IhÉorème. Un nomhre quelconque m étant pris pour
viodule , il ne peut y ai^oir dans la suite 1,2, 5. ..m i , plus
f/e Im-f-i nombres , quand m est pair , et plus de -m-^-l, quand m est impair , qui soient congrus à un quarré.
Comme les qiiarrés des nombres congrus sont congrus entre eux , un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré , dont la racine est plus petite que in. Il suffit donc de considérer les résidus minima des quarrés o, i,à, g. . . ~m î -
mais on voit facilement qu'on a (772—1)^^1^ Cm lY — 2^
(m— '5 y ^5% etc. Donc aussi, quand 7n est pair, les quarrés
(r— 0' ^* (t-^ ' J' (f -"0' ^^ (^'"^^)'' ^^^- ' ^^'^o"t les mêmes résidus jninima-jet quand 7n est impair, ("^ .-Y et (^^"^^V
(p-^^ ^* (^^V~) ' ^^^' ^^^0"^ congrus. D'où il suit évidemment qu'il n*y a pas d'autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l'un des quarrés : o, i , 4, 9,. . . .Ç—J, quand m est pair j et que quand m est impair , il n'y en a pas d'autres que ceux qui sont congrus à l'un des quarrés o, i , 4, 9. . . Y^^^V, Donc il 3^ aura au plus ^ + 1 résidus minima , difïéreus dans le premier cas , et "^ dans le second.
Exemple, Suivant le module 1 5 , les résidus minima des quarrés des nombres o, 1,2, 3;. ..6^ sont o, i;4, 9, 3, 12, lo, et après
cela ils reviennent dans l'ordre inverse 10, i2, 5, etc. Ainsi uri nombre qui n'est pas congru avec l'un de ceux-là , ou qui l'est à l'un des nombres 2, 5,6, 7 , 8, 1 1 , ne peut être congru à aucun quarré.
Suivant le module i5, on trouve pour résidus minima o, i," 4,9, I, 10, 6, 4f <^iui reviennent ensuite dans l'ordre inverse j ainsi le nombre des résidus qui peuvent être congrus à un
quarré , est ici moindre que — — -, puisqu'ils sont o ^ i , 4> ^j9f ^^*
Les nombres 2, 3 , 5, 7, 8 , 11, 12 , i3 , 14, et ceux qui leur sont congrus, ne peuvent être congrus à aucun quarré.
95. Il résulte de là que pour im module quelconque , tous les nombres peuvent se distinguer en deux classes , dont l'une ren* ferme tous ceux qui peuvent être congrus à un quarré , et l'autre tous ceux qui ne le peuvent pas. Nous appellerons les premiers résidus quadratiques (*) du nombre que nous prenons pour mo?* dule , et les derniers non-résidus quadratiques ; ou même plus simplement toutes les fois qu'il n'en résultera pas d'ambiguité , résidus et non-résidus. Au reste il est évident qu'il suffit de classer les nombres o,i,2...77z — i : car les nombres congrus doivent être rapportés à la même classe.
Nous commencerons aussi dans ces Reclierches par les modules premiers, ce qui doit toujours être sous-entendu, quand nous n'en avertirons pas expressément. Mais il faut exclure le nombre 2, ou ne considérer que des nombres impairs.
96. Le nombre premier p étant pris pour module , la moitil des nombres i, 2, 3...p — i, sera composée de résidus quadratiques , et l'autre moitié de non-résidus , c'est-à-dire quHl
y aura - (^^ — i) résidus , et autant de non-résidus.
(*) Dans ce cas-ci , nous donnons à ces expressions un sens un peu différent de celui qu'elles ont eu jusqu'à présent, car lorsque 7'^a'^ (mod. m) , il faudraildire que r est résidu du quarré a^ , suivant le module m; mais pour abréger, nous appellerons dans cette section r, résidu quadratiquie de m , et il n'y a pas d'ambiguité à craindre, car n.nis n'emploîrons plus dorénavant l'expression nsidu , quand elle signifiera un nombre congru, à moins qu'il ne soit question de résidus minima , et dans ce cas il n'y aura pas d'obscurité.
