S^ RECHERCHES

forme; en effet les nombres premiers de la forme 8^2 + 1 et 8/2+7 ne peuvent former que des nombres de la forme 8/z+i ou 8/2 + 7. Si donc notre induction est généralement vraie, il n'y aura aucun nombre de la forme 8/z+3, Sn-h^, dont le résidu soit +2. Or il est bien certain qu'il n'existe aucun nombre de cette forme et J^udessous de 1 00 , dont le résidu soit + 2 -, mais s'il y en avait au-dessus de cette limite, supposons que t soit le plus petit de tous; t sera de la forme 8// + 5 ou 8// + 5, et +2 sera son résidu; mais^Ll sera nonrésidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit a^r= 2 (mod. /), on pourra toujours prendre a impair et <^, car a a au moms deux valeurs positives plus petites que t, dont la somme =/, et dont parconséquent l'une est paire et l'autre impaire (n"^ io4, io5). Celapose, soit a^ = 2-\-ut ou ut=a'^-^2, a^sera de la forme 8/z+ 1 , et parconséquent ut de la forme 8/z— i ; donc u sera de la forme^8/z + 3 ou 8// +5 suivant que t sera de la forme 8/2 + 5 ou^8/2 + d; ma^is de l'équation a^ = 2 + tu, on tire la congruence «^ = 2 (mod. Uj, c'est-à-dire que +2 serait aussi résidu de u. Il est aise de voir qu'on a // </ ; il s'ensuivrait que t ne serait pas le plus petit nombre qui eût +2 pour résidu, ce qui est contre l'hypothèse; d'où suit enfin une démonstration rigoureuse de cette proposition , que nous avions déduite de l'induction.

En combinant cette proposition avec celles du n° 1 1 1, on en déduit les théorèmes suivans :

I. + 2 est non-résidù, et -^2 est résidu de tous les nombres premiers de Informe 8n + 5.

IL +2 ^/ — 2 sont non-résidus de tous les nombres premiers

de. Informe 8n + 5.

1 15. Par une semblable induction on tirerade la table II, pour les nombres premiers dont le résidu est — 2, ceux-ci: 5, 11,17, i9»4i^ 45 5q, 67, 75, 85, 89, 97 (*). Parmi ces nombres il ne s'en trouve aucun de la forme 8/2 +5 ou 8/z +7 ; cherchons donc si de cette induction nous pouvons tirer un théorème général. On fera voir de la même manière que dans l'article précédent, qu'un nombre composé de la former 8/2 + 5 ou 8/2 + 7, doit renfermer un facteur premier de la forme 8/2+5 ou de la forme 8/2 + 7; desorte que si notre induction est

(* ) En considérant — 2 comme le produit de -|^ 2 par — 1 i voyez n° m.

généralement vraie, — 2 ne peut être résidu d'aucun nombre de la forme 8/z-j-5 ou S/z + y; or s'il peut j en avoir de tels, soit t le plus petit de tous, et qu'on ait — 2 = a'' — tu. Si l'on prend, comme plus haut, a impair et <?, z^ sera de la forme Sn-^-S ou 8/z + 7, suivant que t sera de la forme S/z-j-y ou 8/z-|-5*, mais de ce qu'on a ^^^et utz=ia^-^!i, il est facile de déduire que z/ est </; et comme — 2 serait aussi résidu de z/, il s'ensuivrait que t ne serait pas le plus petit nombre dont — 2 est le résidu, ce qui est contre l'hypothèse. Donc —2 sera nécessairement non-résidu de tous les nombres de la forrae8zz-{-5 ou 8zz-|-7.

En combinant cette proposition avec celles du n° 1 1 1 , on eu déduit les théorèmes suivans :

I. — 2 et-\-2 sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme 8n + 5 \ comme nous l'avons déjà trouvé.

II* — 2 est non -résidu et ~\-2 résidu de tous les nombres pre^ mîers de la forme 8n4-7«

Au reste, nous aurions pu prendre a pair dans les deux démonstrations 3 mais alors il eût fallu distinguer le cas où a est de la formie 4^+2, de celui où il est de la forme ^7i; d'ailleurs la marche est absolument la même et n'est sujette à aucune difficulté.

ii4« Il nous reste encore à traiter le cas où le nombre premier est de la forme 8/z-{-i3 mais il échappe à la méthode précédente et demande des artifices tout-à-fait particuliers.

Soit, pour le module premier 8/2+ 1 , une racine primitive quelconque a, on aura (no62)a'f"^ — i (mod. 8/z-|-i)j cette congruence peut se mettre sous la forme (ii^''+i)='^2a'"' (mod. 8zz+i), ou (a*" — O'^ — 2a'''' 3 d'où il suit que 2a" et — 2.0"" sont résidus deS/z-f-i; mais comme a^" est un quarré non-divisible par le module, -f-2 et —2 seront aussi résidus (n<> 98 ).

