II. Mais quand a n'est pas =o, l'équation y*= o revient à

{ax'\' b''x'+ h'acy — A"oc^ -4- 2Bx'x"—' A'x"' == o , eu posant h'^-^aa =:A", ahz=.h'b"^B , b'*—aa"—A',

Or quand ^" = 0, et que l'on n'a pas Z^=o, il est évident que si ax-\-b''x'-\-b'x" et x" sont pris arbitrairement, x et x' obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas entières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n'y a que lorsque l'on prend ar''=o, que ax-{-b''x'-\-h'x" n'est plus arbitraire; il doit être aussi =0. La valeur de x' peut être prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour x. Quand on a à-la-fois A"z=.o, B = o, il est clair que dans le cas où ^' est un quarré h", réquationy^= o est decomposable en deux équations linéaires (dont l'une ou l'autre doit avoir lieu),

ax-^- b"x'+ (Z^'H- k)x"z=: o, ax + 3 V+ (^'— k)x"z= o ;

mais si, dans la même hypothèse. A' n'est pas un quarré, il est évident que la solution de l'équation proposée dépend des équations x''=:o, ax-\-b"x'z=.o f qui doivent avoir lieu en même temps.

Au reste, il est à peine nécessaire d'observer que la méthode du paragraphe I s'appliquerait de même quand «'=0, oua";=o, et celle du paragraphe II, quand ^'=0.

III. Mais quand on n'a ni fl=o, ni .^'=0, réquationy= o peut se mettre sous la forme

A\ix + b"x''\- b'x'Y — (yi V— . Bxy 4- Bax"' = o ,

en désignant par D le déterminant de la forme y, ou par Da le nombre B'-^A'A".

Quand D = o, la solution est semblable à celle de la fin du cas précédent, savoir, si A" est un quarré =k^, l'équation proposée se réduit aux deux

kax 4- i^b"— A"y+ {kb'-\- E)x" = o , kax H- {kTf-\- A")x'-^ (kb'—B)x"=: o -, mais si A" n'est pas un quarré , on doit avoir

ax + Z>V-|- b'x' = o , ^ V— Bx" = o.

Quand D n'est pas =o, on est ramené à l'équation

A^t"" — u'' -{- aDiJ'^ = o, dont la possibilité se reconnaît par le n' précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les valeurs tz=o, uz=.o, 1^ = 0 , la proposée n'admettra pas d'autre solution que x=:Of x'=:o, x''=:0', mais si elle est susceptible d'autres solutions, on déduira d'une quelconque d'entre elles, au moyen des équations

aaî + ^>V+^V=/, A'x — Bx"^=u, x''=:v ,

des valeurs au moins rationnelles de x, x', x'» Si ces valeurs renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entier^ à l'aide d'un multiplicateur convenable.

Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de l'équation y==o, on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l'a fait, toutes les solutions. Soient a, a, cl" les valeurs supposées de x, x', x" respectivement, délivrées de facteurs communs; on prendra (n^* 4^, 279) les nombres entiers /3, /S', jô", y, y y y" tels qu'on ait

ct(/3V-/5V) -f-^'C^V-ZS/) +a''(/3>'--/3» = I ;

la forme y se changera, par la substitution

en la forme

^ == cj* 4- c'/^ + c"/^ + 2 d/y"-^ 2rfxr''+ 2dyy,

On aura évidemment c = o, et ^ équivalente à/; d'où il suit que des solutions de l'équation ^ = 0 on déduira, à l'aide delà

ARITHMETIQUES. 56;

substitution (S), toutes les solutions de l'ëquation/=:0 en nombres entiers. Or nous avons vu (I) que toutes les solutions de l'équation g=-o sont contenues sous les formules

r=:—z(cy-^2dpq^cY), y=i2z{d'p'-\-dpq), y''^2z{d"pq^d'q^),

p et q étant des nombres entiers indéterminés , et ;2 un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire , pourvu que y , y', y' restent entiers. En substituant ces valeurs dans C*^)^ o^ Sluï». toutes les solutions de l'équation y=o en nombres entiers.

