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i^.^bRB i+^^^

X'-BNb.

98 R il CHERCHES

Comme les mêmes principes conduisent aux demonstrations â& ces propositions, il n'est pas nécessaire de les développer toutes; la démonstration de la proposition 9 que nous plaçons ici, peut servir de modèle; mais, avant tout, il faut observer que tout nombre de la forme 4'?-}-i ne renfermera aucun facteur de la forme 4^^4-3, on en renfermera un nombre pair parmi lesquels il pourra y en avoir d'égaux; tandis que tout noiTibre de la forme /^n-j-S doit en renfermer un nombre impair. Le nombre des facteurs de la forme 4'?4-i reste indéterminé.

Passons à la démonstration de la proposition 9. Soit v^ le produit des facteurs premiers a, a", a", etc. b , b' , b" , etc. ; le nombre de ces derniers sera nul ou pair. Or si a est résidu de ud , il sera résidu de tous les facteurs a' , a" y a" , etc. b , b' , b" , etc.; donc, par les propositions I et 3 du n° précédent, chacun de ces facteurs sera résidu de a y et partant leur produit A\ donc (n° m) — 'A le sera aussi; mais si — a est résidu de ^, il le sera de tous les facteurs de A y et chacun des nombres a\a"y etc. sera résidu de a y tandis que chacun des nombres b , b' , etc. sera non-résidu; mais comme ces derniers sont en nombres pair, le produit total -d? sera résidu de a , et par conséquent aussi — A.,

i53. Donnons encore plus de généralité à nos recherches. Considérons deux nombres quelconques P et Q impairs et premiers entre eux, affectés de signes quelconques. Concevons P, abstraction faite du signe, décomposé en facteurs premiers, et désignons par p le nombre de ceux dont Q est non-résidu, en comptant plusieurs fois les facteurs qili entrent plusieurs fois dans P et dont Q est nonrésidu. Soit de même ç le nombre des facteurs de Q dontP est nonrésidu. Les nombres /? et ç auront entre eux une certaine relation dépendante de la nature des nombres P et Q ; savoir, si l'un des nombres pç est pair ou impair, la forme des nombres P et Q apprendra si l'autre est pair ou impair. Cette relation est présentée dans la table suivante: •

petq seront à-la-fois pairs ou impairs quand les nombres P et Q seront des formes :

i-f-^ et -\-A' a-^Aet—A' '6-\- A et -f i?

4+ A et —D b — A et —A' . . . . 6-f ^ et — B'.

Au contraire, l'un sera pair et l'autre impair quand P et Q au-

r-ont iinç des formes

y,^et-+-/; 8 — ^et-^ 9-f 2? et-^£' ic — 5 et— B' .

ILxemple. Soient les nombres proposes — 55el-f-ii97 cjni doivent êti'e rapportés au If cas. 1197 est non-résidu d'un seul facteur premier de 55 savoir, 5^ mais — 55 est résidu de trois facteurs premiers de 1197, savoir, 5, 5, 19.

Si P et Ç désignent des nombres premiers, ces propositions reviennent à celles dun^iSi. En effet, dans ce cas yy et </ ne peuvent être plus grands que i j parconséquent lorsqu'on suppose p pair^ il est nécessairement =0, c'est-à-dire que Ç est résidu de P\ mais quand p est impair, Ç est non-résidu de P, et vice versa. Ainsi en mettant «et ^ au lieu de ^ et ^, il suit de la 8^ que si — a est résidu ou non - résidu de by — h sera non-résidu ou résidu de «, ce qui s'accorde avec la 5^ et la 4^ du u" i5i.

En général il est clair que Q ne peut être résidu de P, à moins qu'on n'ait yy = Oj si donc p est impair, Ç est certainement nonxésidu de P.

On peut déduire sans peine de là les propositions du n' précédent.

Au reste on verra bientôt que ces relations générales ne sont pas îuie spéculation stérile, puisque sans leur secours il serait presqu'impossible de donner une démonstration complète du théorème fondamental.

