II. 6, IV. 2, IV.5, IV.4, Vni

Pour les cent quarante-cinq autres, il n'j a qu'une classe dans chaque genre.

Ce serait une question curieuse, et qui ne serait pas indi<^ne de la prétention des géomètres, que de chercher suivant quelle loi les déterminans qui ne donnent qu'une classe par genre deviennent de plus en plus rares. Jusqu'à présent nous ne pouvons décider par la théorie, ni tirer de l'observation des conjectures assez certaines pour affirmer si la série s'arrête toujours , ce qui paraît au reste peu probable, ou du moins si ces déterminans deviennent infiniment rares, ou si le nombre tend toujours et de plus en plus vers une certaine limite fixe. Les nombres m- yens de classes croissent dans un rapport qui n'est guère plus grand que celui des nombres moyens de genres, et bien plus lentement que les racines quarrées des déterminans: entre 800 et 1000, ou trouve 5,01. Qu'il nous soit permis d'ajouter une autre observation, qui rétablit en quelque sorte l'analogie entre les déterminans positifs et négatifs. Nous avons trouvé que si le nombre des classes pour un déterminant positif D n'était pas analogue au nombre des classes pour le déterminant négatif, la chose a lieu du moins pour le produit de ce nombre par le logarithme de i-T-u\/Di

^^6 HE CHER en ES ■

t et II désignant les plus petits nombres, excepté i et o, qui satisfont à l'équation V — Z?z/'=i, nous ne pouvons donner plus de détails sur la raison de cette analogie. La valeur moyenne de ce produit s'exprime assez exactement par la formule m\/D — /?; mais nous n'avons pas encore pu déterminer par la théorie les constantes m et n» S'il est permis de tirer une conclusion de la comparaison de quelques centaines de déterminans, m paraît peu différent de 2§.

Au reste, nous nous réservons de revenir dans une autre occasion sur les valeurs moyennes des quantités qui ne suivent pas une loi analytique , mais qui approchent continuellement et de plus en plus de la suivre. Nous passons maintenant à une autre recherche, par laquelle nous comparerons entre elles les différentes classes proprement primitives de même déterminant, et qui terminera cette longue Section.

5o5. Théorème. ¥. désignant la classe principale des formes de déterminant donné Y), C u?ie autre classe quelconque prisa dans le genre principal de même déterminant , C*, C^ C^, C% etc. les classes qui naissent de la duplication , de la triplication , etc. de la classe C (Voyez n° 249); en continuant assez loin la pro^ gression C, C% C% etc. , on parviendra enjin à une classe identique auec K; et si Von suppose que C" soit la première classe identique af^'ecK, et que le nombre de toutes les classes du genre principal soit n, on aura m=n, ou bien m sera une partie aliquote de m.

I. Comme toutes les classes K, C, C*, C^ y etc. appartiennent nécessairement au genre principal, les tz -|-i premières classes de cette série K, C y C% .... C" ne peuvent pas être différentes; ainsi

jï sera donc identique avec une des classes C , C*, C^ C", ou

deux d'entre elles seront identiques. Soit donc Oz=C' et r >• s, on aura aussi C^-' = C -', C-»=c;-S etc., et C^-^'=:^=;: C7, d'où C-'^K,

II. Il suit de là sur-le-champ que l'on a 772 = tz, ou ttz < /z; ainsi il ne reste plus qu'à faire voir que, dans le second cas, m. est une partie aliquote de tz. Comme les classes K , C, (7*. . .C"""', dont nous désignerons l'ensemble par (F), n'épuisent pas le genre

principal.