Ainsi, par exemple, si f:=:x'''\'3if*-\-x"^'^/^x'x^'{'!îxx''\-^xx', et que l'on ait la solution a; = i, x'z=: — 2, x"z=\ , en faisant /3, /S', jS", ;., y, y" = o, I, o, o, o, I, il en résulte... g=:y'''-{-y''^ — 4jy4-i2yj''. Toutes les solutions de l'équation ^ = 0 en nombres entiers seront renfermées dans les formules

y =—z{p''—/ipq + q')> y=:zi2zpq, f=^i2zq\

et partant toutes celles de l'équation y=o, dans les suivantes :

x=:—z{p'—/^pq-\-q''),x'=:z2z{p^'\':ipq+q'),x":=:-z{p'—Apq-{'^^9% 3oo. Le problème du n° précédent conduit naturellement à la solution de l'équation

ax'^ -{- ^iocy -j- cy^ + 2dx + 2ey -4-/^= ^t

lorsque l'on ne demande que des nombres rationnels (Nous l'avons résolue plus haut (n*'* 216 et suiv.) dans le cas où l'on demande des entiers )j car toutes les valeurs rationnelles de x et y

pourront être représentées par -, -, de manière que /, u et tJ

soient des entiers *, d'où il suit que la résolution de cette équation en nombres rationnels, revient à celle de l'équation

ai^ -f- 2btu + eu"" -|- 2dtp -\- ^euif -{-fo" = o

en nombres entiers; mais cette dernière coïncide avec l'équation traitée au n° précédent. On doit seulement exclure les solutions dans lesquelles p'==o ; mais il ne peut y en avoir de telles quand Z>* — ac n'est pas un quarré.

Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels de l'équation

X' + 8xy + j* -f 2j: — 47 -I- I = o ,

Z6d RECHERCHES

que nous avons dëjà résolue en nombres entiers (n° 221), sefrouveufc comprises dans les formules

p' — 4pq-\-^^q"* p^—4pq-h iiq^*

p et ç étant des nombres entiers quelconques.

Au reste , nous n'avons parlé qu'en peu de mots de ces deux problèmes qui sont étroitement liés entre eux , et nous avons supprimé beaucoup d'observations qui y sont relatives , tant pour éviter la prolixité , que parceque nous avons une autre solution du problème du n° précédent, appujée sur des principes plus généraux, et dont nous devons réserver l'exposition pour une autre occasion, attendu qu'elle exige l'examen le plus approfondi des formes ternaires,

5oi. Revenons aux formes binaires dont nous avons encore à examiner plusieurs propriétés remarquables; et d'abord , ajoutons quelque chose sur le nombre de genres et de classes de l'ordre proprement primitif (positif quand le déterminant est négatif) , auquel nous sommes forcés, pour abréger, de borner nos recherches.

Le Jiombre de genres en lesquels se distribuent toutes les formes proprement primitives positives de déterminant positif ou négatif Tt: D f est toujours une puissance de 2, dont l'exposant dépend du nombre de facteurs de />, et que l'on peut entièrement déterminer par les recherches précédentes. Or comme dans la suite des nombres naturels, les nombres premiers sont mêlés avec d'autres plus ou moins composés , il arrive que pour plusieurs déterminans successifs rfcZ),~b(Z)-f-i)>— (-'^ + 2), le nombre des genres tantôt augmente et tantôt diminue , et il semble qu'il a'y ait aucun ordre dans cette suite de nombres. Néanmoins, si l'on ajoute les nombres de genres correspondans à plusieurs déterminans successifs d=Z?, d= (D-f-i), ±. . .etc. (i^ + w), etquel'on divise la somme par le nombre des déterminans, il en résulte un nombre moyen de genres qui pourra être censé appartenir au déterminant

moyeu ± TZ) -| \ et établit une progression très-régulière. Nous

supposons, non-seulement que m est un nombre assez grand, mais encore que Z) est beaucoup plus grand, de manière que le rapport

des

des déterminans extrêmes D et D'\-m y ne diffère pas trop de l'égalité. La régularité de cette progression doit s'entendre ainsi : si Z/'est un nombre beaucoup plus grand que D , le nombre moyen de genres pour le déterminant db Z)" sera sensiblement plus grand que pour D ; mais si D et D' ne diffèrent pas beaucoup , les nombres moyens de genres sont presqu'égaux. Au reste, le nombre moyen de genres pour le déterminant positif -f-Z?, se trouve presque toujours égal au nombre moyen de genres pour le déterminant négatif, et cela d'autant plus exactement, que D est plus grand-, tandis que pour de petits nombres , le premier se trouve un peu plus grand que le second. Ces observations s'éclairciront davantage par les exemples suivans, tirés d'une table de classification de formes binaires , qui contient plus de 4^00 déterminans. Parmi les cent déterminans compris de 801 à goo , on en trouve 7 auxquels ne correspond qu'un genre, 52, 52, 8, i auxquels correspondent respectivement 2,4» ^> i^ genres. Il en résulte en tout 359 genres, et partant, pour le nombre moyen 3,5g. Les cent déterminans négatifs depuis — 801 jusqu'à — 900, produisent 36o genres. Les exemples suivans sont tous pris des déterminans négatifs. Dans la seizième centaine, c'est-à-dire, depuis — i5oi jusqu'à 1600, le nombre moyeu de genres est 3,89- dans la vingtcinquième, il est 4>o3- les six cents déterminans compris de — 9401 à — loooo donnent 4^^9« Ces exemples font voir que les nombres moyens de genres croîtraient bien plus lentement que les déterminans -, mais il s'agirait maintenant de savoir quelle est la loi de cette progression.