134. Voyons maintenant la manière de déduire ces propositions.

1°. Soit, comme ci-dessus, P décomposé en facteurs premiers, et ^ en facteurs quelconques , ayant toutefois égard au signe de Ç. On pourra combiner chaque facteur de P avec chaque facteur de Q , et si l'on représente par s le nombre de toutes les combinaisons dans lesquelles le facteur de Q est non-résidu du facteur de P iP et 5 seront tous les deux pairs ou tous les deux impairs. Soient en effet/",/', f"^ etc. les facteurs premiers de yc , et supposons que parmi les facteurs de Ç>, il y en ait m non-résidus de/, rtï non-résidus de/', ni non-résidus def, etc. On voit facilement que l'on aura s-=:jn-\-m'-\-jn-\-Qic. , ett^ue^y exprimera combien il y a de nombres impairs parmi m, ni , ni etc, d'où il suit que ^^ est pair quand/? est pair, et impair quand p est impair.

loo RE CITER CITES

2°. Ce que nous venous de dire a lien de quelque manière qu'on» décompose Q en facteurs. Passons aux cas particuliers. Considérons d'abord le cas où l'un des nombres P est positif, et l'autre Q, de la forme -f--^ ou — B; décomposons P et O en facteurs premiers, en donnant à tous les fadeurs de P le signe + , et le signe + ou le signe — à chacun de ceux de Q , suivant qu'ils seront de la forme a ou l? , et Q sera alors de la forme -f-v^ ou — B , comme l'hypothèse l'exige. Combinons chacun des facteurs de P avec chacun des facteurs àe Q , et désignons comme ci-dessus par s le nombre des combinaisons dans lesquelles le facteur de Q est nonrésidu du facteur de P , et semblablement par / le nombre de celles oil le facteur de P est non-résidu du facteur de Q. Il suit du théorème fondamental que ces combinaisons doivent être identiques^ donc s = t. Enfin de ce que nous avons démontré tout-àl'heure, il suit que p^s (mod. 2) et q^t (mod. 2 ), d'où p^ç (mod. 2). Les propositions i, 5, 4j ^ ^"^i n° i55 se trouvent démontrées par là.

On peut démontrer les autres propositions directement de la même manière; mais elles exigent une considération nouvelle, et il est plus aisé de les déduire, comme il suit, des précédentes.

5°. Désignons de nouveau par P et Q des nombres quelconques^ impairs et premiers entre eux , par /? et ç le nombre de facteurs premiers de P et Ç, nombres dont Q et P sont respectivement nonrésidus. Soit enfin p' le nombre de facteurs de P dont — Q est nonrésidu : quand Q sera négatif par lui-même, il est évident que ^-Ç indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les facteurs de P en quatre classes.

(1) En facteurs de la forme a, dont Q est résidu.

(2) En facteurs de la forme ù, dont Q est résidu ^ soit leur nombre %.

(5) En facteurs de la forme a, dont Q est non - résidu ; soit leur nombre -4^.

(4) En facteurs de la forme b , dont Q est non - résidu 3 soit leur nombre co.

On voit facilement que ;; = -vj/ -f- « , et ;t?' = x4-4'7 ^'°^ p' — p = X — ^-

ARITHMETIQUES. ,oi

Quand P sera de la forme ±^, on aura x+^^o (mod 2), (n°i52), et parcoDséqiient % — ce^^M, ou % — cù^o (mod. 2); donc/— -;7 = o (mod. 2). Quand P est de la forme rfc^ on trouve par un raisonnement semblable que p et p sont incongrus suivant le module 2.

4% Appliquons cela aux différens cas. Soient d'abord P et Ç de la forme 4-^, on aura (prop. i)p^^q (mod. 2); mais (5\ );?'== ;?; donc p^q (mod. 2), ce qui s'accorde avec la proposition 2. De même si P est de la forme —A et Q de la forme -\-A, on aura p^q (mod. 2), par la proposition 2 que nous venons de démontrerj donc ^ comme p'~p, on aura p'^q; ainsi la prop. 5 est démontrée.

