KP: CHERCHES

De la même manière , on peut déduire de la période de la fraction — , celles des fractions dont les numérateurs répondent aux

indices

/-fi, 2/-I-1, 5/+I, etc.

De la période de la fraction dont le numérateur est r^ (l'indice en est 2), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

/+2, 2/4-2, 3/-f-2, etc.

Et généralement, de la période de la fraction dont le numéraleur est r', on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

f-\-h 2/+/, 3/+/, etc.

On conclura fiicilement de là que si l'on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs

on peijt tirer toutes les autres par la seule transposition , à l'aide de la règle suivante : Soit i l'indice du numérateur m de la fraction proposée —, dans le système où r est pris pour base, nous

supposons i < {p — Oy ~~ j c>n fera , en divisant par/, /=c//4-,S, de manière que a, /S soient des entiers positifs, ou même =0,

et qu'on ait i3</. Cela posé, la période de la fraction —naîtra

P' de celle de la fraction dont le numérateur est r (et partant r, quand /3=o) en plaçant les a premiers chiffres après les autres ( et conservant parconséquent cette période elle-même , quand a. = o). Ce qui précède sufRt pour faire voir pourquoi , en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée n° 72.

5i6. Nous avons construit, d'après ces principes, pour tous les

dénominateurs de la forme p'^', au-dessous de 1000, une Table des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même continuée plus loin à la première occasion qui se présentera. Nous

ARITHMÉTIQUES. SgS

plaçons ici la Table III, pour en donner une idée; elle ne va que jusqu'à loo, et elle a à peine besoin d'explication.

Pour les dénominateurs à l'égard desquels lo est racine primitive, elle donne les périodes des fractions dont le numérateur est I , par exemple pour les nombres :

pour les autres, les f périodes qui répondent aux numérateurs I, r, r*, ...7-^"*, périodes qui sont distinguées par les nombres (o), (i), (2), etc.; on a toujours pris la même base que dans la Table I. A l'aide de cette Table et de ce qui a été enseigné da io* le n" précédent, on peut trouver la période d'une fraction quelconque, pourvu que son dénominateur soit contenu dans cette Table, et que l'on ait calculé l'indice du numérateur au mojen de la Table I. Au reste, pour des dénominateurs aussi petits , on peut se passer de la Table I, en calculant par la division arithmétique autant de chiffres de la mantisse cherchée, qu'il est nécessaire, d'après le n° 3i3, pour la distinguer de toute autre du même dénominateur (pour la Table III, il n'en faut jamais plus de deux), et en parcourant les différentes périodes qui répondent au dénominateur donné, jusqu'à ce que nous sojons parvenus à ces chiffres initiaux , qui indiqueront sûrement le commencement de la période. Il faut cependant avertir que ces chiffres peuvent être séparés de manière que le premier, ou plusieurs, forment la fin de la période, et l'autre ou les autres la coramencent.

Mocemple, On demande la période de la fraction f|. La Table I donne, pour la base 19, iud. 12 = 2.ind, 2 -}-ind. 3 = 39^3 (mod. 18) (n" 57). Donc , comme dans ce cas il n'y a qu'une seule période qui répond au numérateur , il faut transporter à la fia les trois premiers chiffres, ce qui donne 631578947068421052. Les deux premiers chiffres 63 auraient fait trouver aussi facilement le commencement de la période.

Si l'on demande la période de la fj-action ~ , on trouve pour le module 53, ind. 45=2 ind. 3-f-ind. 5 = 49? '^ nombre des périodes est ici, 4=/^ et l'on a 49=12/"+ i; donc il faut à la période désignée par (i) transposer les douze premiers chiffres ,

Zifj RECHERCHES

et l'on trouve 8490566037755 pour la période cliercliée. Les cliifFrcs

initiaux 84 sont dans ce cas séparés dans la Table.

Nous observerons encore, qu'à l'aide de la Table TII on peut trouver un nombre qui , pour un module donné , contenu dans cette Table, dans la colonne des dénominateurs, réponde à un indice donné, ginsi que nous l'avons promis u° 69: il suit en effet do ce que nous avons dit plus haut, que l'on peut trouver la période d'une fraction au numérateur de laquelle réponde un indice donné, quoique ce numérateur soit inconnu; il suffit de prendre de cette période autant de chiffres initiaux qu'il j a de chiffres au dénominateur, et par le n° 5i5, on trouvera, à l'aide de ces chiffres, le numérateur, ou le nombre cherché qui répond à l'indice donné.