Une recherche fondée sur une théorie assez difficile , et qu'il serait trop long d'exposer ici, nous a fait trouver que le nombre moyen des genres, pour le déterminant + £) ou — D , était exprimé d'une manière extrêmement approchée par la formule : alogZ)-|-jô, où a et /3 sont des quantités constantes , et telles qu'on a, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est i ,

et =^ = 0,4052847346,

jS = 2ot^ -I- 3aVi — } fit log. 2 =: o,883o46o462 , 0 étant la somme de la série

i-log.Ci-l-O-f-^ — log.(i+i) + i-log.(i+i) + e(c.' = 0^5772156649, {Euler, Calc, diff, p. 444) >

et h la somme de la série j^ ^ . \ log. 2 + i log. 5 + -IT log. 4 + etc. = 0,9575482543.

Cette formule fait voir que les nombres moyens des genres croissent en progression arithmétique , si les déterminans croissent en progression géométrique. Elle donne pour les déterminans

85o|-, i55oi-, 2450 |j 5o5oi; 91^^ \ y les valeurs

respectivement, qui ne diffèrent presque pas des nombres mojens donnés plus liaut. Plus le déterminant mojen sera grand , et plus on prendra de déterminans pour calculer le nombre moyen de genres , moins ce dernier différera de la valeur de la formule. A l'aide de cette formule, on peut trouver avec beaucoup de précision la somme des nombres de genres qui répondent aux déterminans successifs rb Z>, ri= (Z) -f-i ) , d=(Z)-|-2 ), etc. ± (D-^m), en ajoutant ensemble les nombres moyens de genres qui correspondent à ces différens déterminans, quelque différence qu'il y ait entre les extrêmes D et D -\- m. Cette somme sera

ct{log.Z?4-log.(i5-|-0-l-log. (£) + 2)-|-etc.H-log.(Z)-f-m)}

ou assez exactement

a((Z)+77ï)log.(D + 7w) — (i5— i)Iog.(Z)— i)} + (/?z + i)(/3— a).

De cette manière , on trouve que le nombre des genres depuis le déterminant — i , jusqu'au déterminant — 100, est = 254,4^ tandis qu'il est en effet 235. De même , depuis — i jusqu'à — 2000, on trouve 7116,6 genres, tandis qu'il y en a en effet 7112-, de 9001 à 10000, on trouve 4594>9> et il y en a 4%^; approximation plus grande qu'on ne pouvait l'espérer.

5o2. A l'égard du nombre de classes (proprement primitives positives, comme on doit toujours le sous-entendre ), les déterminans positifs et les déterminans négatifs se comportent d'une

ARITHMÉTIQUES. Syr

manière bien différente j aussi nous les considérerons séparément: ils s'accordent cependant tons en cela que, pour un déterminant donné, chaque genre contient le même nombre de classes, et que parlant, le nombre de toutes les classes est égal au produit du nombre de genres par le nombre de classes contenues dans chaque genre.