A HI T H M É T I Q U E s. 71
On prouve facilement que tous les quarrés i , 4^ 9> • • 'V ~ ^Y sont incongrus j ear si l'on pouvait avoir r^^r'^ (mod.;?) et que les nombres r et r fussent inégaux et <^ î-, soit r^r , on aurait (r — ?•') (r+r), divisible par ;7 ; mais chaque facteur étant <C.p 9 la supposition ne peut subsister (n° i3}. Il j a donc^-^^,
résidus quadratiques entre les nombres i, 2,3....;? — i; il ne peut j en avoir davantage, car en y joignant o, le nombre en
devient - {p-\-i) , limite qu*il ne peut pas dépasser. Donc les autres
nombres seront non-résidus^ et il j en aura ^- .
Comme zéro est toujours résidu, nous l'excluons, ainsi que les nombres divisibles par le module , parceque ce cas est clair par lui-même, et ne pourrait que nuire à l'élégance des théorèmes j par la même raison nous excluons aussi le nombre 2.
97. Comme la plupart des choses que nous exposerons dans cette section peuvent être déduites des principes exposés dans la section première, et comme il n'est pas inutile de rechercher la Térité par diôérentes voies \ nous nous attacherons à faire voir la liaison des différentes méthodes. Par exemple, il est aisé de voir que tous les nombres congrus à un quarré ont des indices pairs , et que ceux qui ne sont congrus à aucun quarré ont des indices impairs. Mais puisque;? — ! est un nombre pair, il y aura autant d'indices pairs qu'il y en a d'impairs, savoir: i {p — \)\ parconséquent il y aura autant de résidus que de non-résidus.
Exemples,
Pour les modules on a les résidus
etc.
et les autres nombres moindres que ces modules sont non-résidus;
j;; 98. Théorème, he produit de deux résidus quadratiques d'un nombre premier p est un résidu; le produit d'un résidu et d'un non-résidu est non-résidu ; enjin le produit de deux non-résidus est résidu »
1°. Soient AetB les résidus qui proviennent des quarrés a'' , Z>*, ou soient A^a"" ( mod. ;? ) et B^b"" , on aura^-5^a^Z>" , c'està-dire qu'il sera un résidu,
2". Quand ^ est résidu , ou que ^^^*, mais que 5 est nonrésidu, u4B est non - résidu. Soit en effet, s'il se peut^^^^*
et - ( mod./;)^^, on aura a*-S^a^^% et partant B'^.b'' i contre
rhypothèse.
Autrement^ Si Ton multiplie par A les ^ nombres de la
suite \ j 2,'S. . .p — I, qui sont résidus , tous les produits seront des résidus quadratiques , et ils seront tous incongrus. Or si l'on multiplie par A un nombre B non-résidu, le produit ne sera congru à aucun des précédens: donc, s'il était résidu, il y aurait \ (^p-\-i) résidus incongrus , parmi lesquels ne serait pas o, ce qui est impossible ( n° 96 ).
5% Soient A et B deux nombres non-résidus , en multipliant par -i4 tous les nombres qui sont résidus dans la suite 1,2, 3,. . .p — i,
on aura^ — - non-résidus incongrus entr'eux (2°). Or le produit -<^i? ne peut être congru à aucun de ceux-là; donc s'il était non-résidu, on aurait ^ ' non-résidus incongrus entr'eux; ce qui est impossible (n°96).
Ces théorèmes se déduisent encore plus facilement des principes de la section précédente. En effet, puisque l'indice d'un résidu est toujours pair, et celui d'un non-résidu toujours impair, l'indice du produit de deux résidus ou non-résidus sera pair , et partant, le produit sera lui-même un résidu. Au contraire, si l'un des facteurs est non-résidu , et l'autre résidu, l'indice sera impair, et le produit non-résidu.
Oa
ÀRITHMÉTIOtTES. ^5
On peut aussi faire usage des deux méthodes pour démontrer ce
tliéorème : la valeur de V expression ^ ( mod. p ) , sera un résidu ,
quand les nombres a et h seront tous les deux résidus ou non-rési» dus. Elle sera un non-résidu , quand Vun des nombres a ^/ b sera résidu et Vautre non-résidu. On le démontrerait encore en renversant les théorèmes précédens.