1 1 5. Il ne sera pas inutile d'ajouter encore une autre démonstration de ce théorème , qui a le même rapport avec celle que nous venons de donner , que la seconde démonstration du théorème du n° 1 08 , a avec la première. Les gens instruits s'appercevront facilement que ces deux démonstrations ne sont pas aussi différentes qu'elles le paraissent au premier aspect, tant dans le premier cas que dans le second.

1*. Pour un module premier quelconque de la forme 4^72 -f-i,

parmi les nombres i , 2, 3, 4/7z, on en trouvera m qui peuvent

être congrus à un biquarré, et les "Sm autres ne pourront pas l'être.

On peut le conclure facilement des principes de la section précédente j mais on peut aussi s'en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module, — i était toujours résidu quadratique. Soit donc/'*^ — i , il est clair que si z est un nombre quelconque non divisible par le module , les biquarrés des quatre nombres -^z, — Zj-^fz, — ;/z (qu'on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu'on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas être congru à leurs biquarrés j autrement la congruence x^^z"^ àmsiït plus de quatre racines (n° 43). On déduit facilement de là que les nombres i , 2 , 3 , . . . .^m fournissent seulement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mêmes nombres , on en trouvera m qui leur sont congrus^ les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré.

2°. Suivant un module premier de la forme 8/z-|-i , — 1 peut être rendu congru à un biquarré ; c'est-à-dire que — i sera résidu hiquadratique de ce nombre premier.

En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que 8/z-f-r (zéro excepté), sera = 2/z, c'est-à-dire, pair. Or on prouve facilement que, si r est résidu biquadratique de 8/z-f-i , la valeur de l'expression - (mod. 8/z-f-i ) est un pareil résidu. Donc on peut distribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l'avons fait, au n° 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu'à l'article cité.

3° Soit maintenant g''^ — i et h la valeur de l'expression -

(mod. 8/2 + 1). On aura alors {g-à:zhyz=g''-^h'":t:2gh^g''-\-h''zk.2, puisque gh^i ; mais g^^ — 1; donc g'^h"^ — /z*: d'ailleurs. . . g^h'=g\g^h''^g% donc g^^—h^ ou^'+A'=o, et (^•=fc/z)'==fc2; c'est-à-dire que +2 et — 2 sont des résidus quadratiques de 87z-|- 1. 1 16. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle générale suivante: -4-2 est résidu de tout nombre qui n'est dii^isible ni par 4 ni par aucun nomlpre premier de laforme 8n4-3 (?« 8ûHr5,

AKITHMÉTIQUES. S5

et non-résidu de tous les autres , par exemple, de tons ceux de la forme 8/z + 3, 8/2-f-5, tant premiers que composés.

— 2 est résidu de tout nombre qui n'est divisible ni par 4 ni par aucun nombre premier de la forme 8n-l-5 ou 8/2-1-7, ^^ non^ résidu de tous les autres.

Ces théorèmes élégans étaient connus ^q Fermât {Op» mathém., p, 168); mais il n'en a point donné la démonstration, qu'il a dit avoir trouvée. Depuis, Euler l'a toujours cherchée en vainj mais Lagrange en a publié le premier une démonstration rigoureuse (^Noui^. Mém, de VAc, de Berlin. i/yS, p. 349/ 35 1 ); et il paraît c^xCEuler ne la connaissait pas encore quand il a écrit la dissertatiou que renferme le T. i des Opuscula analyt,, p. 259.' ^*^'^'

117. Passons aux résidus +3 et — 3^ et commençons par le dernier.

On trouve par la table II que les nombres premiers dont *-3 est résidu, sont 3, 7, i3, 19, 3i, 37, 43,61,67,-73, 79, 97, parnii lesquels il n'y en a aucun de la forme 6/z -f-5. On démontre comme il suit qu'au-delà des tables il n'y a pas de nombres de cette forme dont — 3 soit résidu: il est d'abord évident que tout nombre composé de la forme Çin-\-S renferme un facteur premier de la même forme; ainsi, quand il sera démontré qu'il n'y a pas de nombres premiers de la forme 6/z-|-5 dont — 3 soit résidu, il demeurera prouvé qu'il n'y a pas non plus de nombres composés. Si donc au-delà des limites de la table il y avait de tels nombres, soit /le plus petit de tous, et qu'on ait û''= — "S-^-tw, alors en prenant a pair et moindre que /, on aura u<Ct et — 3 résidu de u ; or si a était de la forme 6/z± 2, tu serait de la forme 6/z+ i , et partant u ;de la forme 6/z4-5, ce qui est absurde, puisque nous avons supposé que t était le plus petit nombre contraire à notre induction 5 en second lieu, si a était de la forme Ç>n ^ tu se,rait de la forme 56/Z + 3, et partant f /:/ de la forme i2/z-|-i; donc|z^ serait de iâ forme 6/2 + 5-, or il est clair que — 3 serait aussi résidu de ^z/, ce qui est absurde, puisque \u^t\ donp — j3.,ne sera résidu d'aucun nombre de la forme Q^n-^IS. . ^,^^^^^^.^ ]^ tab oJaîiô