317. On peut par ce qui précède trouver sans calcul la mantisse d'une fraction quelconque, dont le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier com- . pris entre les limites de la Table. Mais, à l'aide des recherches .que nous avons faites au commencement de cette Section, l'usage de cette Table devient bien plus étendu, et elle renferme même les fractions dont les dénominateurs sont des produits de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers. En effet, une .pareille fraction peut se décomposer en d'autres dont les. dénomi- »ateurs soient ces facteurs, et ces dernières peuvent être converties en fractions décimales, avec tel degré d'approxin^atipn qu'on voudra; ainsi il ne reste qu'à les réunir par l'addition. Il est à peine nécessaire d'observer que le dernier chiffre de la somme pourra se trouver un peu plus pielit qu'il ne devrait être; mais il est évident que l'erreur ne peut monter à autant d'unités qu'il y a de fractions à ajouter; ainsi il conviendra de calculer ces dernières avec quelques figures de plus qu'on n'en veut avoir à la fraction proposée.

Considérons, comme exemple, la fraction *

P - ££59 3 8i0 3SjL /*\

(*) Cette fraction est une de celles qui approchent le plus de la racine quarrée .de -23, et l'excès est moindre que sept unités du vingtième ordre décimal.

dont le dénominateur est le produit des nombres 16^ g, 5, 49 > i5, 47* ^9' On trouve par ce qui précède

ces fractions particulières réduites en décimales, donnent

L'erreur en moins de cette somme, comparée, à la valeur exacte; est moindre que cinq unités du vingt-deuxième ordre, donc les vingt premiers chiffres sont exacts. En poussant le calcul à un plus grand nombre de décimales, au lieu des deux derniers chiffres 17, on trouve 1893936. Au reste, chacun sentira bien, même sans que nous en avertissions, que cette méthode de réduire les fractions ordinaires en fractions décimales , est principalement applicable au cas où l'on veut avoir un grand nombre de chiffres } car, s'il suffit d'un petit nombre, la division ou les logarithmes peuvent être souvent employés avec autant d'avantage.

3i8. Comme nous avons ramené les fractions dont le dénominateur est composé de plusieurs nombres premiers différens , au cas où le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, il ne nous reste qu'à ajouter quelque chose sur la mantisse de ces fractions. Si le dénominateur ne renferme ni le facteur 2 ni le facteur 5, la mantisse sera encore composée de périodes, parceque, pour ce cas, on parviendra aussi à un terme de la suite 10, 100, 1000, etc. qui soit congru à l'unité, suivant le dénominateur, et l'exposant de ce terme, que l'on peut déterminer par le n° 92, indiquera la grandeur de la période, qui est indépendante du numérateur, tant que la fraction estirréduclible.

5qS r e c II e r c it e s

AJais si le dénominateur est de la forme 2'5'N, N étant nn nombre premier avec lo, a et /3 des nombres qui ne peuvent être zéro à-la-fois, la mantisse deviendra périodique après les et ou jô premiers chiffres , suivant que a ou /3 est le plus grand ; ces périodes seront composées d'autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est A\ Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres

dont les dénominateurs soient 2 5 et N, et dont la première sera interrompue après les a ou jS premiers chiffres.

Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d'autres observations sur ce sujet, surtout à l'égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III; mais, forcés d'abréger , nous les omettons d'autant plus volontiers qu'une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli (Noin^. Mém. de VAcad. de Berlin , 1771).

5ig. Nous avons traité (n' 146) de la possibilité de la congruence Cu'^^A (mod. ni), qui revient à l'équation indéterminée x^-=iA-\-myy de manière à ce qu'il semble qu'on ait rien à désirer; mais pour la recherche de l'inconnue elle-même, nous avons déjà observé (n" i5i) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préférables aux méthodes directes. Si m est lui nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant l'observation du n° 3i6, peut être employée à cette fin , comme nous l'avons fait voir plus généralement (n° 60); mais cette méthode ne s'étendrait qu'aux nombres compris dans les Tables; c'est pourquoi nous espérons que la méthode suivante, par sa généralité et sa brièveté, ne déplaira pas aux amateurs de l'Arithmétique.