On déduira de la même manière la prop. 7 de la prop. 5, la 8e de la 4e ou de la 7% la ge et la lo^ de la 6e.

i35. Les propositions du n° i55 ne sont à la vérité pas démontrees par le n° précédent j mais nous avons fait voir que leur vérité dépend de la vérité du théorème fondamental que nous avons supposé; et par la méthode que nous avons suivie pour les déduire, il est évident qu'elles ont lieu pour les nombres P et Ç, si le théorème fondamental a lieu pour tous les facteurs premiers de ces nombres comparés entre eux, quand même il ne serait pas généralement vrai. Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental. Pour rendre plus clair ce qui suivra, il est bon de prévenir d'avance que lorsque nous dirons que le théorème fondamental est vrai jusqu'à un nombre M, nous entendrons par là qu'il a lieu pour deux nombres premiers quelconques dont aucun n'est plus grand que M.

On doit entendre la même chose, lorsque nous dirons que les théorèmes des n- i3i, i32, i53 sont vrais Jusqu'à une certaine limite. Au reste, on voit que si la vérité du théorème fondamental est constatée jusqu'à une certaine limite, ces propositions xiuront aussi lieu jusqu'à la même limite.

i36. La vérité du théorème fondamental pour de petits nombres, se découvre facilement par l'induction ; ainsi on aura une limite jusqu'à laquelle il aura lieu. Nous supposons cette induction établie, et il est absolument indifférent jusqu a quel point on la pousse. Ainsi il suffirait de la continuer jusqu'au nombre 5, ce qui se fait par une seule observation, puisqu'on a ±5A"3 et =b53'5.

ïoa PvE CHERCHES

Or si le théorème fondamental n'est pas généralement vrai , il existera ime limite T jusqu'à laquelle il le sera; desorte qu'il n'ait pas lien pour le nombre immédiatement plus grand T-f-i : ce qui revient au même que si nous disions qu'il y a deux nombres premiers dont le plus grand est 2'-f- i > q"i sont contraires au théorème, quoique deux autres nombres quelconques s'accordent avec lui , pourvu qu'ils soient plus petits que J"-}-!* D'où il suit que les propositions des n°^ i5i , i52, i53 auront lieu jusqu'à T. Nous allons voir que cette supposition ne peut subsister. H j a plusieurs cas à distinguer, suivant la forme qu'affectent T-f- 1 et le nombre premier plus petit que lui qui , comparé à T-f- 1 , contrarie le théorème. Désignons ce nombre par p*

Quand T+i et p sont de la forme /^n-\-i , le théorème fondamental pourrait être faux de deux manières, savoir, si l'on avait à-la- fois, ou d=;^i?(T+i) et ±(r4-i)iV;?, o}izt:pN{T-\-i) et =t:(r+i)Z?/7.

Quand T+i et p sont de la forme 4^-f-5, le théorème fondamental est faux, si l'on a en même temps ou pR(T-j-i) et — ÇT-i-i)Np , (ou, ce qui revient au même, — p]\(T-{~i) et 4(r+i)/?/?, ouH-;?A'(^+0 et — (r-f-i)/?;^, ou^-pRiT+i)

et^(T-{-i)Np.

Quand T-j-j est de la forme 4^ + i f et ;y de la forme 4^+S, le théorème fondamental est faux, si l'on a à-la-fois ou r±:yyi?(T'-f-i) ei^(r-^i)Np) ou--(7H-i)i?/? ou ^b;?A(r+i) et— (7H-i)^>. ou -f-(J'-|-i )/?/;.

Quand T+i est de la forme 4^-^-5, et p de la forme 4«-ri^ le théorème fondamental est faux, si l'on a ou pR{T-\-i) , ou— yt7iV(r-f-i) el'd=.{T-i-i)Np; on -{-pN{T-\-i) , on—pR{T-\-i) et àz(T'^i)Rp,

Si l'on peut démontrer qu'aucun de ces cas n'a lieu, il sera, certain que la vérité du théorème fondamental n'est limitée par aucun -terme. Entreprenons donc cette tâche*, mais comme plusieurs de ces cas dépendent des autres , nous ne pourrons conserver l'ordre dans lequel nous les avons présentés.