Comme tout nombre de la forme 6/z -|-5 est contenu sous la forme

i2;z-f-5, ou i2n-\-ii, et que la première revient à 4^2+1 et la seconde à 4^-|-3, on a les théorèmes suivans:

I. — 3 et +.3 sont non-résidus de tout nombre premier de la forme i2n-{-5>.

II. — 5 est non-résidu 3 ^/4-3 résidu de tout nombre premier de la forme lan-f-n»

' 1 16. On trouve dans la table II, que les nombres dont 3 est résidu sont Z, II, i3, nZj 37, 47^ ^9* 61 > 71 ^ 73 , 83, 97, parmi lesquels aucun n'est de la forme 12/2 + 5 ou i2/z-|-7', or on démontrera, comme dans les n'^s 112, 11 3, 117, qu'il n'j a absolument aucuns nombres de cette forme dont le résidu soit +3 j ainsi nous ne nous y arrêterons pas. Nous en conclurons donc à l'aide du n" xii , les théorèmes suivans :

I. ^- 3 e/ — 3 sont non-résidus d'un nombre premier quelconque de la forme i2n-f-5.

■II. -f-3 est non-résidu, — 3 résidu de tout nombre premier de la forme i2n+7.

119. Cette méthode n*apprend rien pour les nombres de la forme i2/z-f"i j qui demandent des artifices particuliers. L'induction fait voir aisément que -|-5 et — 3 sont résidus de tous les nombres premiers de cette forme. Or il suffit de démontrer que — 3 l'est effectivement, puisqu'alors +3 le sera aussi (n" m)*, mais nous allons faire voir plus généralement que — 3 est résidu de tout nombre premier de la forme 3/z-f-i.

Soit p un de ces nombres premiers , et a un nombre appartenant àl'exposant 3, suivant le module p: et il est évident qu'il existe de tels nombres, puisque 3 divise /? — i (n°55). On aura ainsi <2^ — 1^0 (mod.;p), c'est-à-dire a^ — i =(^ — i )(a*-f-«-f-i ) divisible par/?; mais on ne peut pas avoir a^i (mod. /?), parceque i appartient à l'exposant i ; donc a — i n'est pas divisible par p , et partant «''+(2-4-1 le sera. D'où il s'ensuit que 4^'-f-4^H~4 le sera aussi, c'est-à-dire qu'on aura (2^+1 )'^ — 3 (mod. p),ou que — 3 sera résidu de />.

Au reste il est clair que cette démonstration, qui est indépendante des précédentes, renferme aussi les nombres premiers de là forme la/z + y, cas que nous avons résolu dans le n" précédent.

Nous observerons encore qu'on pourrait employer ïâ méthode des n"'^ 109 et u5j mais pour abréger nous ne nousy arrêterons pas.

120. On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes suivans (n°* 102, io5^ io5):

I, —5 est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par S, ni par 9, ni par aucun nombre premier dç la forme Çm-^S , et non-résidu de tous les autres*

II. +5 est résidu de tous les nombres qui ne sont dii^isibles ni par 4} ni par 9, ni par aucun nombre premier de la forme i2n + 5 ou i2n-f-7, et non-résidu de tous les autres.

On doit remarquer surtout ce cas particulier :

— 5 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 5/z.-f- 1 , ou, ce qui est la même chose , de tous ceux qui sont résidus de 5; et il. est non-résidu de tous les nombres premiers de la forme 6«-{-5, ou de tous ceux de la forme 5«-f-2 (2 excepté), c'est-à-dire de tous ceux qui sont non-résidus de ^ , et l'on voit facilement que tous les autres cas suivent naturellement de celui-là.

Les propositions relatives aux résidus 4- 5 et -^Z, étaient connues de Fermât (Opera TVallisii , T» 11 y p, SSy)*, mais Euler est le premier qui les ait démontrées ( Comment. Jioi^.Petrop» T, viu , p. io5), c'est pourquoi il est encore plus étonnant que la démonstration des propositions relatives aux résidus -{- 2 et — 2 aient f ou- JQurs échappé à sa sagacité, puisqu'elles sont appuyées sur les mêmes principes. On peut voir aussi les Recherches de Lagrange (Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin. lyyS, p. ^Sj).