principal , soit C* une classe de ce genre qui ne soit pas contenue dans (r), et désignons par (f) l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la composition de C avec chacune des classes de (F). On voit facilement que toutes les classes de (Y') sont différentes tant entre elles que des classes contenues dans (F) , et qu'elles sont du genre principal ; desorte que si (T) et (f) épuisent ce genre , on aura n = 2m, sinon on aura :2m < n. Soit donc , dans le second cas, O" une classe du genre principal qui ne soit contenue ni dans (F) , ni dans (f) , et désignons par (f) l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la décomposition de C avec toutes les classes de (r)*, il est évident qu'elles diffèrent toutes entre elles et des classes contenues dans (F) et (F') , et qu'elles sont du genre principal; donc si (F), (F') , (F') épuisent ce genre, on aura zz = 5/«, sinon n > 5/7z. Dans ce dernier cas, en traitant de la même manière une classe C" qui ne soit contenue ni dans^ (F), ni dans (F'), ni dans (F"), il en résultera que l'on a n = /^m, ou 771 > /^77i , et ainsi de suite. Or comme 71 et tti sont des nombres finis , le genre pi'incipal s'épuisera enfin , et 71 sera un multiple de 771, ou 771 une partie aliquote de ti»

Soif, par exemple, Dz=i — Z56, C=(5, 2, 72) (*); on trouve C« = (2o,8,2i), C3=(4,i,89), Cfe(20,— 8,21), C7^=(5,— 2,72), C® = (i, o, 556). On a donc ici 7?i==.6, et pour ce déterminant 72= 12. En prenant C' = (S, 2,4^), les cinq autres classes de (F") sont: (9,--2, 40), (9, 2, 40), (8,-2, 45), (17, i, 21), (17,-1, 21).

3o6. On remarquera sur-le-champ l'analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des n°* 4^, 49; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec le sujet traité dans la Section III. Mais les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de poursuivre cette théorie qui est digne de grands développemens ; aussi nous n'ajouterons que quelques observations , et nous supprimerons les démonstrations qui exigeraient trop de détails, nous réservant encore de revenir sur ce sujet et de l'approfondir.

(*) Nous exprinîons toujours les classes par les formes les plus simples qu'elles renferment.

Bbb

ZjB RECHERCHES

1°. Silascrie K, C, C% C\..C'"-' est proloDgée au-delà de C"~*> les mêmes classes reparaissent de nouveau , desorte qu*oi;i a C'^zziiK, C'-+-' = C, C'"-^'=C% etc.; et généralement , si ron regarde K comme C% les classes C^ et O' seront identiques ou différentes^ suivant que ^ et ^ seront congrus ou incongrus suivant le module m. Ainsi Ja classe C" est toujours identique avec la classe principale K,

2". Nous appellerons périodes de la classe C l'ensemble K , Cf C% C^...C'"~', que nous avons désigné par (F); mais cette expression ne doit pas être confondue avec les /?mW^5 de formes réduites de déterminant positif non-quarré, dont nous avons parlé n'* 186 et suivans. Ainsi il est clair que de la composition de tant de classes qu'on voudra d'une même période, il résulte une classe contenue dans la période O, O', O", etc. = C^-^f'-^^"-^''^-

5°. Comme C.C'"~'=:K , les classes C et C'"~' seront opposées, et partant C et Cy~^, C^ et C'"~% etc. Ainsi, lorsque m est

pair , la classe C^ sera elle-même son opposée, et sera parconséquent ambiguë-, réciproquement, si, indépendamment de A^, il se trouve dans (F) une autre classe ambiguë C*", on aura 0= C"'~^, et partant g = m — g;=.\m. Il suit de là que si m est pair, il n'y a pas d'autre classe ambiguë que K et C^, et que si m est impair, il n'y en a pas d'autre que A".

4°. Si la période d'une classe C^ contenue dans (F) est K, es C^S C^\,.C^'^'-''^\ il est évident que m' h est le plus petit multiple de h qui soit divisible par m. Si donc m et h sont premiers entre eux , on aura m^=m' , et les deux périodes contiendront les mêmes classes, mais dans un ordre différent; mais généralement, fx, étant le plus grand commun diviseur des nombres m, h,

on aura vi ■=. — ', d'où il suit que le nombre de classes contenues

dans la période d'une classe quelconque prise dans (F) est m ou une partie aliquote de tw, et qu'il y a autant de classes de (F) dont les périodes soient composées de m termes, qu'il j a de nombres premiers avec ?7î dans la suite o, i, ii,....m — i , c'està-dire, qu'il y en a (pin, eu employant le signe du n° Sg. Généralement , il y aura autant de classes dans (F) dont les périodes

soient Composées de — termes,qu*ilyadanslasuiteo, i,!l,..m — 1

de nombres qui aient yu- pour plus grand commun diviseur avec îtj.

