

Soit le module = 77in , et la congruence proposée ax^b. Résolvons d'abord la congruence suivant le module jn , et supposons

qu'elle soit satisfaite si jr ^ f^ (mod. -^j ; cT étant le plus grand

commun diviseur des nombres m et a. Or il est évident que toute valeur de x qui satisfera à la congruence ax^b ( mod. 77271 ) , satisfera aussi àla congruence ^a:^Z»(mod. 77i) , et que partant elle sera

comprise dans la formule p'-f--r«^^ ^' désignant un nombre indéterminé. La réciproque de cette proposition n'est pas vraie j a:' doit donc être déterminé de manière à rendre ^+-j ^', racine de la congruence

ax^b ( mod. ttztz ) ; on aura donc — j }- ^p ^ b ( mod. 77177 )

ou-tjï:'^-^^^^^^ — ( mod. 7i), Il suit de là que la résolution d'une con-

gruence quelconque du premier degré , suivant le module 77771 , peut se ramener à celle de deux congruences, suivant les modules m et/z. On voit facilement que si ti est lui-même le produit de deux facteurs, la solution de la congruence, suivant le module 7i , dépend de la solution de deux congruences dont ces facteurs sont les modules; et généralement, que la résolution d'une congruence suivant un module composé quelconque , dépend de la résolution d'autres congruences, dont les modules sont les facteurs du premier. Ces modules peuvent être choisis de manière à être des nombres premiers, si on le trouve plus commode.

Soit par exemple la congruence 19 .2:^1 (mod. t4o)> si on la résout d'abord suivant le module 2, on aura 0:^1 (mod. 2)*, en faisant ^=i-j-2ji:', il viendra 38.2:'^ — 18 (mod. 140) où 19^1:' ^ — g (mod. 70). Si l'on résout celle-ci encore suivant le module 2, on aura x'^i (raod.2),eten posant x' z=i -\- :ix" , on aura 38ji:"^ — 2^ (mod. 70) ou \^x"^ — i4(mod.35). Cette congruence résolue suivant le module 5, donne x''^/^ ( mod. 5) j prenant ^"=4-1- 5^«^'% il vient

AKITH MEXIQUE s. t5

g5:j:*^-,9o(mod.35)oui9:c"=— i8(raod.7), qui donne j;''^ 4 ( mod. 7 ) , d'où x'"=2-{-7Jc'\ Or en remontant à la valeur de x , on trouve x=5g-\-i4ox'", donc ;c =59.

3i. De la même manière que la racine de l'équation «jc = 3 , s'exprime par - , nous désignerons par - la racine d'une congruence ax=b, enyjoignantle module pour la spécifier. Ainsi ^ (mod. 12) représente un nombre quelconque qui est = 11 ( «lo^» 12 ), et qui, par analogie , peut s'exprimer par — ( mod. 12 ).

Il suit de là généralement que le symbole - ( mod. c ) ne signifie rien de réel , ou si Ton aime mieux, est une expression imaginaire, si û et c ont un diviseur commun qui ne divise pas b ; mais, ce cas excepté , l'expression ^ ( mod. c ) a toujours des valeurs réelles, et en a même une infinité : elles seront toutes congrues suivant c,%ïc est premier avec a et suivant y quand cT est le plus grand commun diviseur de a et de c.

Ces expressions se calculent presque de même que les fractions ordinaires , et voici quelques propriétés qui se déduisent facilement de ce qu'on a vu.

1°. Sia=ot, Z?=/3 suivant le module c, lesexpressions^(mod,0> I ( mod. c ) sont équivalentes.

2°. ^ C ^^^* ^<^ ) et ^ ( mod. c ) sont équivalentes.

5°.?^C mod. c ) et ? C mod. c ) , sont équivalentes quand k est

premier avec c.

Nous pourrions rapporter plusieurs propositions semblables -, mais comme elles n'ont aucune difficulté , et qu'elles sont inutiles pour ce qui suivra , nous passerons à autre chose.

32. On peut facilement, au moyen de ce qui précède, ironiser fous les nombres qui ont des résidus donnés, suii'ant des modules

ffue/coj,ç!^s ; prMême qui sera d'nn fréquent usage dans la suite' Soient d'abord deux uiodnlps ^ » • .1 . *

cherché zdoif Ah-. '"°""'^'' ^'^' «"i^anf les<|«eis le nombre Cherchez doit eue congru aux nombres a et ^. Toutes les valeurs de .son nécessairement renfermées dans la formule J+J, Ïù "

SI d est le plus grand diviseur commun de ^ et de B, la résolution complete de cette congruence prendra cette forme :csv (mod.^), ou ce qui revient au même, a:=.+ ^,K étant unnombre entlr indéterminé; donc la formule a+^.+^ renferme toutesles va- •lenrs de z, ce qui revient à z=a+^.( mod. f ). S'il y avait un troisième module Ç, suivant lequel le nombre cherché dût

nremT ' "" j" •'"'^" '^ "''™" "'"'^'^ ' "P'^' ^^°'^ ^éuni les deux premieres conditions en une seule. Ainsi soit . le plus grand commun diviseur des nombres f et C, on obtiendra la congruence. . .

