Premier cas. Quand T+i est de la forme 4^i-i-i(=a

ARITHMÉTIQUE S. loS

et p de la même forme , et que Von a dzpRa ^. on ne peut pas avoir -baNp. C'est le premier cas du n° i5i.

Soit -\'p^e'' (m.Q>à , a) et e pair et <^ay ce qui est toujours possible. Il j a deux cas à distinguer :

1°. Quand e n'est pas divisible par ;!?. Soit e'^-=p~\-af, f içva. positif et de la forme /\tî-\-o, (on de la forme B) ^ <Ca et non divisible par p. On aura donc e''^p(mo(\.f), c'est-à-dire, pBf, d'où, par la proposition ii du n° i52, dzifBp; (car les propositions ont lieu pour les nombres p etf<Ca)y mais on a aussi afBp, donc -àzaBp (n° g8).

2°. Quand e est divisible par p» Soit e=gp et e''z=:p-\-ap]i , on pg'':=i -{-ah. Alors h sera de la forme 4/^ + 5 (c'est-à-dire B) , et premier avec p et g. Or on aura pg^'Bh , donc aussi /?i?/z, donc (proposition 1 1 , n° 102) :±i]iBp\ mais on a aussi — aliBp , à cause de — aJi^ i (mod. p) , donc aussi ^laBp,

i38. Second cas. Quand T-^-i est de la forme 4n+i(=a)> p de la forme 4»+ 5, et quezi=:^'R(Ji-\-\) , oti jie peut pas apoir H-(T-|-i)N"p, ou — (T-j-i)Rp. C'est le cinquième cas du n° i3i.

Soit, comme ci-dessus, e'^-=p-\-fa, e pair et <^a\

1°. Quand e n'est pas divisible par p , f ne le sera pas non plus; d'ailleurs y sera positif, de la forme /\n-\-i (ou A) et <<z; or on a -{-pBf, et partant -\-fBp (prop. 10, n° 102); mais on a aussi +/iz/?/?, donc aBp , ou — a'Np,

2°. Quand e est divisible par p. Soit e=Lpg et fz=ph , on aura ainsi g" p :=z i -\- ah\ alors h sera positif, de la forme 4'z-f-3(=i5) et premier k p et h. g\ Or -{-g'^pBh, et parconséquent ;p/?/z ; donc (prop. i3, n° i32) — JiBp; maison a — aliBpy d'où il résulte aBp et — aNp,

iSq. Troisième cas. Quand T-^-^ est de la forme i\\\-\-\{=:=.2Î)i p rt'e Ai même forme f et que ±pNa , on ne peut pas û^^c^/r ±aRp. C'est le deuxième cas du n" i5i.

Soit pris un nombre premier moindre que^, dont -f-^ ne soit pas résidu (i25 — 129)-, il faut considérer séparément deux cas, suivant que ce nombre premier sera de la forme 4'^+^ ou4«4-5i

,o4 HECHERCHES

car il n'a pas été démontré qu'il en existe de tels sous Tune ou l'autre forme.

I. Soit ce nombre premier de la forme 4'^4"i et =.r2', alors ou aura ztia'Na ( n° iS?) , d'où d=:apRa. Soit donc e^^ap (mod. a). Tl y aura encore quatre cas à distinguer :

1°. Quand e n'est pas divisible ni par ;; , ni par a . Soit e^-=^a' pdtiaf , eu prenant les sie;nes de telle manière que/soit positif. Alors on auray<« premier avec a at p : pour le signe supérieur, il sera de la forme /^7i-\-'^ ; pour le signe inférieur, delà forme /^n-{-i. Désignons, pour abréger, par [-2:, j] le nombre de facteurs premiers de j, dont x est non -résidu; comme on a évidemment apRf, il s'ensuit \ci p , f~\-=o -^ donc [ /", dp'] sera un nombre pair (prop, i, 3 , n° i35), c'est-à-dire ou =0, ou z=:^2', doncy sera résidu des deux nombres a' et p, ou ne le sera d'aucun des deux; mais la première supposition est inadmissible , puisque dzafest résidu de a" et que zfc aNd (hyp.), d'où il résulte ztzfNci. Donc / est non-résidu des deux nombres a' et p-, mais puisque ziza/'Bp, on aura :±zaNp.

2°. Quand e est divisible par p et non par a. Soit e=gp et g^pz=:d'àzah, le signe étant pris de manière à ce que h soit positif. On aura h<ia et premier avec a, g et p , pour le signe supérieui: delà forme 4.71 -\- 5 , et pour le signe inférieur de la forme 4-^+1. En multipliant tantôt par p et tantôt par d l'équation gy;=ddtzah, on en tire sans peine

pdRh ... (et) , ± ahpRd ...(/?), ndJiRp ...(>).

De (a) il suit que \^pd^ /2]=o, et partant (P^'op* ^ ^^3, n° i33) IJiypd] pair, c'est-à-dire que h sera résidu ou non-résidu de/? et de d. Dans le dernier cas, il suit de (/S) que dzapNd et comme par lijpothèse dszaNd , on aura dszipRd \ donc, par le théorème fondamental qui a lieu pour les nombres p et d moindres que T+i, àzdRp. De là et de ce que JiNp entire, au mojea de (>), zkzaNp. Dans le premier cas, de (/i) on tire zhapRd , d'où zhpNdy ztdNp; de là enfin et de hRp on déduit, au mojen de y, draNp»

5\ Quand e est divisible par d et non par p , la démonstration

ARITHMÉTIQUES, ,o5

«ion procède presque de la même manière que dans l'hypothèse précédente, et ne pourra pas arrêter celui qui l'a bien concne J Quand . sera divisible à-la-fois par a' et par ;, , il le sera aussi pai le produit ap; (en effet nous supposons les nombres a' et ;, inégaur, sans cela l'hypothèse aNa' contiendrait la relation «A>, qu'il s agit de démontrer). Soit e=ga'p et g'a'p=r±ah, h sera <« e premier avec^ et a'; il sera pour le signe supérieur de la forme jn+Z, et pour le signe inférieur de la forme 4« + ,. Or on voit laciiemeat que de cette équation on peut déduire

a'pRh, ±ahpRa', ±aa'hRp, relations qui s'accordent avec celles trouvées (l'X Quant an reste, la démonstration est la même. ' ^