etc

Donc puisque 29^ i-, 2 n'est pas racine primitive; Essayons le nombre 3 qui ne se trouve pas dans la période de 2^, sa période est

1 .3. 9.27. 8.24. 72. 70. 64. 46. 65, 49- i- et<;. 0.1.2» 3.4. 5. 6. 7. 8. 9. 19. II . 12 etc.

Donc 3 n'est pas non plus racine primitiv^ej mais le plus petit nombre divisible à la fois par les exposans 9 et 12, auxquels 2 et 3 appartiennent, est 36 , qui douce /w=9 et ;2=4» Donc élevant 2 à la puissance | = i, 3 à la puissance ^ = 3, le produit de ces deux puissances est 54, qiii appartiendra à l'exposant 56. Si enfin on caleule la période de 54 j et qu'on essaye un nombre qui n'y soit pas contenu, 5 par exemple, on trouve qu'il est racine primitive.

7^. Av^nt d^âbandonner ce sujet, nous présenterons quelques propositions qui ne nou&paraissent pa-s indignes d'^attention, à cause de leur simplicité.

Le produit de tous les termes de la période d'un nom.hre qiœl'conque est ^i quand leur nombre ou V expo saut auquel appartient le nombre dont il s'' agit est impair y et ^ — i quand il ets pair.

Par exemple, pour le module j^>,J'a période de 5 est composée des termes 1 , 5, 12, 8, dont le produit 480^ — i (mod. i5), suivant le même module, la période de 5 est composée, des termes 1, 3, 9, dont le produit 27^1 (mod. i5). ' ,- •

Soit if l'exposant auquel le nombre appartlentj on peut toujour»^

t*«M*ver (»o 71 ) ujîe base pouf lai]r>elle J'indiiîe du nombre- soit. ^^^-

5^ I^r;ÇHERCHF,S

Of^Ii'Âi^ç.e 4i*/prQ^uit.de tpus les tecmes sera

donc il. sera- ^ôT'niod. p-^rX, quand. Test impair: et ^" — ,

quand / est pair. Dans le premier cas, le produit est ^i (mod. p)} dans le second, ^ — i (^moâ.p).

76. Si le nombre du tliéoj'ème précédent est une racine primitive, sa période comprendra tous les nombres 1,2. 5, 4, • • • P — ^ > dont le produit sera parconséquent toujours ^ — .i*, car p — i est ton-' jours pair, excepté dans le cas 011/7=2 , et alors on a indifféremment -f- I ou — I. Ce tliéorème élégant qu'on énonce ordinairement de cette manière : Le produit de tous les nombres plus petits qu'un nombre premier étant augmenté de l'unité , est divisible par ce nombre premier , a été publié par iP^^zri/z^ qui l'attribue à TVilson (^Meditationes Algeb. Ed, 5, /?. 38o)*, mais aucun des deux n'a pu le démontrer, et Waring avoue que la démonstration lui eit» semble d'autant plus difficile qu'il n'j a point de notation par laquelle on puisse exprimer un nombre premier*, pour nous, nous pensons que la démonstration de cette sorte de vérités doit être puisée dans les principes plutôt que dans la notation. Lagrange en a depuis donné ime démonstration (^Noui^. Mém,de F Ac, de Berlin, 1771), dans laquelle il s'appuie sur la considération des coefficiens que l'oa trouve pn dévelçppant le produit

(a:+i)Ca:-f-2)(^-f3)... (^4-;,— i):

et il fait voir qu'en supposant ce produit

■ ' ===^''-'4-^jcP-^+5a;P-34-etc.+iW!r4-iV',

les coefficiens ^, ^, etc. M sont divisibles par pj or

sîj^oqmor) ' iV=i .3.3, . . p— - I.

Maintenant si ^=1, le produit est divisible par/?; mais alors il sera^i+ iV( mod. />), donc i-|-iVest divisible par/?.

Enfin 'Euïer (Opusc. analyt. T. i, /?. 329) en a donné une démonstration qui rentre dans celle que nous venons d'exposer-, ainsi puisque de tels hommes n'ont pa$ cru ce sujet indigne de leurs

méditations

méditations, nous espérons qu'on ne nous désapprouvera pas d'offrir encore ici une autre manière de démontrer ce théorème.