-j-^-^^-h-^P^cCmod. C) , qui sera résolue par une congruence de la forme jc—j^ fmod.-^ et le <^Pr^ n^r in .

y^iiiuu. ^j, et le sera par la congruence

, yJB I >* / ABC\

— —«'+«4-^^ (^raod. -^)- on procéderait demême, quel quefût le nombre des modules. Il convient d'observer que :^ et ^'^^ sont respectivement les plus petits nombres divisibles à-Lfois tac'

si e °'T\ ' T?' '' ''"" "" conclut facilement, quel que so le nombre des modules ^,5, C, etc., que si l'on représeiife

lesolution complete, en prenant z=r (mod. M). Au reste, si l'une des congruences n'est pas résoluble , il faut en conclure que le problême est impossible; mais il est évident que cela ne peut arriver^ les nombres ^,B,C, etc. sont premiers enlr.'eux.

^oient par exemple ^z=5o4, B=^'o5,C=,G, a=in , b=-A c 33; ICI les deux conditions que z = ,7 ( mod. 5o4), et = -4 ( mod. 5c, ) , se réduisent à une seule z = 52i ( mod. aSao ) , qui

55 Qcand fous les nombres A, B, C, etc. sont premiers entre

eux, leur produit est le plus petit nombre divisible par chacun d'eux-

et^ans ce casilestévidentque toutes lescongruencesz=a(mod a{

2=6 (mod. B), etc. se ramèneront à une seule z=r (mod. R) qui

leur équivaudra , R étant le produit des nombres A,B, C etc •

Il suit de là réciproquement qu'une seule condition z~r (m'od K\

peut être décomposée en plusieurs z=r (mod.^) , z~r fmod By

2 = r Cmod. C), etc. si A, B, C, etc. senties diflFérens facieurs

premiers entr'eux qui composent i?. Cette observation nous donne

non -seulement le moyen de découvrir l'impossibilité lorsqu'elle

existe mais encore une méthode plus commode et plus élégante

pour determiner les racines.

^5 Soient comme ci-dessus les conditions z = a(raod.^), z==6Cmod. 5),z=c(raod. C), etc. On résoudra tous les modules en facteurs premiers entr'eux; A en A' A" A' etc. ; B en B'B'B'ttc ■ de manière que les nombres A, A', etc. , lï , B- , etc. soient premiers ou puissances de nombres premiers; si l'un des nombres A,B, t.ete. était premier lui-même ou puissance d'un nombre premier, i n'y aurait, pour lui, aucune décomposition à faire. Alors ce qui precede fait voir que l'on peut, aux conditions données, substituer les suivantesz = a ( mod. A),z = a (mod. A'). z=â (mod. A ) , etc. ; . = è ( mod. 5' ) , . ^ i (:nod. B-) , etc!, eT^. ; Or a moms que tous les nombres A, B, C, etc. ne fussent premiers entr eux ; par exemple, si A n'est pas premier avec B, il est évident que tousles diviseurs premiers ne peuvent être différens dans A etdans5, mais qu',1 doit j avoir quelqu'un des diviseurs ^',^' etc qui trouve son égal , son multiple , ou son soumultiple parmi les diviseurs fi', S' , etc. Soit d'abord A = B' , les conditions z = l (mod. A), . = 6 Cmod.^-), doivent être identiques, et7o"

de ces deux conditions peut être rejete'e; mais si l'on n'a pas a^b (mod A) le problême est impossible. Soit ensuite /un mul-

cet ci f-rr f«M^'^^"°''•"''^''°•'^'-<=-'--dat celle.c. , 2 = i ( mod. S' ) , ou bien celle-ci , z~b ( mod. A 1

d'où 11 st" '' ^ '"."''" ' '°^' '''' ^'^"-'-'^ ^ '^ P--Ï- \

3i elle ne ' ''T '"""^f °° ' ^" ^ "■°'^- ^' ^ ' P^"' ^'^ -<-'elle ne contrarie pas l'autre, auquel cas le problême serait iml

possible. Quand foutes les conditions superflues sont ainsi rejetees, il est évident que tous les modules qui restent sont premiers entr'eux ; on est sûr alors de la possibilité du problême , et on peut procéder d'après la manière enseignée plus haut.