On voit facilement que le nombre en est (p—. Si donc 772 = 72,

c'est-à-dire, si (T) renferme tout le genre principal, il ja dans ce genre (pn classes dont les périodes renferment le genre entier, et (pe classes dont les périodes renferment un nombres de termes, e désignant un diviseur quelconque de 77. Cette conclusion a généralement lieu, quand il existe une classe du genre principal dont la période ait n termes,

5% Dans la même supposition, le système des classes du genre principal ne peut être disposé plus convenablement, qu'eu prenant, comme pour base, une classe dont la période ait 72 termes, et plaçant les classes du genre principal dans l'ordre qu'elles occupent dans cette période. Desorte que si l'on affecte la classe principale de l'indice o, la classe prise pour base aura l'indice i, et ainsi de suite. La seule addition des indices suffit pour trouver quelle classe naît de la composition de classes quelconques du genre principale

Voici un exemple pour le déterminant —356, où la classe (9, 3, 40) a été prise pour base :

o...(i, o, 356)13. ..( 8, —2, 45)16. ..( 4, o, 89)! 9. ..(8, 2, 45) i...(9, 2, 40) 4... (20, 8, 2i)*7...(i7, — I, 2i)jio...(5,-— 2, 72) 2. ..(5, 2, 72)15. ..(17, I, 2i)i8...(20, —8, 2i)|ii ...(9, —2, 40).

6% Quoique l'analogie avec la Section III, et l'induction qu'on peut tirer de plus de deux cents déterminans négatifs, et d'un bien plus grand nombre de déterminans positifs non-quarrés, semblent porter au plus haut degré de probabilité la vérité de cette supposition pour tous les déterminans, une pareille conclusion n'en serait pas moins fausse et démentie par la continuation de la table de classification. Nous nommerons, pour abréger , déterminans réguliers ceux pour lesquels une seule période peut renfermer tout le genre principal, et déterminans irrégulîers ceux qui ne jouissent pas de cette propriété (*). Un petit nombre d'ob-

' (*) Voyez les Additions de l'auteur.

38o RECHEHCHES

servatîoiis nous suffiront pour éclaircir ce sujet, qui Semble cependant dépendre des plus profonds mystères de l'Arithmétique transcendante, et donner lieu aux recherches les plus difficiles; nous commencerons par la suivante, qui est générale.

7'. Si dans le genre principal se trouvent deux classes C , C, dont les périodes sont composées de m, m' termes, et que ili" soit le plus petit nombre divisible par m et par 772' -, il y aura aussi dans le même genre une classe dont la période contiendra M termes: si l'on décompose Men deux facteurs r et r premiers entre eux dont l'un^ r, divise m, et dont l'autre, r', divise m' (i\° j'S),

la classe C~.C''^s=zC jouira dé la propriété précitée. En effet, supposons que la période de la classe C" soit composée de ^ termes, on aura

donc ê^ est divisible par m!, et parlant gr par r ou^ par /. On

prouve absolument de la même manière que^ est divisible par r, donc il l'est par r/= M; mais comme on a évidemment C"'^^z=. K , M est donc aussi divisible par g, et partant M=g. Il suit de là que le plus grand nombre de classes qui puissent être contenues dans une période pour un déterminant donné , est divisible par le nombre de classes de toute autre période d'une classe du même genre principal. On peut en même temps en déduire une méthode pour trouver la classe dont la période est la plus grande; c'est-à-dire, pour les déterminans réguliers , la classe dont la période renferme tout le genre principal; cette méthode est absolument semblable à celle des n^^ 7 5 et 74-, mais dans la pratique ou peut l'abréger par plusieurs artifices. Le quotient de la division du nombre n par le nombre de termes de la plus grande période,, quotient qui est i pour les déterminans réguliers, et plus grand que I pour les déterminans irréguliers, est d'après cela trèscommode pour exprimer les différentes espèces d'irrégularités, et par cette raison pourra être nommé exposant d'irrégularité.

