Soit X une fonction de V indéterminée x, de cette forme

Ax^-I-Bx*-}- Cx% 'Z-:?., A, B, C, etc, étant des nombres entiers quelconques , a, \ c, etc, des nombres entiers positifs. Si l'on

donne à x des valeurs congrues, suivant un certain module, les

valeurs résultantes pour X , le seront aussi,

Soien/yet^ les valeurs congrues de x; par les articles précédens ya^^" et A^'^Ag^-y de même Bf^^Bg\ etc. ; donc

yif'' ^Bf'-j- Cf' + etc. = Ag"" -j- Bg'' -f (%-^ + etc.

Au reste on conçoit aisément que ce théorème peut s'étendre à des fonctions de plusieurs indéterminées.

10. Si donc on substitue à la place de x tous les nombres entiers consécutifs, et que Ton cherche les résidus minima des valeurs de X, ils formeront une suite dans laquelle * après un intervalle de m termes (m étant le module) , les mêmes termes se représenteront; c'est-àdire que cette suite sera formée d'une période de m termes répétée indéfiniment.

Soit par exemple: 'X-=.x^ — 8.r-f-6et w=5, pour:c=o, 1,2, 5,etc, les valeurs de X donnent pour résidus minima positifs : i , 4> ^^ 4* 3, 1,4* etc., où les cinq pjeraiers i, 4^ 5> 4* ^ se répètent indéfiniment; et si l'on continue la série en sens contraire , c'est-àdire , si l'on donne à x des valeurs négatives , la même période reparaît en sens inverse ; d'où il suit que la série ne renferme pas d'autres termes que ceux qui composent la période.

11, Donc dans cet exemple, X ne peut devenir ^ o , nr^2, (mod. 5) , et encore moins = o ou = 2 , d'où il suit que les équations ^3 — g^^5__Q et .r^ — 8jc-|-4=o n'ont point de racines entières, et parconséquent point de racines rationnelles. On voit en général que lorsque X est de la forme ^"-f- -^j:"-'+i5^"-*+etc. -f- iV; A , B f Cf etc. étant entiers, et Ji entier positif, l'équation X=o, (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n'aura aucune racine rationnelle , s'il arrive que pour un certain module la congruence X^ o ne soit pas satisfaite ; mais ce caractère qui se présente ici de lui-même , sera développé davantage dans la section V.TII. On peut au moins se former par cette esquisse une idée de l'utilité de nos recherches.

12. Plusieurs des théorèmes que l'on a coutume d'exposer dans les traités d'arithmétique , s'appuient sur ceux que nous avons pré-

ARITHMETIQUES. 5

sentes ; par exemple , la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par g, 11, ou tout autre nombre. Suivant le module 9 toutes les puissances de 10 sont congrues à l'unité j donc si le nombre est de la forme a'^\oh-\-\ooc-\-\o(iod-\-tiQ,. y il aura, suivant le module 9, le même résidu minimum que ûi+^-j-c+etc. Il est clair d'après cela, que si l'on ajoute les figures du nombre , sans avoir égard au rang qu'elles occupent , la somme que l'on obtiendra, et le nombre proposé auront les mêmes résidus minima'^ si donc ce dernier est divisible par 9, la somme des chiffres le sera aussi, et seulement dans ce cas. Il en est de même du diviseur 5. Comme suivant le module 11 , 100^-}- i, on aura généralement lo^^'^i, io''*"^'^io^ — I, et le nombre delà forme û+ 10 Z>H-i 00 c •4- etc. , aura le même résidu minimum, que a — b-\'C — etc.; d'où dérive sur-le-champ la règle connue. On déduira facilement du même principe toutes les règles semblables.

Ce qui précède donne encore la raison des règles que l'on prescrit ordinairement pour la vérification des opérations arithmétiques ; savoir, lorsque de nombres donnés on doit en déduire d'autres pan addition , soustraction , multiplication ou élévation aux puissances. On n'a qu'à substituer dans les opérations, à la place des nombres donnés , leurs résidus minima , suivant un module quelconque ( ordinairement 9 ou 1 1 , parceque dans le système décimal , comme nous venons de le voir , on trouve facilement les résidus relatifs à ces modules); les nombres résultans devront être congrus à ceux qu'on déduirait des nombres donnés, sinon il y aurait un vice dans le calcul.

Mais il serait superflu de nous arrêter plus long-temps sur ces ré- ^ sultats très-connus , ainsi que sur ceux du même genre.