Q^. Généralement, le produit de tant de facteurs qu'on voudra est un résidu , soit lorsque tous les facteurs en sont euxmêmes , soit lorsque le nombre de facteurs non-résidus est pair; mais quand le nombre des facteurs non-résidus est impair, le produit est non - résidu. On peut donc juger facilement si un nombre composé est résidu ou non; pourvu qu'on sache ce que sont ses difFérens facteurs. Aussi dans la table II, nous n'avons admis que les nombres premiers. Quant à sa disposition, les modules sont en marge i^) , en tête les nombres premiers successifs ; quand l'un de ces derniers est résidu, on a placé un trait dans l'espace qui correspond au module et à ce nombre ; quand il est non-résidu , on a laissé l'espace vide.
loo. Avant de passer à des sujets plus difficiles, nous devons ^ire un mot des modules composés.
Si l'on prend pour module la puissance ;d" d'un nombre premier /7, p étant >> 2 , une moitié des nombres non-divisible par p et •<;?" seront des résidus, et l'autre des non-résidus 3 c'est-àdire qu'il j en aura ^ . p^~'- de chaque espèce.
En effet, si r est un résidu, il sera congru à un quarré dont la racine ne surpasse pas la moitié du module (n"'g4)j et Ton
voit facilement qu'il y a t;?""' (;? — i) nombres <<— et non divisible par p. Ainsi il reste à démontrer que les quarrés de tous ces nombres sont incongrus, ou qu'ils donnent des résidus différens. Or si deux nombres a et b non-divisibles par p et plus petits que la moitié du module , avaient leurs quarrés congrus , on
(*) On verra bientôt comment on peut se passer des niodiiles composés.
aurait or — Z/'' ou (a+Z») (<z — h) divisible par;?", en supposant a^ h , ce qui est permis. Mais cette condition ne peut avoir lieu, à moins que l'un des deux nombres a — b , U'-^-b ne soit divisible par ;o" , ce qui est impossible , puisque chacun d'eux est plus petit que /?", ou bien que l'un étant divisible par p , l'autre le
soit par p ~~ ou chacun d'eux par p -, ce qui est encore impossible, puisqu'il s'ensuivrait que la somme 2a et la différence 2b, et partant a et b eux-mêmes seraient divisibles par;?, contre l'hypothèse. Donc enfin parmi les nombres non-divisibles par p , et
moindres que le module , il j a ^ "" ^ ;?""' résidus, et les autres ,
en même nombre , sont non-résidus.
Ce théorème peut se déduire aussi de la considération des indices, comme au n° 97.
101. Tout nombre non-dwisible par p, qui est résidu de p, sera aussi résidu de p"; celui qui ne sera pas résidu de p nC le sera pas non plus de p".
La seconde partie de cette proposition est évidente par ellemême ; ainsi si la première n'était pas vraie, parmi les nombres plus petits que f)" et non-divisibles par ;? , il y en aurait plus qui fussent résidus de p qu'il n*y en aurait qui le fussent de p^, c'est-àdire plus de -p^"^ (^p — I )• Mais on peut voir sans peine que le nombre des résidus de ;; qui se trouvent entre i et ;?% est précisément = -^ ;?"=' (yC — i).
Il est tout aussi facile de trouver effectivement un quarré qui soit congru à un résidu donné , suivant le module ;?" , si l'on connaît im quarré congru à ce résidu suivant le module p.
Soit en effet a" un quarré congru au résidu donné A, suivant le
module p^' y on en déduira, de la manière suivante, un quarré^^,
suivant le module /, v étant > /a et non plus grand que a;*. Supposons
que la racine du quarré cherché soit=ba-i-a:yt7^; et il est aisé de s'assurer que c'est là la forme qu'elle doit avoir. 11 faut donc qu'on ait
a"d=2fl^p^-h^>^'^^ '^ (mod, p)^ ou comme 3/*>''; on aura»
rtajjr^ "^^— «^''(mod./; ). Soit^ — a^-z=.p .c/, on aura-zh 2a x^d (raod.y~"^')jdonc a; serala valeur de l'expression d=— (mod. ;?''^'''')
Ainsi étant donné im quarré congru à u4, suivant le module ;?, on en déduira un quarré congru à ^ , suivant le module p" j de là au module p^j au module ;0*, etc.