35. Si nous supposons comme au n' 32 z^ 17 (mod. 5o4), ^-^4 ( mod. 35), ^33 (mod. 16); ces conditions peuvent se décomposer en celles qui suivent : z^ 17 ( mod. 8 ), =17 ( mod. 9 ) , ^i7(mod.7);zs--4(mod.5), = — 4(mod.7);z— 35(mod.i6). De ces conditions on peut rejeter z^i 7 (mod. 8) et 2^17 (mod. 7), car la première est renfermée dans la condition 2 = 55 (mod. 16), et la seconde est équivalente à z^ — 4 ( mod. 7 ) : il reste ainsi

17 (mod. 9) J

/ r A \ > d'où Ton tire z=:3o4i (mod.5o4o).

53 ( mod. 16 ) }

Au reste il est clair qu'il sera souvent plus commode de ramener à une seule les conditions qui restent et qui proviennent de la même, ce qui se fera sans peine. Par exemple, quand on a rejeté quelques-unes des conditions z^a (mod. A') , z^a (^moà. A" ) , etc. celle qui se composera des conditions restantes sera z^^, suivant le module formé par le produit de tous les modules qui restent. Ainsi dans notre exemple, des conditions z^ — 4 (mod. 5), z^ — 4 (mod. 7); on tire sur-le-champ la condition z^ — 4 (mod. 35), d'où elies dérivent; il s'ensuit qu'il n'est pas indifférent, quant à la brièveté du calcul , de rejeter l'une ou l'autre des conditions équivalentes ; mais il n'entre pas dans notre plan de parler de ces détails ni d'autres artifices pratiques que l'usage apprend mieux que les préceptes.

36. Quand tousles modules A, By C, etc. sont premiers entr'eux, il est préférable le plus souvent d'emplojer la méthode suivante. On déterminera un nombre cl congru à l'unité suivant ^, et à o suivant le produit des autres modules-, c'est-à-dire, que cl sera une

valeur quelconque de l'expression !^ ( mod.^ ), multipliée

par BCD etc. (n°32); mais il vaut mieux prendre la plus petite de ces valeurs. Soit de rnême/3^i (mod, .6), et=o(mod,.^CZ?etc.)5

>=i f mod. C), et~o (mod. y4BD etc.). Alors si l'on cîierche un nombre z qui soit congru aux nombres a, b, c, etc. suivant les

modules A,B , C , etc. respectivement, on pourra poser

z = a.r4-/3 3-f->c + etc. (mod.^^C7Z)etc.); en effet onaévVdemment aa—a ( mod. ^ ) , et les autres termes sont = o (mod. ^) ; doncz = a (mod. A), La démonstration est la même pour les autres modules. Cette solution est préférable à la première -, quand on a à résoudre plusieurs problêmes du même genre, pour lesquels les valeurs de ^, ^, C, etc. sont les mêmes j car alors on trouve pour a, ^, etc. des valeurs constantes. Ceci s'applique au problême de chronologie dans lequel on cherche le quantième de l'année pour laquelle l'indiction, le nombre d'or et le cycle solaire sont donnés. Ici A=i5 , B=ig, €=28; ainsi comme la valeur de l'expression 7j;^(mod. i5), ou ^( mod. i5) est i5, on aura «=6916; on

trouvera de même/3=420o, y=4845. Donc le nombre cherché sera le résidu minimum, du nombre 6916 a +4200 3-f-4845 c, a représentant l'indiction, b le nombre d'or, et c le cjcle solaire.

37. Nous n'en dirons pas davantage sur les congruences du premier degré, qui ne renferment qu'une seule inconnue; il nous reste à parler des congruences qui renferment plusieurs inconnues j mais, comme il faudrait donner trop d'extension à ce chapitre , si nous voulions exposer chaque chose en toute rigueur , et notre projet n'étant pas d'épuiser ici la matière , mais seulement de présenter ce qui est le plus digne d'attention ; nous bornerons notre recherche à un petitnombre d'observations, réservant l'exposition complète pour une autre occasion.

1°. De même que dans les équations , on voit qu'il faut avoir autant de congruences qu'il j a d'inconnues à déterminer. 2% Soient donc proposées les congruences

ax-irby^cz =/( mod. 772). . .(^)

• :• a:x'\-b'y-^dz. . . . =/ (^'j

a!'x^by + c''z. . . . =/" (^"^

etc.

en même nombre que les inconnues x,y,Zy etc.

^o RECHERCHES

On déterminera les nombres g, ^ y ^ , etc. de manière qu'on ait:

/, j 4- h'^' + b"^' + etc. = o , c^ + c'^' + c'^' + etc. = o , etc.

et que ces nombres soient entiers et n'aient aucun diviseur commun à tous , ce qui est toujours possible par la théorie des équations linéaires.