8°. Jusqu'à présent il n'y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer à priori les déterminans réguliers des irréguliers.

ARITHMÉTIQUES. 58i

d'aufant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés j ainsi il suffira d'ajouter ici quelques observations particulières. Quand il j a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déterminant est sûrement irrégulier, et l'exposant d'irrégularité est pair. Mais quand il n'y a qu'une ou deux classes ambiguës, le déterminant est régulier, ou du moins l'exposant d'irrégularité est impair. Tous les déterrainans négatifs de la forme — (aiôA+ay) , le nombre — 27 excepté, sont irréguliers, et l'exposant d'irrégularité est divisible par 3. La même chose a lieu pour les détermiijans négatifs de la forme — (lOOO/^-l-yS) et — (ïoook-^-GjS), en exceptant le seul nombre — jS, et pour une infinité d'autres.

Si l'exposant d'irrégularité est un nombre premier p , tz est divisible par p^ ; desorte que si n n'est divisible par aucun nombre quarré , le déterminant sera nécessairement régulier.

Il n'y a que pour les déterminans positifs quarrés e^ que Ton puisse distinguer à priori , slls sont réguliers ou irréguliers. Le premier cas arrive quand ^ est i ou 2 , ou un nombre premier impair, ou une puissance d'un nombre premier impair j le second pour toute autre valeur de ^.

Pour les déterminans négatifs, les irréguliers deviennent d'autant plus fréquens , que les déterminans seront plus grands. Par exemple, dans le premier millier, on trouve i3 irréguliers qui sont, en omettant le signe,

576, 58o, 820, 884, goo, dont l'exposant d'irrégularité est 2. 243, 307, 339, 4^9^ 675, 755, 891, 974, dont l'exposant est 3.

Dans le second millier, on en trouve i3 dont l'exposant est 2, et i5 dont l'exposant est 3. Dans le dixième millier, 3i dont l'exposant est 2, et 32 dont l'exposant est 3. Nous ne pouvons encore décider s'il existe au-dessous de — loooo des déterminans dont l'exposant d'irrégularité soit plus grand que 3. Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours^ le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. La détermination de ce rapport serait digne de la sagacité des géomètres.

Parmi les déterminans positifs non quarrés, les irréguliers sont plus rares; il j en a une infinité pour lesquels l*exposant est 2 , par exemple 5o26 a 2 pour exposant d'irrégularité. Il semble aussi hors de doute qu'il existe des déterrainans dont l'exposant d'irrégularité soit impair, quoique nous sojons forcés d'avouer qu'il ne s'en est pas offert à nous jusqu'à présent.

9*. Nous ne pouvons, sans donner trop d'étendue à cet ouvrage, parler ici de la disposition la plus commode du système des classes contenues dans le genre principal pour un déterminant irrégulier*, nous observerons seulement que comme dans ce cas une base ne peut suffire , il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, par la multiplication et la composition , puissent produire toutes les classes. De là naîtront des indices doubles ou multiples qui auront presque le même usage que les indices simples pour les déterminans réguliers.

10°. Observons enfin que toutes les propriétés considérées dans ce n" et dans le précédent, dépendant principalement du nombre tz, qui a quelque analogie avec le nombre p — i de la section III , ce nombre mérite une grande attention ; il serait donc à désirer que l'on pût découvrir une relation générale entre n et le déterminant. Nous pensons que l'on doit d'autant moins désespérer d'y parvenir, que nous avons déjà réussi à soumettre à une formule analytique, du moins pour les déterminans négatifs (n" 3o2), la valeur moyenne du produit de n par le nombre de genres qui peut être assignée à priori. C").

Soy. Les recherches précédentes n'embrassent que les classes du genre principal , et suffisent parconséquent , tant pour les déterminans positifs qui ne donnent qu'un seul genre , que pour les déterminans qui ne donnent qu'un genre positif, si nous ne considérons pas le genre négatif. Il nous reste à ajouter quelque chose sur les autres genres proprement primitifs.