121. L'induction fait voir que +5 n'est résidu d'aucun nombre impair de la forme 5n-^2 , ou 5;z -j- 3, c'est-à-dire d'aucun nombre impair qui soit non-résidu de 5 lui-même. Or nous allons démontrer que cette règle ne souffre aucune exception. Soit, s'il est possible,/ 1er plus petit nombre à en excepter, 5 sera résidu de /, et t non-résidu de 5, Soita'=5-f-^"> desorte que «soit pair et <</•, u sera impair et </, et «-f-5 sera résidu de u. Si a n'est pas divisible par 5, u ne le sera pas non plus; mais il est évident que tu est résidu de 5 j donc comme ï est. non-résidu de 5, u\e sera aussi, c'est-à-dire qu'ily a un nombre impaic 5:;^ qui est non-résidu de 5 et dont 5 est résidu} mais si a est

divisible par 5, Soit a=5Z» et «=5^, il eu résultera ;ff^=—i ^4 (mod. 5), c'est-à-dire que tp sera résidu de 5. La marche de la démonstration est pour le reste la même que dans le cas précédent.

122. Donc -f- 5 et — 5 sont non-résidus de tous les nombres premiers qui sont à-la-fois non-résidus de 5 et de la forme /^n-^-i , c'est-à-dire de tous les nombres premiers de la forme 20/24-1 5 ou 20«-f-i7-, mais 5 sera non-résidu, et— 5 résidu de tous les nombres premiers de la forme 207z-j-3 ou 20/1-1-7.

Or on démontrera absolument de la même manière que —5 est non-résidu de tous les nombres premiers des formes 20/z-|-ii y 20/2-|-i5, 20/24-17, 20/z-f-ig, et l'on voit facilement qu'il suit de là que -f- 5 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 20/Z4-II , ou 20/z-|-ig; enfin non-résidu de tous ceux de la forme 20/2 4- 1 3 , ou 20/2-j- 1 7 ; et comme tout nombre premier , excepté 2, et 5 dont rfc 5 est résidu , est contenu dans l'une des formes : 20/z4- I , 4-5, 4-7, 4-9> 4-11 » +15, 4-17, 4- 19 , il est clair que l'on peut juger de tous, excepté de ceux qui sont de la forme 20/z4- 1 > 0^1 20/z-f-g.

123. Par induction, on trouve facilement que 4-5 et — 5 sont résidus de tous les nombres premiers de la forme 20/z-f-i et20/z-f-9; et si cette proposition est généralement vraie, on aura cette loi élégante que 4- 5 est résidu de tous les nombres premiers qui sont résidus de 5 lui-même , ( car ces nombres sont contenus dans les formes S/z-f-i , ou 5/z-f-4, ou ce qui revient au même dans les formes 20/24-1 ,4-9, -f-ii, 4-19, parmi lesquelles la troisième et la quatrième ont déjà été traitées), et non-résidu de tous les nombres premiers impairs , qui sont résidus de 5 , comme nous l'avons déjà démontré plus haut. Or il est clair que ce théorème suffit pour juger si -|- 5 et partant — 5, qui n'est autre que 4-^X — I , sont résidus ou non-résidus d'un nombre donné quelconque. On peut observer aussi l'analogie de ce théorème avec celui du n" 120 sur le résidu — 3.

Mais la vérification de cette induction n'est pas facile. Quand le nombre proposé est de la forme 20/24-1 > ou plus généralement de la forme 5n-\~i , on peut employer une méthode semblable à celles des n°' 114, 119. Soit en effet a un nombre quelconque

appartenant

apparlenant aTexposant 5, suivant le module 5/2 -f- i, nombre qu'on a appris à trouver dans la section précédente, on auraa^^i, ou (a—i) (a^+a^+a"-i-tz-|-i)^o (mod. 5/2 + 1). Mais comme on ne peut avoir a^i , il s'ensuit qu'on àiira a^-\-a^-^a^'^a

c'est-à-dire, que Sa^ est résidu de 5// + i -, et partant 5 lui-même , puisque a^ est un résidu non-divisible par S/z-f-ij car, à cause de a^^i , a n'est pas divisible par 5/z+i.

Comme le cas où il est question d'un nombre premier de la forme 5/2-1-4 demande des artifices particuliers de calculs, et comme nous traiterons par la suite, d'une manière générale, les propositions au moyen desquelles on peut résoudre ce problême , nous nous contenterons d'en parler ici en passant.