On déterminera de même v,\j , u" , etc., Ç, J', ^"^ etc., etc., de manière qu'on ait

rtK-j-aV-f- aV + etc. = o, eu -|-cV-|-cV-f-etc.=:o, etc.

aÇ-|-a'Ç' + a''$"-f-etc.=o, Z»? -|- ^''^'-f- Z>V+etc.=o, etc.

etc.

3'. Il est évident que si l'on multiplie les congruences ^ , A'^ A", etc., d'abord par Ç, Ç', 5", etc., ensuite par u, rj' , v", etc. etc., et qu'on les ajoute , on obtiendra les congruences suivantes :

( ^? +«'r 4- «T 4- etc. ) sc^f^ -H/'r -f-/T 4- etc. ( ^v -f- Z^'u' -H Z>V + etc. ) ,r =/w -f-/V +/V + etc. ( ^Ç -h^'C + ^T + etc. ) z^fC H-/C +/r + etc, etc.

que, pour abréger, nous représenterons ainsi :

:c.2C^Ç)=2(/O.J-2C^0=2(/b),z.2(c0=2:(/0, etc.

4% Il y a plusieurs cas à distinguer en premier lieu quand les coefficiens des inconnues , c'est-à-dire quand 2 (aj), 2 (Z>y), etc. sont premiers avec le module des congruences , ces congruences peuvent être résolues par les méthodes déjà exposées , et la solution, complète du problême s'obtient par des congruences de cette forme X ^p ( mod. 7n) fj^^q ( mod. m ), etc. (*). Si l'on propose, par

(♦) Il faut observer que cette conclusion manque de démonstration que nous I

■upp rimons ici -, car il ne suit rigoureusement rien autre cKose de notre analyse , si ce n'est que les congruences proposées ne peuvent être résolues par d'autres valeurs de X ,y, z etc. mais non pas que celles-ci satisfassent i il serait même possible qu'il n'y eût aucune solution. Le même paralogisme se présente dans là solution des équations linéaire*.

ARITHMETIQUES. it

exemple , les congruences ^ -f- 3/ -f- z ^ i , l^x H-y -4- 5z ^ 7 , 2:c+3r + x=3 (mod. 8 ), oa trouvera Ç = 9, g'=i,|^=--i4; donc X(ar.)= — i5,2(/Ç)= — 26-, donc — i5jt;^26, et partant :i;^2(niod. 8). Delà même manière on trouvera i^j^ — 4> i5z^ i , et de là, y ^4, z^7 (mod. S).

5% Si tous les coefficiens 2 (a^ ) , X(bu) , etc. ne sont pas premiers avec le module, soient a, /3, ^> etc. les plus grands diviseurs communs de m et de 2 (a^) , 2 (bu) , 1 (cQ , etc. respectivement j et il est évident que le problême est impossible , six, ^,y, etc. ne divisent aussi 2 (/g ), 2 (/u ), 2 (/Q , etc respectivement; mais quand ces conditions auront lieu , le problême sera résolu complètement par des congruences telles quex^p f mod • ~ J » j^^^raod. yV, z^r ( mod. — V etc.; ou si l'on aime mieux,

on aura ce valeurs différentes pour x^ savoir : p ^p-^ ,

pj^ ifZliiJ!^^ ^ valeurs ponr^, y valeurs pour z , etc. qui satisferont aux congruences. Toutes les solutions de la question , s'il y en a quelques-unes, devront se trouver parmi celles que nous venons d'indiquer ; mais il n'est pas permis de renverser la conclusion ; car souvent toutes les combinaisons des en valeurs do. x , avec celles de^et celles de z, etc. ne satisfont pas au problême, mais seulement quelques-unes dont la liaison s'exprime au mojen d'une ou de plusieurs équations de condition. Au reste comme la solution complète de ce problême n*est pas nécessaire pour la suite, nous ne nous étendrons pas davantage ici sur ce sujet , et nous nous contenterons d'en donner une idée par un exemple.

Soient proposées les congruences 3:c«-{-5y-f-z^4^ 2jr-f-3jr'-f-2z^7, 5a:-{-j + 3z^6 ( mod. 12 ), on aura ici g= i , g' = — 2 , 5''=i*, if=i , u'=i , v=. — I ; Ç=— .i3, Ç'=22, J''=— I ) d'où 4-^^ — 4> 7^^5, et 282^96; d'où l'on tire quatre valeurs de x, savoir > x^2, 5, 8, II-, une seule de^,/^ii5 quatre de z> savoir, z^o, 3,6, 9 (mod. 12). Or pour découvrir quelles combinaisons des valeurs de :i: et de z on peut admettre, substituons à la place de a: , j , z , 2 -f- 3/ , II, 3z^ , ce qui change les congruences proposées en 57H- 9^-1-5^=0^ 3o-J-6/-f-6«=o et i5H-i5/-|-9«=o(aiod. la),