1°. Lorsque le genre G différant du genre principal G de même déterminant, renferme quelque classe ambiguë, il y en aura autant dans l'un et l'autre genre. Soient h, M , N, etc. les classes

(*) Voyez les Additions de l'auteur.

ARITHMETIQUES. 585

ambiguës de (7, parmi lesquelles se trouve la classe principale A", et L' , M' y N', etc. les classes ambiguës contenues dans G' -, et désignons l'ensemble des premières par A , l'ensemble des dernières par A, Comme toutes les classes L,L\ il/. 77, N' .V, etc. sont évidemment ambiguës, et du genre G' , elles feront nécessairement partie de A'; et partant, le nombre de classes contenues dans ^' n'est sûrement pas plus petit que celui des classes contenues dans A : d'ailleurs les classes L\U, M' .L' , N' .L', etc. étant ambiguës et du genre G , elles feront nécessairement partie de A, donc le nombre de classes contenues dans A n'est pas plus petit que le nombre de classes contenues dans A\ Donc les nombres de classes de A et de A' sont nécessairement égaux.

2". Comme le nombre de toutes les classes ambiguës est égal au nombre des genres (n^^ 261 et 287, 3^), il est évident ique si G ne contient qu'une classe ambiguë , chaque genre en contiendra nécessairement une et une seule -, si G contient deux classes ambiguës, la moitié de tous les genres en contiendra deux, et les autres n'en contiendront aucune j enfin, s'il j a dans G un nombre a de classes ambiguës (*), et que N soit le nombre total des genres, il y

N aura— genres qui contiendront a classes ambiguës, et les autres

n'en contiendront pas.

3°. Soient , pour le cas où G renferme deux classes ambiguës , G, G', G\ etc. les genres qui en contiennent deux) ^, H', H", etc. ceux qui n'en contiennent point; et désignons par jo- l'ensemble des premiers , et par h l'ensemble des derniers. Comme la composition de deux classes ambiguës donne toujours pour résultante une classe ambiguë (n° 249) , on verra sans peine que la composition de deux genres compris dans^- donne un genre compris dans^. Il suit de là que de la composition d'un genre de g avec un genre de h , il résulte un genre de h. En effet, si par exemple G' .H appartenait à g-. G', H. G' serait aussi compris dans ^j mais G'.G'=G, et il s'ensuivrait que ff serait compris dans g, contre l'hypothèse. Enfin on reconnaît facilement que les genres

G. H, G\H, G", H, etc. HH, H\H, ?r . H , etc.

(*) Cela ne peut arriver que pour les déterininans irréguliersj et a sera touiours une puissance de 2.

sont touâ difFérens entre eux , et que, pris ensemble, ils equivalent à^ et à h. Mais par ce qui vient d'être démontré, les genres G. H, G' .H 3 G" ,H y etc. appartiennent tous à ^, et partant, Tépuisent enlièreraent ; donc les genres II. H, H'. H, H". H, etc. appartiennent nécessairement kg, et partant, la composition de deux genres de h donne toujours un genre de g,

4". Si E est une classe du genre KdijŒerent du genre principal (7, il est clair que jE% E^ , £% etc. appartiennent toutes à G, tandis que -£% E^y E\ etc. appartiennent à V» Si donc la période de la classe £* est composée de m termes, il est évident que dans la suite Ey E* y E^ , etc. , la classe jE*"' sera indentique avec A, et qu'aucune ne pourra l'être avant elle, c'est-à-dire , que la période de la classe E sera composée de 2m termes j cloue le nombre de termes de la période d'une classe quelconque, d'un autre genre que le genre principal, sera 2ti ou une partie aliquote de 2n , n désignant le nombre de classes commun à tous les genres.