1 o. Sïp est un nombre premier,et b un nombre aussi donné non-résidu

de /?, la valeur de 1 expression ^^ — —^ — -j^ — = -4 ,

dont le développement ne contiendra pas d'irrationnelles, sera toujours divisible par p , quelque valeur que l'on attribue kx. En effet il est clair, par l'inspection des coelïiciens qui naissent de ce développement, que tous les termes , depuis le second jusqu'à l'avant-dernier inclusivement, sont divisibles par/?, et que partant

A^2. (p-^j) fst''-{-a:b^-^^^\ (mod. p) ', mais parceque Z> est nonrésidu de;», on aura b^^^^^ — i (mod./?), ( n" io6)jor on a toujours x^^a: (section précédente), d'où s'ensuit yi^o.

a°. Dans la congruence A^o, l'indéterminée x aura p dimensions , et fous les nombres o, 1,2, 3..../? — i , seront racines de cette congruence. Soit e un diviseur Ae p-\-\ , l'expression. . .

i^ — ■ '■ — -^ =^, que nousrepresenterons par iî, sera rationnelle,

X jaura e — i dimensions, et il est constant parles premiers élémens d'analjse, que ^ est divisible par B. Or je dis qu'il ja^ — i valeurs, qui rendent ^ divisible par;;. En effet, soit Az=.BC, x aura dans C, p — e-|-i dimensions, et partant la congruence C^o ( mod. p ), ne pourra avoir plus de/7r— ^-|-i racines, d'où il suit

que Jes ^ — 'I autres nombres pris dans la série o^ i, 2, .. .;j—i^ seront racines de la congruence B^o,

5°. Supposons maintenant p de la forme 5/z4"4> ^=5, h nn

iion-résidu de y^, et le nombre a déterminé de manière à rendre

ia-\-\/by—(a-~\^bY ,...11 ^ - ^ • ^

> — - — j — ^ divisible par /?. Cette expression devient

=ioa^-|-2oa'Z>+2Z>^=2 {(Z>+5a^)' — 20iz^ }•, donc (Z?+5ii^) — soa^^o (mod. p)'., c'est-à-dire que 20^*^ est résidu de;;; mais comme 4'^^ est im résidu non-divisible par p , ( car on voit facilement que a lie peut être divisible par /? ) , 5 sera lui-même résidu de /7.

Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement de cet article est généralement vrai.

Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange, {Mémoires de l'Académie de Berlin, lyj^, p. 352 ).

124. On démontre par une méthode semblable que — 7 est non-résidu de font nombre premier qui est non-résidu de 'j , et Von peut conclure par induction, que — 7 est résidu de tout nombre qui est résidu de 7 ; mais personne n'a encore démontré rigoureusement cette seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de 7 et de la forme /^n — i, la démonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est maintenant assez connue, que -f- 7 est toujours non-résidu de ces nombres, et partant — 7 résidu. Mais nous sommes peu avancés parla, car les autres cas ne peuvent être traités par cette méthode. Il J a cependant un cas qui peut être résolu de la même manière qu'aux n''^ 119, isS. Soit/7 un nombre de la forme 7//+ 1 , et a un nombre appartenant à l'exposant 75 on voit facilement que

l^^^=(2a^+a'— -a — 2)^ + 7 («=^ + ^z)^ = o, et que partant

■' — 7 (fl^ + ^y est résidu de/?. Mais {a^-\-ay comme quarré, est résidu de/7-, de plus il est non divisible par/7. En effet tz n'est ni^o, ni ^ — I (mod. p) , cest-à-dire que ma, ni a-f-i ne sont divisiblespar/7, et partant le quarré {a — i )^ ^zMie l'est pas nonplus. Donc 7 lui-même est résidu de p. Mais les nombres de la forme 772 + 2, ou 7/Z + 4 échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaître jusqu'à présent. Au reste, cette démonstration est encore due à Lagrange , ( ibidem ). Nous montrerons plus bas gé-

néralement, section Y II , que l'expression -'^^/ pent toujours

être ramenée à la forme X'=p;?jr% X et T étant des fonctions rationnelles et entières de x , et où l'on doit prendre le signe supérieur, quand p est un nombre premier de la forme 4'z-f-i,et le signe inférieur, quand p est de la forme 4/2-{-3. Lagrange n'a pas poussé cette analyse au-delà du cas où ;? =7 ( Ployez ibidem), 125. Puisque les méthodes précédentes ne suffisent pas pour établir des démonstrations générales , il est temps d'en exposer une autre exempte de ce défaut. Commençons par un théorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs n'ont pas même cru qu'il fût nécessaire de le démontrer. C'est celui-ci : Tout nombre, si Von en excepte les quarrés pris positi^>ement , est toujours non-^ résidu de quelques nombres premiers» Mais comme ce théorème ne nous servira que d'auxiliaire pour d'autres démonstrations , nous ne présenterons que les cas dont nous pourrons avoir besoin; les autres se trouveront démontrés par la suite. Nous allons donc fliire voir que tout nombre premier de la forme 4'i~l~ i ^^^i V^' sitify soit négatif, est non-résidu de quelques nombres premiers, et même de nombres premiers plus petits que lui (^),

Quand le nombre premier/? de la forme 4^^+ i est pris négativement, soit 2^ le nombre pair immédiatement plus grand que \/p.

