partie du théorème n'a pas lieu quand ;?=2 et /xz=:i, iq

On pourrait déduire la démonstration de ce théorème du développement de la puissance d'un binôme, si on faisait voir que tous les

termes, après le second, sont divisibles par ;? *, mais comme

la considération des dénominateurs des coefficiens jette dans quelque embarras, nous préférons la méthode suivante:

Supposons d'abord />t,>i et >'=i, on a généralement x' — jr\

= (a;— j)(a;'-'-|-Ji;'-^/ + a;'-3j' + ...+y-*)j donc

(A'\-hp^y—'^'=hp"'{(oL-i-hpy-'-^(oL-^hp^^)'-^A-^etc, -f-a'"'} j

mais on aa+/z/? ^a (mod./?'}j donc chaque terme (a.'\-hp )""$

{cL-\-lip^y~^&., etc. sera ^a'""* (mod. p*), et parconséquent la somme de tous ^ta.'~' (mod/?'), ou bien cette somme sera de la forme ^oc' t • -|- F/>* , P^ étant un nombre quelconque. Donc

(oL-\-hp^y—'X' sera de la forme cc'-'hp^i-^Fhp^''^^ , c'est-à-dire

qu'il sera ^ a' -'/z/?""/ (mod. z?'^) et =o (mod./?^"^^ ). Ainsiy pour ce cas, le théorème est démontré.

Or si le-théorème n'était pas vrai pour les autres valeurs de i' , //. restant >i, il y aurait nécessairement une limite jusqu'à laquelle le théorème serait vrai^ et passé laquelle il serait faux. Soit (p la plus petite valeur de v qui se refuse au théorème. On voit facilement que

le théorème est vrai si / est divisible par p et non par p ; mais

que si l'on substitue //? à la place de /, il ne l'est plus. On a donc

{a,-^hp^y=%'+ci:'"hp'^t{moà.p'^ ), ou =x'-j-xT.7z;?' Z+z/p ^ , u étant un nombre entier quelconque ) mak comme Pe théorème est

déjà démontré pour j' = i , on aura {cL'-\-a'-'hp t-^-up y^ct'P

+ a'''-' V t-^-oL'P-'up^^ ^ (mod.;? ^ ),etpartant

(^oL ^ hp^ y f ^ ct'p -{- oL'P-'hp^ip (mod, p'^'^'^); c'est-à-dire que le théorème est encore vrai si on substitue ip au lieu de i ou ^4- 1 au lieu de(p, contre l'hjpothèse^ donc le théorème est vrai pour toutes les valeurs de v.

87. Il reste le cas où /i= i. Par une méthode absolument semblable à celle de l'article précédent, ou démontrera, sans faire usage du développement du binôme , que

(a + Z?;?)'- '= a'- ' -I- a' - = ( ^-- I ) 7zyy ( mod. ;?*) çt(ût + /z;7)'-^ = a'-' + a'-"(/ — 2)/z;7(mod.jD=) pt*(,*+A;7)'-^=fit'-'+cc'-V(2:-- 5)7zyf?(mod.;?^), efcj

donc (puisque le nombre des termes est /) la somme sera ^icC~

4- ^^""^^^ fit' -* hp (mod. ;?*) j mais, comme / est divisible par/?^ ^ ~^ ■

le sera aussi, excepté le cas oii;? = 2 j que nous avons exclu, et dans les autres cas, la somme sera ^/cc"~' (mod. /?*), puisque

^ ~^^ aJ~''hp est divisible par ^*. Le reste de la démonstration est

comme dans l'article précédent.

Il résulte de là généralement qu'en exceptant le cas oùpz=z2, on a

{a-j-'7z;7'^)'^a'(mod.;?" ) et (ct^hp^ ) non^a' pour un module

qui estime puissance de;? plus haute que ;?^ \ pourvu toutefois

que h ne soit pas divisible par p, et que p soit la plus haute puissance de p qui divise t»

De là suivent sur-le-champ les deux premières propositions que nous nous étions proposé de démontrer (n° 85), savoir:

1°. Si a'^i , on aura aussi (a-f-Zz/? )'^i (mod. /?").

2". Si un nombre ol congru à y^ et partant à a , suivant le

module p, mais incongru k cl, suivant le module p , satisfesait

à la congruence x'^i (mod. ^"), supposons a'=a-f-/y^ j desorte que /ne soit pas divisible par p , on aura À << /z — v ; alors

(a,-\-/p y^oL' (mod. p )et non suivant p" , qui est une puis-

sance de;? plus haute que/? ; donc a' ne peut être racine de la congruence a;'^i,

88. Nous devions en troisième lieu trouver une racine de la congruence a;'^i (mod. p") , qui fut congrue à A, Il nous suffira de faire voir ici comment on peut y parvenir, si l'on connaît une racine de la congruence suivant le module /?"""', puisque l'on pourra passer du module p, pour lequel ^ est racine, au module /?% et de là à toutes les puissances consécutives.