Exemple. Etant proposé le résidu 6 congru au quarré i , Suivant le module 5, on trouve le quarré 9^ auquel il est congru suivant le module 25^ 16" auquel il est congru suivant le module 125, etc.
102. Quant à ce qui regarde les nombres divisibles par /7, il est clair que leurs quarrés seront divisibles par p^ , et que partant tous les nombres qui seront divisibles par p et nonpar ;?•, seront non-résidus de p". Et en général, si l'on propose le nombre p^A , ui. n'étant pas divisible par p , 'û y di trois cas à distinguer:
1*. Si >^ := ou > 7z , on aura p'^A^o (mod. /?"), c'est-à-dire qu'il sera résidu.
2*. Si k<^n et impair , p^A sera non-résidu.
En effet, si l'on avait ;t7*y^=;?»*'-^'^^ 5* (mod./?"), 5* serait divisible par z?'*'"^' , ce qui ne peut avoir lieu , à moins que s ne le soit par p^''^^', donc alors s^ serait aussi divisible par p'""''^^ , ce qui conduirait , à cause de 2k' -f- 2 non plus grand que Ji, à p^A aussi divisible par p'^^!'^'' j ce qui supposerait A divisible par p , contre l'hypothèse.
5°. Si k<Cn et pair, p^A sera résidu ou non -résidu de p", suivant que A sera résidu ou non-résidu de p. En effet, quand A sera résidu de /?, il le sera aussi de /?""'' (n* précédent). Mais si Ton suppose A^a" (mod. /?"~''), on aura Ap^^a^'p^ (mod./?")^ or a*/7* est un quarré. Quand au contraire A est non-résidu de p , p'^Ane peut être résidu de p". Supposons en effet p^A^a"^ (mod./?"), fl* serait nécessairement divisible par /?*, et le quotient serait un quarré auquel A serait congru , suivant le module p — k , et par- , conséquent suivant le module /?, c'est-à-dire, que A serait résidu i3e^,.CQntre l'hypothèse.
.6 n E C îï E R C H E S
io3. Comme nous avons commencé (n° lOo) par exclure le cas oil 77=2 , il faut ajouter quelque chose à ce sujet. Quand 2 est module ^ tous les nombres sont résidus , et il n'y en a point de non-résidus. Quand le module est 4 , tous les nombres impairs de la forme 4/CH-i sont résidus, et tous ceux de la forme 4^--f-3 sont non-résidus. Enfin , quand le module est 8 ou une plus haute puissance de 2, tous les nombres impairs de la forme 8yt+i sont résidus, et les autres, ou ceux qui sont de la forme 8^-|-3, 8X:-}-5 , 8k~{-j sont non-résidus-, la dernière partie de cette proposition est évidente , puisque le quarré d'un nombre impair de la forme 4/^|i ou 4k — I est toujours de la forme 8X:+i. On peut démontrer la première comme il suit.
1". Si la somme ou la différence de deux nombres est divisible par 2 ""', les quarrés de ces nombres seront congrus suivant le module 2". En effet , soit a un de ces nombres , l'autre sera 2''~'hzt:a, dont le quarré est ^a^ ( mod. 2").
2\ Tout nombre impair qui est résidu quadratique de 2% est cougru à un quarré dont la racine est un nombre impair et <2"-% Soit en effet a" un quarré quelconque, auquel ce nombre soit congru , et oL^a ( mod. 2"~' ), ol n'étant pas plus grand que la moitié du module (n°4), on aura fl^^^=a% et partant le nombre proposé sera ^ a^ Mais il est évident que a et et seront impairs, et que parconséquent û<2"~*,
5°. Les quarrés de tous les nombres impairs moindres que 2""* seront incongrus ,^ suivant le module 2". Soient en effet deux nombres r et s, deux nombres impairs moindres que 2"~^ -, si leurs quarrés étaient congrus suivant 2% on aurait (r — s) (r^s) divisibles par 2" r étant >^j mais on voit aisément que r-i-s et r — s ne peuvent être à-la-fois divisibles par 4 , et si l'un est seulement divisible par 2 , l'autre doit l'être par 2"~' , ce qui est absurde, puisque chacun d'eux est <2"-*.