On voit facilement que J^a" est toujours < 2/7 i^"^) ou que 4^^ — P<iP-

(*) Il est évident qu'il faut excepter -j-i.

(**) L'assertion de l'auteur est vraie , excepté pour les valeurs p = 5 etp=i'/.

Soit en effet pr=77i'-f-fe, m* étant le plus grand quarré contenu dansp; on aura

2az=m-f-i ou =m-|- 2, suivant que ni sera impair ou pair, donc 4a^ sera /n'+ani-J-i

ou m^-j- 4m -f- 4 > d'^"^ ^1 ^"it

4a*— 2p=i — 2/i-f 2m— m^=2(i — k) — (m — i)* ou 4a'- — 2p=2(4 — k) — (m — 2)»

or dans le premier cas on a évidemment 4a* — 2/7 <;o, puisque k ne peut pas être plus petit que 4-

Dans le second cas , l'assertion est en défaut pour tous les nombres dans lesquels k <^4 (ce qui exige qu'on ait k=n , puisque k est de la forme 4«+i)> ^t fm — 2,y<^S , c'est-à-dire , pour les nombres pour lesquels m = 2 ou m = 4'> ces nombres sont donc 2^-f- 1 =5 et 4*+ 1 ^= 17 j ^^'^^ pour tout autre on aura 4«''— -2p<;o.

On peut substituer la démonstration suivante qui n'offre aucune exception.

Mais 4^* — p est de la forme 4/?-|-5 et -^ p est résidu quadratique de /^a^ — p , puisque /^a'^p (mod. /^a" — p)> Si donc ù^a'' — p est im nombre premier, — p sera non-résjdii j dans le cas contraire l^a"" — p renfermera un facteur de cette forme*, donc -j-;? sera résidu, et partant — p non-résidu.

Quand le nombre premier est pris positivement , il est nécessaire de distinguer deux cas ;, celui où p est de la forme S/z-f- 5, et celui où il est de la forme S/z-f-i.

Soit d'abord y[? de la forme 8/z -f- 5 , prenons tin nombre positif quelconque a<C\/ \p\ alors 8/z -{-5 — la" sera un nombre positif de la forme 8/z -|- 5 ou 8/z-f-5 , suivant que a sera pair ou impair , et nécessairement divisible par un nombre premier de la forme 8/z-|-3 ou 8/z-|-5, car le produit des nombres de la forme 8/z-f.i et 8/z-f-7 ne peut avoir ni la forme 8/2 -j- 5 , ni la forme 8/z-f-5. Soit cette différence égale à </, on aura 8/z-f-5^2a* (mod. q^. Mais ( n° ii2) 2 est nou-résidu de q^ et partant aa* et 8/z-f-5 (n°98). a" en effet n'est pas divisible par q, car sans cela le nombre premier p serait divisible par q.

126. La démonstration n'est pas aussi simple dans le cas où le nombre premier positif est de la forme 8/z -f-i. Mais comme cette vérité est d'une grande importance , nous ne pouvons omettre la démonstration , quoiqu'un peu longue.

Lemme. Si Von a deux suites de nombres A , B, C , D , etc. (T), A', B% C% D', etc. (II), (dans lesquelles il est indiffèrent que les termes soient ou non en même nombre ) telles que p étant un nombre premier quelconque ou une puissance d'un nombre premier qui dit^ise un ou plusieurs termes de la seconde , il y ait au moins autant de termes de la première qui soient dii^i' sibles par p ; alors Je dis que le produit de tous les nombres de (I) est diifisible par le produit de tous les nombres de (IJ).

Soit p=(m.-j- 1 )^ — ^^) ^ étant la racine du plus grand quarré contenu dansp; il en résulte (m-f-i)^^p (mod. A). Or si 772 + 1 est pair , k sera de la forme /^n-\-5 et parconséquent — p sera non-résidu de k; si 77i-f-i ^st impair, k sera de la forme 4" , et comme les nombres de cette forme n'ont d'autres résidus que ceux qui sont de la forme 4'^-\- 1 ou Sn-\- 1 (n" io5) , il s'ensuit que — p est nonrésidu de k; or /{ est <p. ( Note du Traducteur ).

Exemple. Soit (!) composé des nombres 12, 18, 45^et (II) composé des nombres 5, 4^ 5,6, 9; alors en faisant successivement /? =2, 4> 5, g, 5, on trouvera dans (I) 2, i , 3 , i , i, termes divisibles, et 2 1,5, I , I dans (IJ) respectivement -, or le produit de tous les termes de (l)=9720 qui est divisible par 5240, produit des termes de (II).