Soit donc aune racine de la congruence x'^i (mod.;?""') et que l'on cherche une racine de la même congruence suivant le

module /?", nous la supposerons =ct+7?/? , forme qu'elle

doit avoir d'après l'article précédent: nous considérerons à part le cas oil v=^n — i , et v ne peut-être >« — i. On aura donc

(^ ci-\-hp "^^ )' ^ I ( mod /?" ) ', mais ( cL-^-hp ) ' ^ ^ i

^aL*~'htp"^~'^~~ (mod. ;t?'')-, si donc on détermine h de manière

qu'on ait i^a'-f-ot'-'/z^/?'^"^""^ (mod./?"); ou, comme par hjpo-

thèse 1 ^a' (mod. p"-' ) et que / est divisible par/? , de manière qu'on ait ^-^^ -|-a'~' /z -7 divisible par/?, le problême sera résolu;

or il est prouvé, dans la section précédente, que cela est toujours possible, puisque / ne peut être divisé par une puissance de/? plus

haute c[ue p" , et que partant a'~' - est premier avec/?.

Mais

Mais si v = n — i, c'est-à-dire si / est divisible par p^^^ ou par une plus haute puissance de p, toute valeur v^ qui satisfera à la congruence x'^i, suivant le module p, y satisfera aussi suivant le module p". Soit en effet t=p''~'r, on aura t^r (mod. p — i);

donc puisque A'^i (mod./?), on aura aussi ^ ^i (mod. p).

Soit donc ^ :=i-{'hp, on aura ^'=( i +/z/?)/?"~'^i (mod. />>"),

8g. Tout ce que nous avons démontré (n°^5j et suivans) à l'aide du théorème du n° 4^, a lieu pour un module qui est une puissance d'un nombre premier, et si l'on appelle racines primitipes les nombres qui appartiennent à l'exposant p''~^ (p — i ) , c'est-à-dire ceux dans la période desquels se trouvent tous les nombres non divisibles par/7, il j aura également ici des racines primitives-, tout ce que nous avons dit des indices et de leur usage, ainsi que de la résolution de la congruence jc'^ i, peut s'appliquer à ce cas : comme toutes les démonstrations n'ont aucune difficulté , il serait superflu deles répéter. Nous avons en outre fait voir comment on déduit des racines de la congruence jc'^^ i (mod.^o), celles de la congruence x'^i {mod. p")-y mais il faut ajouter quelque chose sur le cas oit pz=2, que nous avions exclu dans ce qui précède,

go. Si Von prend pour module une puissance de i plus haute que la seconde, 2" par exemple , la puissance 2!"z^ de tout nombre impair sera ^i.

Par exemple, 5* = 656i^i (mod. 32).

En effet tout nombre impair est de la forme i -\'l\li ou de celle-ci — i -\-^h, d'où la proposition suit immédiatement (86).

Ainsi l'exposant auquel appartient un nombre impair quelconque suivant le module 2", doit être un diviseur de2"~*jce nombre appartiendra donc à l'un des suivans i , 2 , 4 , 8 , . . . . 2" ~ ^ j et d'ailleurs on jugera facilement auquel il appartient. Soit le nombre proposé =:4/ïii, et 2"* la plus haute puissance de 2 qui puisse diviser h (jn est=o quand /zest impair). Alors l'exposant auquel appartient le nombre donné sera =2" ~ "' - % si /?> /;2-f-2 ; mais si /z = ou < 7n-\-2f le nombre proposé sera^rti , et partant appartiendra àTexposant I ou à l'exposant 2. En effet i^h-±ziz=-±zi-\-2'^-^''k , el ce nombre élevé à la puissance 2"""-* devient congru à l'unité suivant le mo-

66 R E C H E R C Tî E S

du\e p"', ov on déduit sans peine du n° 86 que si on élevait ce nombre à une puissance de degré moindre, le résultat serait incongru à l'unité. Ainsi tout nombre de la forme ::t:l-\-/^h, où h est impair, c'est - à - dire tout nombre de la forme SA + S ou Sk-j-5y appartient à l'exposant /;"""*.