4°. Si l'on ramène ces quarrés à leurs résidus minima positifs , on aura 2"""^, résidus quadratiques difïérens, et plus petits que le module j mais comme il j a précisément 2"""^, nombres de la forme 8X:+i plus petits que le module, nécessairement tous cej pombres se trouveront parmi les résidus»
ARITHMETIQUES. 77
Pour trouver un quarré congru à un nombre donné de la forme 8k-^i , suivant le module 2", on peut eraplojer une méthode semblable à celle du n° loi , ou suivre le procédé du n° 88. Pour les nombres pairs , on peut faire usage de ce que nous avons dit généralement n" 102.
104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes , c*est-à-dire incongrues suivant le module , que peut admettre Texpression T^= y/ A ( mod. ;p" ) , pourvu que A soit un résidu de ;c", on déduit facilement de ce qui précède , les conclusions suivantes. Nous supposons toujours que p est un nombre premier et, pour abréger, nous considérons en même temps le cas où ;z = i,
i". Si A n'est pas divisible par p, F'n*a qu'une seule valeur pour ;d=2 et 7z=i • ce sera V^\ \ il en a deux quand /7 est impair, ou bien quand on a ;7=2 et 7z=:2 ; et, si l'une est^^, l'autre sera ^ — ^; il en a quatre pour p=.2 et tz > 2 ; et si l'une est ^^, les autres seront ^P'-|-2''-*, — p»|-2''-', — ^.
2°. Si^est divisible par ;c7,maisnon par;?", soit ;j7^'^ la plus haute puissancede p qui divise ^,car cette puissance doitêtre paire (n° 102),
GtAz=:ap ', il est clair que toutes les valeurs de /^doivent être
divisibles par p , et que tous les quotiens donnés par ces divisions
seront les valeurs de l'expression Vz=\/a. (mod./? ); on
aura donc toutes les valeurs différentes de f^, en multipliant par
p , toutes celles de y contenues entre o et p ~'^, Elles seront; par conséquent,
t^p^^çp^^p ^,t^p^^2p ^, (jp^^(pf'^j) p t"-^
V étant une valeur quelconque de V: suivant donc que V aura i ,
ou 2 , ou valeurs, Ken aura/? , ou 2p , ou 4p^ (^°-)»
5°. Si A est divisible par ;»", on voit facilement , en posant nz=2m ou =2772—1 , suivant que n est pair ou impair, que tous les nombres divisibles par p"" sont des valeurs de /^ , et qu'il n'y en a pas d'autres j mais les nombres divisibles par /?"• sont p; /?"", 2/?-". . . (/?"-'"—. i) yD'" , dont le nombre est p"'""»
io5« Il reste à examiner le cas où le module ui est composé de plusieurs nombres premiers. Soit mz=zabc etc. ,a,b, c y etc. étant des nombres premiers différens, ou des puissances de nombres premiers difFérens. Il est clair d'abord que si n est résidu de ttz , il le sera aussi des difFérens nombres a, b, c, etc., et que partant il sera non-résidu de m , s'il est non-résidu de quelqu'un de ces nombres. Réciproquement, si n est résidu des difFérens nombres aj b, c, etc. , il le sera de leur produit m; en efFet, si l'on a n^A'', B"" , C, etc. , suivant les modules a, b, c, etc. respectivement, et qu'on cherche un nombre iV congru aux nombres A,B,C, etc. , suivant le&modules^, hfC, etc. respectivement (n" 32), onaura/z^iV*, suivant tous ces modules, et conséquemment suivant leur produit.
Comme on voit Facilement que la valeur de N résulte de la combinaison d'une valeur quelconque de ^, ou de l'expression V^n, (mod. a) , avec une valeur quelconque de j5 , avec une valeur quelconque de C, etc, que les difFérentes combinaisons donneront des valeurs dijOférentes , et qu'elles les donneront toutes 5 le nombre des valeurs de N sera égal au produit des nombres de valeurs de A, B, C, etc. que nous avons appris à déterminer dans l'article précédent.