Considérons d'abord les déterminans négatifs ; les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs , — D ^ — (Z>-|-i), — (Z) + 2)...., etc. forment une progression aussi irrégulière que celle des genres. Mais les nombres moyens de classes croissent très-régulièrement, comme on le verra par les exemples suivans. Les cent déterminansdepuis — 5oo, jusqu'à — 600, donnent 1729 classes; donc le nombre mojen est 17,29. De même, dans la quinzième centaine , le nombre moyen de classes se trouve être 28, 26. De la vingt-quatrième et de la vingt-cinquième centaines on tire 36 , 2.^-^ des soixante-unième , soixante-deuxième et soixante-troisième, il résulte 58,5o; de la quatre-vingt-onzième à la quatre-vingt-quinzième, c'est-à-dire de 9001 à gSoo, on trouve 71,56, et de la quatre-vingt-seizième à la centième, 75,54. Ces exemples montrent que si les nombres mojens et classes croissent beaucoup plus lentement que les déterminans , ils croissent beaucoup plus rapidement que les nombres moyens de genres ; avec une légère attention, on apperçoit qu'ils croissent à peu-près comme les racines quarrées des déterminans mojens. Et en ejffet, par une recherche fondée sur la théorie , nous avons trouvé que le nombre moyen de classes pour le déterminant — D ^ était exprimé d'une manière très-approchée par y\/ D — /S j ou l'on a

> = 0,7467183115 = ^, et Ô= I +1 + ^7 + 6^ H- 7^5 + etc.,

les nombres moyens calculés d'après cette formule , diffèrent peu de ceux que nous avons extraits plus haut de la table de classification. A l'aide de cette formule , on peut aussi assigner assez exactement la somme de tous les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs

î^3 RECHERCHES

quelque différence qu'il y ait entre les extrêmes ," en ajoutant les nombres moyens qui , d'après la formule , appartiennent à ces déterminans. On trouve pour cette somme

y{y/D'\' \/{D-{- I ) 4- etc. 4- /(/> + /«— 0} + ^'«•

ou f > ((i^+77^-î)'- (^-Tn+ ^'^

à très-peu-près. Ainsi, par exemple^ pour les cent déterminans compris de — I à — 100, la formule donne 4^i,i, tandis que le

nombre exact est 477? l^s mille déterminans — i — looo

donnent, d'après la table, i5555 classes, et par la formule, i555i,4; le second mille donne, d'après la table, 286o5 , et par la formule, 28585,7*, de même le troisième mille donne effectivement 37092, et par la formule, 37074,3^ enfin pour le dixième mille la table donne 72549, et la formule, 72572,

3o3. La table des déterminans négatifs, disposée d'après la diversité des classifications, fournit plusieurs autres observations remarquables. Pour les déterminans de la forme — (872 -|- 3), le nombre des classes contenues, tant dans chaque genre proprement ' primitif que dans l'ensemble de tous ces genres, est toujours divisible par 3, le seul déterminant — 3 excepté, ainsi qu'on peut le conclure du n° 256, VI. Quant aux déterminans pour lesquels les formes ne composent qu'un seul genre , le nombre de classes est toujours impair; en elfet, comme pour un pareil déterminant il n'j a jamais qu'une classe ambiguë, qui est la classe principale, le nombre des autres classes qui seront opposées deux à deux sera nécessairement pair, et partant le nombre de toutes les classes sera impair. — Or la série des déterminans auxquels répond une même classification donnée, c'est-à-dire, un nombre donné de genres et de classes, paraît toujours finie; nous allons faire appercevoir cette observation surprenante , dans quelques exemples. Dans la table suivante, le premier nombre, en chiffres romains, indique le nombre de genres proprement primitifs positifs-, le second, le nombre de classes contenues dans chaque genre; toutes les autres forment la série des déterminans auxquels cette classification appartient.

ARITHMÉTIQUES. Zfj

1 3... II, ig, 25, 27, Zi, 45, 67, i65j

1 5... 47, 79, io5, 127',

II I . . .5, 6, 8, g, 10, 12, i3, i5, i6, 18, 22, 25, 28, 37, 58;

Il 2...14, 17* 20; 32, 34, 36, 59, 4^> 49> 52,55,63,64,'

73, 82, 97, 100, 142, 148, 195; IV I . . .21, 24, 3o, 33, 40, ^1, 45^ 4S> ^7, 60, 70, 72, 78, 85,

88, 93, 102, 112, i3o, i35, 177, 190, 252, 255; VIII. . .1 . . .io5, 120, i65, 168, 210, 240, 275, 280, 5i2, 53o,

345, 357, 585, 4o5, 462, 520^ 760; XVI... i... 840, i320, i365, 1848.