91 . Il suit de là qu'il n'y a pas dans ce cas-ci de racines primitif^es, dans le sens que nous avons donné à cette expression, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombres dont la période renferme tous les nombres premiers avec le module, et plus petits que lui; mais on voit facilement qu'il arrive ici quelque chose d'analogue. En effet toute puissance impaire d'un nombre de la forme 8y^-|- 3 est ellemême de la forme S/c-}'^, et toute puissance paire est de la forme 8A-|-i j donc aucune ne peut être de la forme 8A-f-5 ou SA-f-y; donc comme la période d'un nombre de la forme 8A-f-3 est composée de 2"~* termes difFérens, dont chacun est de la forme 8^4- 1 ou 8k-\-5 , et qu'il n'j a pas plus de 2"~^ de ces nombres qui soient plus petits que le module , il est évident que tout nombre de la forme 8/t-|-i ou 8A-j- 3 est congru suivant le modules", àime puissance d'un nombre quelconque de la forme 8A-f-5, On peut faire voir de la même manière que la période d'un nombre de la forme Sk-^-S comprend tous les nombres de la forme 8/^-f-r et 8A-{-5. Si donc on prend pour base un nombre de la forme 8A.-f-5, on trouvera des indices réels pour tous les nombres de laforme 8/i:-|-i et 8k-\-5 pris positivement, et pour tous les nombres de îa forme SA-f-o et 8A:-f-7 pris négativement : on doit encore regarder comme équivalensJesindices congrus suivants""^. C'est ainsi qu'on doit entendre la table I, dans laquelle pour les modules 16, 52 et 64 (car il n'j, a besoin d'aucune table pour le module 8), nous avons toujours pris 5 pour base. Par exemple, le nombre 19, qui doit être pris négativement, puisqu'il est de la forme 8/z-j-3, a pour ie module 64 l'indi<îe 7 , ce qui signifie que 5-^ — 19 (mod. 64). Si l'on prenait négativement les nombres de la forme 8«-f-i et 8^4-5, et positivement ceux de la forme 8/2 + 3 et 8/z 4-7^ il fau* drait leur donner des indices pour ainsi dire imaginaires; en les in-^ troduisant dans le calcul des indices, on le réduirait à un algorithme très-simple-, mais comme nous serions conduits trop loin si nous voulions traiter ce sujet en toute rigueur, nous réservons

ce point pour une autre occasion, quand peut-être nous entreprendrons de traiter plus en détail la théorie des quantités imaginaires, qui nous semble jusqu'à présent n'avoir été réduite par personne à des notions claires. Les gens instruits parviendront aisément à ce* algorithme 3 ce:ux qui sont moins exercés pourront néanmoins sfe servir de cette table, comme ceux qui ne sont point au fait d^ connaissances modernes sur les logarithmes imaginaires se servent des logarithmes, pourvu qu'ils possèdent bien les prinoip^ antérieurement établis.

92. Presque tout ce qui a rapport aux résidus des puisisances, suivant un module composé de plusieurs nombres premiers, peut se déduire de la théorie générale descongruences j mais colnme nous exposerons plus bas une manière de ramener les congruences dont le module est composé de plusieurs nombres premiers, à d'autres dont le modufe est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, nous ne nous arrêterons pas beaucoup ici sur cette matière. Nous nous contenterons d'observer que la belle propriété qui a lieu pour les autres modules, savoir : qu'il existe toujours des nombres dont la période renferme tousles nombres premiers avec le module, n'a pas lieu ici, excepté dans le seul cas où le module est double d'un nombre premier, ou d'une puissance d'un nombre premier. En effet si l'on ramène le module m à la forme A'^ B^ C' etc. , y4 , B,C , etc. étant des nombres premiers différons , qu'on fasse eu outre A'-'-{A—i) = cf., Z^*— (Z?— 1) = /3, C^-'(C— 1) = >, etc. et

que z soit un nombre premier avec 7n , on aura z ^i (mod.^^^),

z ^i (mod. 5*), etc.', si donc //-est le plus petit nombre divisible par

^9 ^f y» etc., on aura z =1 suivant chacun des modules A" , B^ , etc., et partant, suivant m qui est égal à leur produit-, mais excepté le cas où m est double d'un nombre premier ou d'une puissance d'un nombre premier, on a toujours jx^CcL^y etc., puisque les nombres a, /3, etc. ne peuvent être premiers entre eux^ ayant au moins le diviseur commun 2. Ainsi la période d'aucun nombre ne peut comprendre autant de fermes qu'il j a de nombres premiers avec le module , et moindres que lui, puisque leur nombre est égal au produit çL^y elc,Ainsi,parexemple, pour;7z=iooi=7. 1 1 . r5, la puissance