Il est évident que si l'on connaît une valeur de l'expression \/n (mod. m), ou de N , ce sera aussi une valeur de u^, B, C, etc.*, et comme par l'article précédent on peut en déduire toutes les autres valeurs de ces quantités, il s'ensuit que l'on pourra trouver toutes les valeurs de N, lorsqu'on en connaîtra une.
Exemple, Soit le module 3i5j on demande si 4^ est un résidu ou un non-résidu. Les diviseurs premiers de 5i,5 sont 3,5,7, et 46 est résidu de chacun d'eux*, donc il est résidu de 5i5. Or comme 46^1 et ^64 (mod. 9), ^i et ^16 (mod. 5), ^4 et ^^^5 (mod. 7), on trouve pour les racines des quarrés congrus à 4^ suivant le module 5 1 5, les nombres 19, 26, 44> ^9^226, 271, 289, 296. 106. On voit par ce qui précède, qu'il suFfit de reconnaître si un nombre donné est résidu ou non -résidu d'un nombre premier donné, et que tous les cas reviennent à celui-là. Nous devons donc chercher pour ce cas des caractères certains j mais avant d'en*
A K I T H M'B:T ItJ U E S. .^
freprendre cetfe recherehe, nous presenteroiis un caractère, qui se déduit delà section précédente, et qui est,digpe d'être conservé à cause de sa simplicité et de sa généralité, quoiqu'il ne soit presque d'aucune utilité dans la pratique.
Un nombre quelconque A, nàn divisible par Un^ nombre premier 2m+i, est résidu ou non-résidu de cç no'mhre pretnîgr suivant que A'"=-i-i ou ^— i- f^mad. 2W-|-|J», , . . .^^..^
Soit en effet, pour le module 27)2^1 ', ArindiceSû nombre 1//^' 3 an s un sjstème quelconque, a sera pair quand A sera un résidu, et irapair quand A sera non-résidu 3 mais l'indice du nombre.^'" est ma , c'est-à-dire ^o ou ^m (mod. 2w) suivant que a est pair bu impair. Donc dans le premier cas on aura ^=1 et d'ans le seëond ^— I (mod.2772-j^i) (n-<57,62)* .,; .s...;.:; ,:;^l .;, ,,:,,,„,^. Exemple, 3 est résidu de i3, parceque 3^=1 (mod. iS); au contraire 1 n'est pas résidu de i3, parceque 2^ = — i (mod. id); mais pour peu que les nombres à examiner soient grands, ce caractère devient tout-à-fait inutile à cause de l'immensité du calcul, ^ 107. Il est très-facile d'assigner tous les nombres qui sont résidus ou non-résidus d'un nombre donné. Soit en effet 772 ce norribre; on déterminera les quarrés dont les racines ne surpassent pas ^ ', ou des nombres congrus à ces quarrés suivant le module m (pour la ■pratique il 7 a encore des méthodes plus expéditives); alors tous les nombres congrus à quelqu'un de ceux-là , suivant le module m, seront résidus > et tous ceux qui ne seront congrus à aucun, seront non-résidusj mais la question inverse, étant donné un nombre quelconque y assigner tous ceux dont il est résidu ou non-résidu, est d'une bien plus grande difficulté j aussi nous allons nous occuper de ce problême, de la solution duquel dépend ce que nous nous sommes proposé dans l'article précédent ; et nous commencerons par les cas les plus simples.
108. Théorème. — -i est résidu de tous les nombres premiers de la forme /^u-{-l,et non-résidu de tous les nombres premiers de la forme /^n-^-'S.
exemple. — i est résidu dés nombres S^ i5, 17, 29, 37, 41 , 53,
So hecherches
6i>> 75> S9, 97, etc.-, il provient des quarrés des nombres 2, 5, 4, 12, 6, 9, 25, II, 27, 54, 22, etc., respectivement. Il est au contraire non - résidu des nombres 5 , 7, 11, 19, 23, 3i, 4^^ 47> %*
Nous avons déjà fait mention de ce théorème (n^64) j mais on le démontre facilement par le n' 106. En effet, pour un nombre premier de la forme 4«-f 3, on a (— i)*"=+i, et pour un nombre de la forme 4/Î+3, on a (— i)^""^'— — i. Cette démonstration revient à celle du n" 64*, mais à cause de l'élégance du théorème et de son utilité, il ne sera pas inutile de le démontrer encore d'une autre manière.