Démonstration. Soit Q le produit de tous les termes de (I), et Q' le produit de tous les termes de (II), il est évident que tout nombre premier diviseur de Q' le sera aussi de Q. Prouvons maintenant que tout fdcteur premier de Q' est au moins élevé à la même puissance dans Q. Soit p ce diviseur, et supposons qu'il j ait dans la suite (I) a termes divisibles par p et nou par p'' , h par /?" et non par p'^ , c par p^ et non par p^ , etc. \ a, b' , c' , elc. a^-ant la même signification dans la suite (II). On verra facilement que a-\-ih •+-3c + etc., est l'exposant de/? dans Ç, et a'-|-2Z;'-f-5<:'-j-etc., l'exposant de p dans Ç'; mais d n'est cerlainement pas ]> iZ , ni Z>' >> ^, etc. par hypothèse j donc aussi d-\-'ih'-\-'^c'-\- ç:\çi. , ne sera pas '^ a-\-ih'\-'^c-\- etc., ainsi, comme aucun nombre premier ne peut avoir un exposant plus grand dans (^ que dans Q , Q est divisible par Ç' ( n° 17).

127. Lemme. Dans la progression 1,2, 3, 4. . . . n, z7 ne peut y auoir plus de termes divisibles par un nombre quelconque h ,

que dans la progression a,a4-i, a-j-2, a-f-n — i, qui a

le même nombre de tei'mes.

En effet on voit sans peine que si n est divisible par hy'ûy a

dans chaque progression j termes divisibles par h j sinon soit

72= /z^-f-y, /étant </z ; il j aura dans la première série e termes, et dans la seconde e ou e-\-i termes divisibles par h.

Il suit delà, comme corollaire , que ^("+0 C«-4-a)(a+3). . .(a-f-n-O

est toujours un nombre entier : proposition connue par la théorie des nombres figurés, mais qui, si je ne me trompe, n'a encore été démontrée directement par personne.

Enfin on aurait pu présenter plus généralement ce lemme comme il suit :

Dans la progression a, «+i, fi!-f-2 ^4-77 — 1 , \\ y a au

moins autant de termes congrus suivant le module h à un nombre

ç4 RECHERCHES

donné quelconque , qu'il j a de termes divisibles par h dans la, progression i , 2 , 3 . . . . «,

128. Théorème. Soit a un nombre quelconque de la forme 8/z+i , p i//z nombre quelconque premier auec a et dont +a soit résidu y et va. un nombre arbitraire; je dis que dans la suite ^ a, i (a — i), 2 (a — 4)^ \ (a — 9), 2 (a — 16), .... 2 (a — m'^) ou 1 ^a — m'' ) suivant que m est pair ou impair , il y a au moins autant de termes divisibles par p que dans la suite i,2,3...2m+i. Désignons la première par ( I) , la seconde par (II).

1°. Quand /7=2, tous les termes de (I), le premier excepté, c'est-à-dire m termes, seront divisibles par 2, et il j en aura autant dans (II).

2°. Si p est un nombre impair , ou le double ou le quadruple d*un nombre impair, el que^z^/'^ (mod.^), alors dans la progression — ?7z, — {jn — 1) , — {in — 2). . . o, 1,2... m (III), qui a le même nombre de termes que (II), il j aura au moins autant de termes congrus à r suivant le module/;, qu'il j en a dans (II) de divisibles par p (n° précéd.) ; mais on ne pourra pas en trouver deux qui ne diffèrent que par le signe-, en effet si r^ — f^-^f (mod./?), ou aura 2y = o^donc aussi 2£Z^o, puisque par hjpothèse /''^^ j mais comme a est premier avec /? , ou ne peut avoir la^a (mod. /?) à moins que pz=:2, et nous avons déjà parlé de ce cas. Enfin chacun de ces nombres aura, dans la série (I), son correspondant qui sera divisible par/; j savoir, siitZ^est un terme de la série (III) congru à?' suivant /7, on aura a — /;*^o (mod. /;). Si donc b est pair, le terme 2(iZ — b"") sera divisible par p',%ïb est impair, le terme l{a — Z>'}

sera divisible par p *, car sera entier et pair, puisque (bjp. )

a est de la forme S/z-f- 1 , et b* l'est aussi comme quarré d'un nombre impair , tandis que p est au plus divisible par 4» On conclut enfin de là qu'il J a dans la série (I) autant de termes divisibles par/7, qu'il J en a dans la série (III) de congrus avec r suivant le module p , c'est-à-dire autant ou plus qu'il y en a de divisibles par/^ dans la série (II ).

3°. Soit p de la forme 8/z , ei a^r" { mod. 2/7) ', car on voit facilement que a étant résidu de /;, le sera aussi de 2/?, Alors dans la

5érie (HI), il j aura au moins autant de termes congrus à r suivant p y qu'il j en a dans (II) de divisibles par/>, et ils seront tous inégaux; mais à chacun d'eux, il en correspondra un dans la série (J) qui sera divisible par/?. Si en eiïetzbZ>^r (mod. p), on aura b^^r'^ (mod. 2yy) (^), et partant ^ ( ^—Z>" ) , et à plus forte raison a {a — b"") seront divisibles par p. Donc il y aura au moins autant de termes divisibles par ;t; dans (I) que dans (II).

