SECTION SIXIEME

Applications des différentes Ke cherches précédentes.

3o8. iNous avons déjà indiqué en difFérens endroits combien l'arithmétique transcendante peut être utile dans les autres parties des mathématiques. Mais nous ne crojons pas inutile de traiter à part quelques applications qui méritent d'être exposées avec plus de détail, non dans la vue d'épuiser ce sujet, qui suffirait pour remplir plusieurs volumes, mais pour l'éclaircir par quelques exemples.

Dans cette Section , nous parlerons d'abord de la décomposition des fractions en fractions plus simples *, ensuite, de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales; nous exposerons une nouvelle méthode d'exclusion , qui sert à la résolution des équations indéterminées du second degré-, enfin, nous donnerons de nouvelles méthodes abrégées, pour distinguer les nombres premiers des nombres composés, et trouver les facteurs de ces derniers.

Dans la Section suivante , nous établirons la théorie générale d'une espèce particulière de fonctions, qui s'étend très-loin dans toute l'analjse, et qui est intimement liée à l'arithmétique transcendante ; nous nous attacherons surtout à agrandir la théorie des sections du cercle , dont jusqu'à présent on n'a connu que les premiers élémens.

Sog. Problème. Décomposer la fraction —, dont le dénominateur n est le produit de deux nombres a. et h premiers entre eux , en deux autres dont les dénominateurs soient a et b.

Soient -, "a les fractions cherchées; on doit avoir bx'{'ayz=:zm-j donc X sera racine de la congruence bx^m (mod, ût), et par-

conséquent peut se trouver par la Section II : on aura d'ailleurs

Au reste, on sait que la congruence hx^m a une infuiitéde racines, mais toutes congrues suivant a, et il peut arriver que y acquière une valeur négative. Il est à peine nécessaire de dire que l'on peut aussi trouver y par la congruence ay^m (mod, h),

et X par l'equation :r= — r-^.

Par exemple, étant proposée la fraction f|, 4 sera valeur de l'expression ff (mod.y)^ donc f| se décompose en 7+-rr.

: 3io. Si l'on propose une fraction — dont le dénominateur /z

soît le produit de tant de facteurs a, h , c , d, etc. qu'on voudra, qui soient premiers entre eux, on pourra, par le n° précédent, la décomposer d'abord en deux fractions dont les dénominat^eurs soient a et bed, etc., ensuite la dernière en deux dont les dénominateurs soient b et cd, etc., et ainsi de suite, desorte que la fraction proposée sera mise sous la forme

-Il est évident que l'on pourra toujours prendre les numérateurs -'^y (^3 y> '^i etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs respectifs, excepté le dernier, qui n'est plus arbitraire, lorsque les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus grand que son dénominateur (si du moins nous ne supposons pas ui </?). Alors, le plus souvent, il sera avantageux de mettre la dernière

fraction sous la forme --j-^> de manière que ê soit positif et

moindre que ^, et que k soit un entier.

Exemple, La fraction ffi* ^ont le dénominateur =4.3.7. 11, se décompose de cette manière en | + ^^j -^ir en f — f| j — ^ en- — 77 j donc mettant ^j — 1 pour — tt^ i^ vient enfin

3ii, La fraction— ne peut se mettre que d'une seule manière

SOUS la forme - + ^H- etc.q::^, de manière que a, /S, etc. soient

positifs et moindres que a, b, etc., c'est-à-dire que si l'on supposait

™= Ï4. ^+ 2: + etc. =F A =:^ + f + 2: + etc. =F A',

n abc ' a o ' c "^ '

on aurait nécessairement eL=:a,'f /3=:/3', etc. kz=zk', tant que a', /S', ;^/, etc. seront positifs et plus petits que a, b, c, etc. En effet, en multipliant par nz=.abcd, etc., on a ttz ^ a^c^/, etc. , ^%'bcd, etc. (mod.^), et coravciQ bed, etc. est premier avec â! , il s'ensuit nécessairement cL^^^ct!, et partant <:l-:=.o1\ de même (i=z(i', etc., et parconséquent kz=:k\ Or comme il est absolument arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent être cherchés comme à dans le n" précédent, par exemple, /3 par la congruence l^acd, etc. ^ m (mod. Z>), y par la congruence yabd, etc, ^m (mod.c), etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre entier = A, ce qui nous donne un raojen de confirmer le calcul.

Ainsi dans l'exemple du n" précédent , les valeurs des expressions

i|i(raod.4), flK«iod.3), -HKi^od.y), ^/ (mod. 11),

donnent les numérateurs i, 2, i, 4> 9"i répondent aux dénominateurs 4> ^> 1 y ïï * ^t l'on trouve que la somme de ces fractions surpasse d'une unité la fraction proposée.

3i2. Définition. Si l'on convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales (*) (en excluant la partie entière, s'il y en a), soit finie, soit infinie, s'appellera mantisse de la fraction , en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n'était jusqu'à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction \ est 125, la mantisse de la fraction f| ^st 1875, celle de la fraction fj est o54o54 à l'infini.

Il suit de là sur-le-champ , que deux fractions -, — de même

(*) Pour abréger , nous ne nous arrêtons qu'au système décimal vulgaire ^ quoique nos recherches pussent s'étendre à un système quelconque.