109. Désignons par C la somme de tous les résidus du nombre premier p-^ leur nombre, en excluante, est ^-^, qui sera paie
toutes les fois que p sera de la forme 4/2 + 1 , et impair lorsque p sera de la forme 4«-|-3. Par analogie avec la nomenclature adoptée dans ie n' 77 , dans lequel il était question de nombres en général, nous appellerons, résidus associés, ceux dont le produit sera ^ i (mod./'); en effet il est évident que si rest un résidu, i (mod. p) en sera ua
aussi, et comme le même résidu ne peut avoir plusieurs associés dans C, il est clair que Cpeut être distribué en classes, dont chacune contiendra deux résidus associés. Or il est évident que , s'il n^ avait aucun résidu qui n'eut d'autre associé que lui-même, c'est-àdire si chaque classe contenait deux résidus difFérens, le nombre des résidus serait double de celui des classes. Si donc il y a des nombres qui soient eux-mêmes leurs associés, c'est-à-dire quelques classes qui ne contiennent qu'un résidu, ou, si on aime mieux, qui contiennent deux fois le même-, soit a le nombre de ces classes, h le nombre des autres, le nombre de tous les résidus sera =a 4-2^ : donc a sera pair ou impair suivant que p sera de la forme 4/z + i ou 4«H-5j mais (n° 77) il n'y a pas de nombres plus petits que p, autres que 1 et ;7— 1 qui soient eux-mêmes leurs associés, et le premier i fait certainement partie des résidus-, ainsi dans le premier cas ;? — I ou, ce qui revient au même, — i doit être résidu, et dans le second il doit être non-résidu-, autrement dans le premier cas on aurait a= i ; et dans le second «;=3 , ce qui est impossible.
ARITHMÉTIQUES. 8i
no. Celte démonstration est encore due à Euler, ainsi que la précédente qu'il a donnée le premier (Oyr7i/6'c. «/zû/j/. T.i,p i35). JI est aisé de voir qu'elle repose sur des principes semblables à ceux sar lesquels nous avons appujé notre seconde démonstration du théorème de Pf^i/son (n» 77). Mais en supposant ce théorème, la demonstration précédente se simplifierait beaucoup. En effet, entre les nombres i, 2, 5...;,-i, il j en a ^ qui sont résidus et autant de non-résidus ; donc le nombre des non-résidus est pair ou impair suivant que ;; sera de la forme 4«+ 1 , ou de la forme 4n+Z', donc Je produit de tous les nombres i,2,5,..,p^i sera résidu dans le premier cas et non -résidu dans le second (n° 99). Or ce produit — — i^ Cmod. p)'^ donc enfin — i est résidu dans le premier cas et non-residu dans le second.
III. Si donc r est résidu d'un nombre premier de la forme 4«H-i, — r le sera aussi, et tous les non-résidus seront encore non-residus en changeant les signes (*). Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme 4^ + 3, dont les résidus deviennent non-residus, et réciproquement, quand on change le signe
Au reste on déduit facilement de ce qui précède cette règle gênéraie : - 1 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par 4 m par aucun nombre de la forme 4^ + 3. Il estnon-résidu de tous les autres. ( N"^ io3 et loS).
n^. Passons aux résidus +2 et 2.
Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont k module est H-., on trouvera 7, 17, :^3, 3x, 4,, 47, 7,, ^3, 79, 89 ,97 Or on remarque facilement qu'aucun d'eux n'est de la form^ o/2-f-3 ou on-\-5.
Voyons donc si cette induction peut devenir une cerlifude. Observons d'abord que tout nombre composé de la forme 8« + 3 ou 8/.+5renFermenecessairement un facteur premier de l'une ou l 'aulre
rhl'Tl rt "r ,Pf "™^ '•'""■ "<""bre, en tant qu'il sera résidu ou non-