129. Théorème. Si a est un nombre premier de la forme 8n+ 1 , il y aura nécessairement au-dessous de 2\/a, un nombre premier dont a est non résidu*

En effet, soit s*il se peut a résidu de tous les nombres premiers plus petits que \^:ia, il est clair que a serait aussi résidu de tous les nombres composés plus petits que 2\/a (n° io5). Soit m le nombre immédiatement plus petit que \/a. Alors dans la série (I) il J aura au moins autant de termes divisibles par un nombre quelconque <2 v/a que dans la série (II) du n°. précéd.; d'où il suit que le produit Ç de tous les termes de (I) est divisible par le produit Ç' de tous ceux de ( III) (u° 126); mais le premier est a {a i)

{a — 4) . . . (^ — 772^) ou la moitié de ce produit, suivant que m est pair ou impair. Or puisque Ç est divisible par Ç' et que tous les facteurs de (II) sont premiers avec«, il s'ensuit que -2. est di-

Visible par Ç'. Or Ç' peut être mis sous la forme

(77z-|-i).(772+r — i)(77zH-r— 4) (^J^^' -^m^^ ^ et l'on

aurait ^ ^ — ' « — 4 a — m' ,

" 7714- 1 * ^=^^ — • î — • • • • X = un nombre en-

~ 7714-1 1 /?l-(-l —4 771-fl Tfi"

tier, quoique ce soit le produit de plusieurs fractions plus petites que l'unité, puisque \/ a étant irrationnel, on ain-^i^y^aet partant (m-^-iy-^a. Il suit de là que notre supposition ne peut avoir lieu.

Or comme a > 4 , on aura 2 \/a <a , et il existera un nombre premier <.a dont a est non-résidu.

i3o. Maintenant que nous avons démontré que tout nombre

(*) En effet b<' -r^— (^b-j-r) (b — r) ; l'un de ces facteurs est dh-itible par p ; l'autre est divisible par 2 , puisqu'ils sont tous deux pairs ; donc ^"—'■''^o (mod. 2p).

premier de la forme ^n-\-i positif ou néj^atif,est foujours nonrésidu d'un nombre premier au moins plus petit que lui , nous allons passer à l'examen exact et général de la condition nécessaire pour qu'un nombre premier soit résidu ou non-résidu d'un autre.

Nous avons démontré plus liaut que — 3 et +5 sont résidus ou non-résidus de tous les nombres premiers qui sont respectivement résidus ou non-résidus des nombres 3 et 5.

On trouve par induction , relativement aux nombres suivans, que ,

— 7,— ii,+i3,-fi7,— ig, —23, +29, — 3i , +37, -f-4i,

— 4^^ — 47? +53 , — 59 , etc. ) sont résidus ou non-résidus de tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus ou nonrésidus de ces nombres premiers. Cette induction s'établit facilement au moyen de la Table II.

Une légère attention suffit pour remar(]ner que parmi ces nombres premiers, ceux de la forme 4'2+i sont affectés du signe +, et ceux de la forme /yn-\-'ù , du signe — .

i3i. Nous démontrerons bientôt généralement ce que l'inducfiou nous a fait découvrir j mais avant de l'entreprendre , il est nécessaire de faire voir toutes les conséquences de ce théorème supposé vrai et que nous énoncerons ainsi :

Tout nombre qui , pris positii^ement , est résidu ou non-résidu de p, aura, pour résidu ou non-résidu y-\-p ou — p, selon que p sera de la forme 4^4" ^ ^^^ 4ri~f"^»

Comme presque tout ce qu'on peut dire sur les résidus quadratiques est une suite de ce théorème , la dénomination du théorème fondamental dont nous nous servirons dorénavant^ ne sera pas déplacée.

Pour exposer nos raisonnemens de la manière la plus courte, nous désignerons par a, a! , a , etc. les nombres premiers de la forme l\n-\-\ , par Z>, b' y b", etc. les nombres premiers de la forme 47z4-3, par y4 , A' , A\ etc. les nombres quelconques de la forme 4/z+i , par By B' y B" y etc. les nombres quelconques de la forme 4«-|-3. Enfin la lettre R placée entre deux quantités, indiquera que la première est résidu de la seconde, et la lettre N indiquera le contraire. Par exemple, 5jR i i, 2iV5, indiqueront que 5 est résidu de 1 1 , et que 2 est ziou-résidu de 5.

Maintenant,

ARITHMETIQUES. 97

Maintenant, à l'aide des ihéorèmes du n° m, on déduira du .ihéorèmo fondamental les propositions suivantes:

Si on aura