On trouve de même vingt déterminans, dont le plus grand est — 1425, auxquels répond la classification I.g; quatre, dont le plus grand est — i3o5, auxquels répond la classification 1. 11, etc. Les classifications II. 5, II. 4> II. 5, IV. 2, ne répondent pas à plus de 4^^ 52, 42, ^^ déterminaus , dont les plus grands sont respectivement — 652, — 862, — i3i8, — 1012. Comme la table dans laquelle nous avons pris ces exemples a été prolongée bien an-delà des déterminans qui paraissent ici (^) , et qu'elle ne fournit aucun autre déterminant qui appartienne à ces classifications, il paraît hors de doute que les séries précédentes sont finies, et l'on peut, par analogie, éieadre la même conclusion h: toute autre classification. Par exemple, comme dans tout le dixième millier de délerminans, il ne s'en rencontre aucun qui réponde à moins de vingt-quatre classes, il est extrêmement vraisemblable que les classifications

1.23, I.2I, etc.; II. II, II. 10, etc.; IV. 5, IV. 4, IV. 5, etc.; VIII. 2, etc.

s'étaient arrêtées avant — 9000, ou qu'elles n'ont lieu que pour peu de déterminans plus grands que — 10000; mais il paraît très-difficile de donner de ces observations des démonstrations rigoureuses.

(*) Pendant que cet ouvrage s'imprime , nous l'avons poussée sans interruption iu?qu'à — 3ooo ; nous y avons ajouté le dixième millier tout entier, plusieurs centaines éparses et un grand nombre de déteniiinans isolés choisis avec îoiii.

Il est encore à remarquer que tous les détermînans dont les formes peuvent se distribuer en trente-deux genres au plus, ont au moins deux classes dans chaque genre, desorte que les classificalions XXXII. i, LXIV.i, etc. n'existent point. Le plus petit déterminant de cette espèce est — 9240, et la classification qui lui répond est XXXII. 2 j et il est assez probable que, le nombre des genres augmentant continuellement , le nombre des classifications qui disparaissent augmente aussi. A cet égard, les soixante-cinq déterminans inscrits plus haut, auxquels répondent les classifications : I.i, ÏI.i, IV. i, VIII. i, XVI.i, mériîent d'être distingués,- et il est facile de voir qu'ils jouissent tous et seuls de deux propriétés remarquables j la première consiste en ce que les classes suivant lesquelles se distribuent leurs formes sont toutes ambigu'és ; la seconde, en ce que deux formes quelconques» contenues dans le même genre sont équivalentes, tant proprement qu'improprement. Au reste, ces mêmes soixante-cinq nombres ont déjà été présentés par Euler (^Noup, Mém» de lAc, de Berlin, 1776, p. 558), sous un aspect un peu différent, dont nous parlerons plus bas, et avec une propriété facile à démontrer.

5o4. Le nombre des classes proprement primitives que fournissent les formes binaires de déterminant quarré )l^ , peut être assigné à priori; il j a autant de ces classes que de nombres premiers avec lk et plus petits que lui. De là, à l'aide de raisonnemens qui n'ont aucune difficulté, mais que nous supprimons, on trouve que le nombre moyen des classes qui appartiennent à des déterminans quarrés voisins de le est exprimé d'une manière

très-approchée par — .

Quant aux déterminans positifs non-quarrés, ils présentent à cet égard des propriétés tout- à-fait singulières. Pour lés déterminans négatifs ou quarrés , les petits nombres de classes , par exemple les classifications I.i, ou 1.5, ou II. i , n'ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s'arrête bientôt; pour les déterminans positifs non-quarrés au contraire, pourvu qu'ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des classifications où il n'j a qu'une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications : 1.5, 1.5,11.2, IÏ.5, IV. 2, etc.

AHITHMÉTIQUES. SyS

sont frès-rares. Ainsi, par exemple, parnji lesqiiatre-vîngt-dix dëterrainans non-qiiarrés qui sont au-dessous de loo, on en trouve tiM3is II, 48, 27 auxquels répondent les classifications 1. 1, II. 1, IV. i, respectivement; et il j en a un, Sy,, auquel répond 1.5; deux, 54 et 82, auxquels répond II. 2, et un, 79, auquel répond II. 5. Cependant, à niesure que les détermiuans augmentent, les nombres de classes plus élevés se multiplient peu-à-peu. Par exemple , parmi les quatre-vingt-seize déterminans non-quarrés qui sont compris entre 100 et 200, il j en a deux, loi et 197, auxquels répond 1.5; quatre, i45, 14^^ 178, 194^ auxquels répond II. 2; trois, i4i, 14^^ ^^9 > auxquels répond II. 5. Parmi les cent quatre-vingt-dix-sept déterminans non-quarrés compris depuis 801 jusqu'à 1000, il j en a

auxquels répondent respectivement les classifications