77. Nous dirons que deux nombres sont associés, comme l'a fait F.uler , lorsque leur produit sera congru à l'unité. Cela posé, par la section précédente, tout nombre positif moindre que;^, aura tou- ■jours un nombre associé moindre que p et il n*en aura qu'un-, or il est facile de prouver que parmi les nombres i,2,3,...;9 — i,iln'j a que I tip — I qui soient eux-mêmes leurs associés, car ceux qui jouiront de cette propriété seront donnés par la congruence x'^^x qui ne peut avoir que deux racines i Qlp — i. Supprimant donc ces deux nombres, les autres 2, 3, 4. . . yt?— .2, seront associés deux à deux; donc leur produit sera ^i ; enfin multipliant par p — i, le produit de tous 1.2.3.4.. .p — i^/? — i ^ — i.

Par exemple, pour/?=:i3, les nombres 2, 3, 4, 5,. ..11 s'associent de la manière suivante: 2 avec 7, 3 avec 9, 4 avec 10,

5 avec 8,6 avec 1 1 \ donc 2.3.4.. .11^1, et partant

78. Le théorème de Wilson peut être rendu plus général en l'énonçant comme il suit : Le produit de tous les nombres premiers auec un nombre donné A et moindres que ce nombre j est congru suivant A , à l'unité prise positivement ou négatit^ement. L'unité doit être prise négativement quand A est de la forme p"" ou 2/?"*, p étant un nombre premier différent de 2, ou encore quand A=z/\, et positivement dans tous les autres cas. Le théorème de Wilson est contenu dans le premier cas. Exemple, Pour A=iiS, le produit des nombres i , 2, 4, 7, 8, 11 , i3, 14, est ^i (mod. i5). Nous supprimons, pour abréger, la démonstration. Nous observerons seulement qu'on peut y parvenir comme dans l'article précédent , excepté que la congruence jc"^i peut avoir plus de deux racines, ce qui demande certaines considérations particulières. On pourrait aussi la tirer de la considération des indices, comme dans le n* 75, si l'on y joint ce que nous dirons tout à l'heure des modules composés.

79. Revenons à l'énumération des autres propositions (n' 75).

La somme de tous les termes de la période d'un nombre quelconque est ^o,

BS KECHERCHES

Ainsi dans l'exemple du n° j5

1+5+12+8 = 26^0 (mod. i3).

Soit a le nombre dont il s'agit , et / l'exposant auquel il appartient, La somme de tous les termes de la période sera

^i + ^ + «^+«^+ +a'^'^;^3j^(mod. /7)jQr a' — 1=0,

donc aussi " ~ ^o, si a — i n'est pas divisible par p ; il faut donc

excepter ce cas, si nous voulons regarder même un seul terme comme une période.

80. Le produit de toutes les racines primitit^es est ^ ï , excepté le cas où ;t7=5, car alors il n'y a qu'une racine primitive 2.

Si l'on prend pour base une racine primitive quelconque, les indices de toutes ies racines primitives seront des nombres premiers avec p — I et moindres que lui; mais la somme de tous ces «ombres , c'est-à-dire l'indice du produit de toutes les racines primitives, est ^o (mod. yt? — 1)3 donc le produit est ^i (mod.;o). En effet on voit facilement que si k est un nombre premier avec p — I, p—'i — k\e sera aussi, et que parconséquent la somme des nombres premiers avecyt? — i est composée de couples dont la somme est divisible par/? — i. Il est bon d'observer que k ne peut être

égal kp — I — k, à moins que ^ ne soit premier avec p ■— i , ce

qui exige que p — 1=2 ou f'=3, cas que nous exceptons.

81. La somme des racines primitii^es est ^o quand p—^i est divisible par un quarré, ou^dizi quand/? — i est le produit de facteurs premiers inégaux. Le signe + appartenant au cas où le nombre de ces facteurs est pair, le signe — au cas où il est impair.

Ex. 1°. Pour;?=i3, on a les racines primitives 2,6, 7, 11 dont la somme 26^0 (mod. i3). 2°. Pour/>=: 11 , les racines primitives sont 2, 6, 7, 8, dont la somme 23^+i (mod. 11). 3°. Pour /?=3i, les racines primitives sont 3, n, 12, 1 3, 17,21,22, 24^ dont I4 somme i23^ — i (mod. 3i).

Nous avons démontré plus haut (n" 55, 2°) que si Ton a...'

/?— I ■=^a'h cy etc., et que A , B, C y etc. soient des nombres quel-

conques qm appartiennent aux exposans^ yb,Cf etc. respectivement, tous les produits ABC etc, seront des racines primitives.