5°. Soit C une classe donnée du genre principal G, E une classe du genre P^ qui donne C par sa duplication (n° 286), et /v, K\ K", etc. , toutes les classes ambiguës proprement primitives de même déterminant j toutes les classes dont la duplication donne C seront: E(=^E.K), E.K' y E.K"y etc., dont nous exprimerons l'ensemble par 6t), et dont le nombre sera évidemment égal au nombre des classes ambigu'és , ou au nombre des genres. Il est manifeste que parmi les classes o^, il j en a autant qui appartiennent au genre J^, qu'il j a de classes ambiguës dans le genre G-, ainsi, désignant par a le nombre de ces dernières, il y a dans chaque genre a classes comprises dans cù', ou il n'j en a aucune. On déduit facilement de là, que si fz= i , chaque genre contient une des classes &) j si az=:2y la moitié des genres contiennent deux des classes &>, tandis que les autres n'en contiennent aucune , et même la première moitié coïncide avec ^ (v. 5°.), et la seconde avec /z, et réciproquement. Quand a est plus grand il y a toujours, en désignant

par TV le nombre de tous les genres , — genres qui contiennent des

classes &> , et chacune en contient a,

6°. Supposons maintenant que C soit une classe dont la période soit composée de n termes j on voit facilement que dans le cas ou

a •=.2. y et où partaofc , n est pair, aucune classe de <y ne peut appartenir à G ; car alors cette classe serait contenue dans la période de C7 ; et si on la représente par C% il s'ensuivrait C"' = C, et partant, 2r^ i (mod./z), ce qui est absurde. Ainsi, comme G appartient à g, toutes les classes œ seront nécessairement distribuées entre les genres /z. Puisque pour un déterminant régulier, G contient (pn classes dont les périodes sont de n termes , il suit de ce qui précède que pour le cas où a == 2 , il y a dans chaque genre h, 2(pîi classes dont la période contient 271 termes, et renferme parconséquent à-la-fois le genre de la classe et le genre principal. Mais quand a = i , il j aura <pn classes de cette espèce dans chaque genre différent du genre principal.

7°. Nous établissons sur ces observations la méthode suiranfe , pour former le sjstème de toutes les classes proprement primitives de déterminant régulier donné, car nous laissons absolument de côté les déterrainans irréguliers. On prendra à volonté une clasi^e E, dont la période contienne 271 termes, et parconséquent le genre de cette forme que nous nommerons J^, et le genre principal G , et l'on distribuera les classes de ces deux genres comme elles se présentent dans cette période. L'opération serait finie, quand il n'existera que ces deux genres, ou que l'on n'aura pas besoin de s'occuper des autres ( par exemple , pour un déterminant négatif qui ne donne que deux genres positifs ). Mais quand il j a quatre, ou un plus grand nombre de genres, on traitera les autres de la manière suivante. Soit V un des deux autres , et V y:^V' ■=. V", Il y aura dans V et V" deux classes ambiguës, une dans chacun, ou deux dans l'une et aucune dans l'autre. On en prendra une A à volonté , et l'on voit facilement que si l'on compose A. avec chacune des classes de G et de V , il en résultera 0.11 classes différentes qui appartiendront à V et V" , et épuiseront parconséquent ces deux genres , que l'on pourra disposer aussi de cette manière.

S'il y a plus de quatre genres, soit V un des autres, et V''' , V"' y V"" les genres qui résultent de la composition du genre V avec les genres V, V , V" \ les quatre genres V V^\ contiendront quatre classes ambiguës, et il est clair que si l'on prend

Cce

line d'elles, et qu'on la compose avec chaque classe des genres G, V, V y V\ on obtiendra toutes les classes des genres V . . . F".

S'il y a d'autres genres , on continuera de la même manière , jusqu'à ce qu'ils soient tous épuisés. On voit , que si le nombre de tous les genres est 2/^. , on aura besoin en tout de />t- — i classes ambiguës, et que toute classe de ces genres peut être produite ou par la multiplication de la classe TL y ou par la composition d'une classe résultante de cette première opération avec une ou plusieurs classes ambiguës.

Nous ajoutons deux exemples qui serviront d'éclaircissement à ce procédé, mais nous ne pouvons rien dire de plus sur l'usage de cette construction, ni sur les artifices au moyen desquels on peut diminue? le travail.