ARITHMÉTIQUES. Sgf

dénominateur ont des mantisses égales ou différentes^ suivant que les numéi-ateurs /, m sont congrus ou incongrus suivant n. Une mantisse finie ne change pas lorsqu'on ajoute plusieurs zéros à

sa droite. La mantisse de la fraction s'obtient en retranchant

la première figure de la mantisse de la firaction —, et générale-

ment, la mantisse de la fraction se trouve en retranchant

les V premières figures de la mantisse de la fraction —, La mantisse de la fraction - commence par un chiffre significatif, si

n<C lo ou = lo; mais si ?2>> lo, et que le nombre de ses chiffres soit k, les k — I premières figures de la mantisse seront des zéros ,

et la k'"" un chiffre significatif. Il suit de là que si - et — ont

des mantisses différentes, c'est-à-dire, si / et m sont incongrus suivant 72, ces mantisses ne peuvent avoir les â: premiers chiffres égaux, et qu'elles diffèrent au moins dans le k'""\

3i5. Problème. Etant donné le dénominateur d'une fraction —, et les \ premières figures de sa mantisse, trouver le

numérateur m , que nous supposons plus petit que n.

Considérons ces k figures comme un nombre entier j multiplions-le par n et divisons le produit par lo*, en en retranchant les k premières figures*, si le quotient est entier, c'est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le numérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l'entier immédiatement phis grand , ou ce quotient augmenté de l'unité, lorsqu'on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du n'' précédent, qu'il n'y a pas besoin de plus grands développemens.

Exemple, Si l'on sait que 69 sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est 25 , on a le produit 23.69= 1587-, retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l'unité, on trouve 16 pour le numérateur cherché.

3 14. Cousidérons d'abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers j

393 RECHEBCHES

nous ferons voir ensuite comment on pent y ramener les autres. Nous commencerons par observer que la mantisse d'une telle fraction -, dans laquelle nous supposons que le numérateur a ne

soit pas divisible par le nombre premier p, est toujours finie lorsque p=ziy ou =5, et qu'elle est composée de fx chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre

entier, sera 5 a; dans le second , 2 a. Ces vérités sont si évidentes, qu'il est inutile de s'j arrêter.

Mais si p est un autre nombre premier, \o'a ne sera jamais

divisible par p , quel que grand que Ton prenne r\ d'où il suit que

la mantisse delà fraction F :=. — est nécessairement infinie. Sup-

posons que iC soit la plus petite puissance de lo qui soit congrue à l'unité, suivant le module p (V. Section III, ou nous

avons fait voir que e est égal à {^p — \)p , ou a une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que lo^^z est le premier nombre de la suite lœz, loo^, loooa, etc. qui soit congru avec ^, suivant le même module. Or comme, par le n° 5 12,

, .. 1 f" ,• io« 100a 1000a . 10'. a f t, .

les mantisses des tractions — , , , etc. résultent

de celle de la fraction F en supprimant le premier chiffre , les

deux, trois, etc. e premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les e premiers chiffres, et non auparavant, les mêmes chiffres reparaîtront dans le même ordre. Ces c premiers chiffres qui, répétés à l'infini , forment la mantisse, peuvent être nommés période de cette mantisse ou de la fraction , et il est clair que la grandeur de la période , c'est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est =^, est tout-à-fait indépendant du numérateur ciy et que le dénominateur senile détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction ^ est 09, celle de la fraction f est 428571 (*).

(*) Robertson marque le commencement et la fin de la période, en plaçant un point sur le premier et le dernier chiffre (^T'heory of circulating fractions , philos, trans. , 1764) , mais nous ne l'ayons pas jugé nécessaire.

A R I T H IM É T I Q U E s. Sqd

/5i5. Ainsi, dès que l'on connaît la période d'une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu'on voudra ;

d'ailleurs il est clair que si l'on a b^^ioa (mod. /7^), on ob-

tient la période de la fraction — , si (en supposant, comme il

est toujours permis , que K <Ce ) on écrit les A premiers chiffres de la période de la fraction F après les e — X qui restent, et parconséquent lorsqu'on a la période de la fraction F, on a en même temps celles de toutes les fractions dont les nngiérateurs sont congrus aux nombres lOiî , loo.z, iooOcZ,etc., suivant le

module p . Ainsi, par exemple, comme 6^3. lo* (mod 7), la période de la fraction f se trouve au mojen de la période de la fraction |j elle est 85714^.

Donc toutes les fois que, pour le module /? , le nombre 10 est une racine primitive (n°* 67 et 89), on peut, de la période de la

fraction — , déduire sur-le-champ la période de toute autre frac-

lion — , 772 n'étant pas divisible par p , en retranchant à gauche

pour écrire à droite, autant de chifPres qu'il j a d'unités dans l'indice du nombre 77z, 10 étant pris pour base. On voit par là pourquoi, dans la Table I , nous avons toujours pris lO pour base, quand la chose était possible.

Mais quand 10 n'est pas racine primitive, on ne peut tirer de la période de la fraction — que celles des fractions dont les

dénominateurs sont congrus, suivant p' , àquelquepuis ance de 10. Soit 10' la plus petite puissance de 10 congrue à l'unité, suivant

le module p , faisons (/7 — ^) p =cff et prenons (u" 71) pour base une racine primitive r telle que /*soit l'indice du nombre 10. Dans ce sjstème, les numérateurs des fractions dont les périodes

peuvent se tirer de la période de la fraction — , auront pour

îadices

f> ^ff 3/. ..etc., (^— i)/.

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