ARITHMETIQUES. 59

mais on peut aussi démontrer facilement qu'une racine primitive quelconque peut s'exprimer par un produit de cette espèce et d'une seule façon (*).

Il suit de là que ces produits peuvent être pris au lieu des racines primitives; mais, comme dans ces produits il faut combiner toutes les valeurs de A avec toutes celles de J5, etc. , la somme de tous ces produits sera égale au produit de la somme des valeurs de A , multipliée par la somme des valeurs de ^, etc. Désignons toutes les valeurs de Ay By Cy etc. par A y A' y A\ etc. By B' y B" y etc. C, Cy C% etc. La somme de toutes les racines primitives sera congrue au produit {A-^A' '\- etc.) (5-^^'-|-etc.) etc.; or je dis que si a=:i , la somme ^-|-^'-}- v^"-f- etc., sera^ — i (mod. p), que si a>>i, cette somme sera^o, et de même pour/3, y y etc. Si ces

(*) On déterminera des nombres <*! y ^' , y\ etô. tels qu'on ait a! ^\ (mod. a ) et ^o (mod. b^ c^ etc.) ; /S'sei ( mod. b^) et ^o (mod. a* c^ etc. ) , etc. (v. n°32); donc on aura «t' + /S' + ■),'-{- etc. ^ i (mod. p — i), (n° 19). Or si l'on doit exprimer une racine primitive quelconque r par un produit de la forme ABC etc. \ on prendra A^r'^' , B^r^' , C^r^', etc. A,B, C appartiendront respectivement aux exposans a*, b , c^, etc., et le produit ABC etc. sera ^r (mod. p"). Or il est facile de voir que A^ B , C, etc. ne peuvent se déterminer d'une autre manière (1).

(0 Cette noté nous semble avoir besoin de quelques éclaircissemens. Il est aisé de voir que tous les nombres , excepté *', sont divisibles par a* ; que partant leur somme l'est aussi, ou est ^o (mod. c*); mais comme at' ^ 1 (mod. a*), il \àent donc *'+iS'-f-/-f etc. = i (mod. a*), de même a -f/3' 4-5,' -f etc. ^1 (mod.Z?^), etc.; donc (*'-f-i8-{-y-f- etc. = 1 (mod. a** b^ c^ , etc.) ^ 1 (mod.p — t ). Or si l'on fait A^r yB^r ,C^r^ , etc. ^,5, C,etc. appartiendront aux exposans a*; 6 ,c5^, etc. respectivement. En effet ^'^ ^/•*'«*^ 1 (mod. p), a.'a'^ étant ^o (mod. p — 1), et il est visible que l'on ne peut supposer ^'^1 (mod.p), tétant ^a , etdemêmepourZ?, C, etc., car on aurait at^o (mod.p — i),ce qui ne peut avoir lieu à moins que fne soit = a* ou ^ o ( mod. a* ) . Or il est aisé de s'assurer encore qu'on ne peut trouver de nombres A' , B' , C^, etc. respectivement incongrus à A, B , C, etc., et qui puissent les remplacer. En effet on aurait A' ^r'^ , a." étant un nombre déterminé comme a' ; mais on a aussi A^r'^ \ or comme et' et a," sont congrus au même nombre suivant le module p — i , ils sont congrus entr'eux suivant ce même module; donc r'^^r'^' (mod. p) ^ et partant A^A'. {Note du traducteur. )

6o RECHERCHES

tlcnx asserdons sont démontrées, la vérité du théorème sera manîfesle. En effet, quand ^ — i est divisible par un quarré, quelqu'un des exposans &., f^ty y etc. sera > i , et partant un des facteurs dont le produit est congru à la somme des racines primitives, sera ^0, c'est-à-dire que le produit lui-même le sera. Quand/? — i ne pourra être divisé par aucun quarré , tous les exposans a, /3, y, etc. seront égaux à l'unité, et la somme des racines primitives sera congrue au produit d'autant de facteurs dont chacun ^ — i , qu'il j a de nombres a, bjC, etc. •, donc partant le produit sera ^ zh i , suivant qu'ils seront en nombre pair ou impair j or ces deux assertions se prouvent ainsi qu'il suit :

1°, Quand ct= i , et que A est un nombre appartenant à l'exposant a , les autres nombres qui appartiennent aussi à cet exposant

8ont^% A\ A''-'; or i +^H-v^"-{-^5-{-^^-|-. . .^''— est

la somme delà période complète, et partant ^o (n° 79)^ donc

2'. Quand ct>> I et que A est un nombre appartenant à l'exposant a j on aura les autres nombres appartenans au même exposant,

si de la suite A"^, A^ , A^,,, .^"V'^on VQir anche A%A^%A^% etc» (n" 55), leur somme sera donc

c'est-à-dire congrue à la différence de deux périodes, et parconséquent ^ G.

82. Tout ce q^ue nous avans exposé Jusqu'à présent, suppose que le module soit un nombre premier. Il nous reste à considérer le cas où l'on prend pour module un nombre composé ; mais comme il n'en résulte pas des propriétés aussi élégantes qUe dans le premier cas , et qull n'y a pas besoin d'artifices bien délicats pour les trouver , tout se déduisant presque de la seule application des principes précédens , il serait superflu et fastidieux d'épuiser ici tous les détails. Aussi nous exposerons en peu de mots ce que ce second cas a de commun avec le premier, et ce qui lui est propre.

83. Les propositions des n«* 4^ — 4^ ont déjà été démontrées généralement , mais celle du n° 49 doit être changée ainsi :

ARITHMÉTIQUES. Gt^

■ Si î' désigne combien il y a de nombres premiers avec m et moindres que lui , c'est-à-dire siï-=^(pm {art. 38), V exposant t de la plus petite puissance d'un nombre donné ^premier avec m, qui est congrue à V unité suiuantle module m sera^=zï^ ou une partie' aliquote de ï.

La demonstration de la proposition du n° 49 peut servir également dans ce cas-ci, en y substituante pour;7,/pour/;— i,etau lieu des. nombres 1 , 2 , 3 , . . . ;? ~ i , les nombres premiers avec 772 et moindres que lui; ainsi nous j renvoyons le lecteur. Mais les autres démonstrations dont nous avons parlé (n°s 5o, 5i ), ne peuvent s'appliquer à ce cas sans beaucoup d'embarras. A l'égard des propositions suivantes (no 52 et suivans), il j a une grande différence entre les modules qui sont les puissances d'un nombre premier et ceux qui sont divisibles par plusieurs nombres premiers. Nous considérerons donc à part les modules du premier genre.

84. Si le module m^p% p étant un nombre premier, on aura f—P" ' (p—ï), (n° 38). Or si l'on applique à ce cas les recherches contenues (n«« 53, 55), mutatis 77iutan dis comme dans l'article précédent, on trouvera que tout ce qui y a été démontré aurait lieu également, s'il était prouvé que la congruence a:'— i ~o (mod p") .ne peut avoir plus de t racines différentes. C'est d'une proposition plus générale (n°43) que nous avons déduit cette vérité pour un module premier : mais cette proposition n'a lieu que pour les modules premiers, et partant ne peut s'appliquer à ce cas. Nous allons donc la démontrer par une méthode particulière, et plus bas (sect, y m) nous le prouverons encore plus facilement.

• S5. Nous nous proposons de démontrer ce théorème: Si le plus grand commun diviseur des nombres t et p"— (p — i ) ^^t e hi congruence x'^ i ( mod. p" ) aura e racines différentes.

Soit ez=kp\ desorte qu€ k ne renferme point le facteur », et qu'il divise parconséquentyp— I. Alors la congruence a;'=i suivant le module ;;, aura k racines différentes , et si on les désigne par A,B,C, etc., une racine quelconque de cette même congruence suivant le module p\ devra être congrue à quelqu'un des nombres -^y By C, etc., suivant le module ;;. Or nous démontrerons que la congruence ^'^i (mod.;;^), a/ racines congrues à ^, autant.

62 HECHEÎICIIES

à B , efc. suirant le module ;p, d'où il résultera que le nombre de

toutes les racines sera kp ou e , comme nous l'avons avancé. Cela posé , nous allons démontrer que

1°. Si et est une racine congrue à A , suivant le module p y

o.'-\'p ycf.'-\'ip , ot 4-5/7 . . . ot-f-/7 ,p , seront aussi des racines.

2". Aucun nombre congru avec A ne pourra être racine, s'il

n'est de la forme a.-\-hp , /z étant un nombre entier quelconque)

d'où il suit qu'on aura p racines différentes, et qu'on n'en aura pas davantage ; la même chose aura lieu par rapport k B , C , etc.

3°. Nous ferons voir comment on peut toujours trouver une racine congrue à A suivant le module /?.