Observons avant tout qu'il suffit de connaître les valeurs de x

qui sont positives et n.on plus grandes que —, puisque toute autre

valeur sera congrue à l'une de celles-là , prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de x, celle de y est né-

A A . , cessairement contenue entre les limites et \m .Ainsi une

méthode qui s'offre d'elle-même^ consisterait à calculer la y^-

leur de A-^my. . ./^, pour toutes les valeurs clej comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l'ensemble par o), en ne retenant que celles qui rendraient /^ un quarré. Quand 772 est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu'il n'est presque pas nécessaire de chercher à l'abréger-, mais quand ttz est grand , OD peut diminuer le travail autant qu'on voudra, parla méthode d'exclusion suivante.

520. Soit E un nombre entier arbitraire et plus grand que 2 ; soient aussi a, h, c, etc. tous ses résidus quadratiques difFérens, c'est-à-dire, incongrus suivant E) enfin a, (^ , y y etc. les raciaes des congruences

A-\-mj^a , A-{-my^h , A-^mj^c, etc. (mod. ^)^

que l'on peut prendre toutes positives et plus petites que E ', si l'on donne a y une valeur congrue, suivant le module E, à l'uudes nombres a,, (è, y, etc., la valeur de N=y4-{-mf qui en résultera sera congrue à l'un des nombres a, b , c, etc., et sera parconséquent non-résidu de E] partant elle ne pourra être un (j narré. Par là, on p ut donc rejeter sur-le-champ, de«, tou& les nombres inutiles qni sont contenus sous les formes

Et-^cL, Et-j-f^, Et+y, Gic,

et il suffira d'essayer les autres, dont nous représenterons l'ensemble par cû. Dans cette opération, nous pouvons donner au nombre E le nom à'' excluant.

En prenant pour excluant un autre nombre convenable E' , ou trouvera de la même manière autant de nombres a, /S', y' ^ etc* qu'il j a de non-résidus differens, et auxquels y ne peut être' congru suivant le module E' . On peut donc encore rejeter de ca. tous les nombres compris sous les formes-

£7 -H et', £7-4-/3', £7+>', etc.

On peut continuer de cette manière les exclusions^ jusqu'à ce que le nombre des valeurs (W soit tellement diminué, qu'il ne paraisse pas plus difficile d'essayer directement celles qui restent, que d'entreprendre de nouvelles exclusions.

Exemple. Soit proposée l'équation :c^ := 22 -f-Q^i-, les limites' des valeurs de y sont — ^ et 24 4-^ — jy} donc, comme la valeui?

4oo R J', C FT K F c n i: s

zero est évidemment inutile, co comprendra les nombres i, 2, 3. ..24. Pour £"=5, il n'y a qu'un non-résidu ^ = 2, qui donne a= i *, il faut donc exclure de o) les nombres de la forme 3/-|-i, et il en reste 16; de même pour £ = 4, on a a = 2 , bz^^, d'où a = o, /3=i; on doit donc rejeter les nombres de la forme 4^ et 4^ + 1 > ceux qui restent sont au nombre de huit: 2, 3^6, 11, i4, ï5, 18, 23. Ensuite pour £=5, on doitrejeter tous les nombres 5/ et 5/-f-3, et il reste 2, 6, 11, 14. L'excluant 6 ferait rejeter les nombres de la forme Gt-^^i , 6t-^^, qui ont déjà disparu, comme étant de la forme 5/+i. L'excluant 7 fait rejeter les nombres des formes jt-\-2 , y/;-}- 3, jt-j-S, et laisse 6, 11, 14. y.u les substituant pour jy , ces nombres donnent ^=604, 1089, i58o, valeurs dont la seconde seule est un quarré. Ainsi wr = rt: 33,

321. Puisque l'opération entreprise avec l'excluant E rejette des valeurs de V correspondantes aux valeurs de y comprises dans Ce), toutes celles qui sont non-résidus quadratiques de JS, tandis qu'elle n'atteint pas les résidus, on voit facilement que l'usage des excluans E et 2E ne présente aucune différence , lorsque E est un nombre impair, car dans ce cas E et 2E ont les mêmes résidus et les mêmes non-résidus. Il suit de là que si l'on emploie successivement les nombres 3, 4^ 5, etc., les nombres impairement pairs, tels que 6, 10, i4, etc. doivent être négligés comme superflus. Il est encore évident que la double opération entreprise avec les excluans E et E' rejette les valeurs de JV qui sont non -résidus des deux excluans ou de l'un d'eux seulement, desorte que celles qui sont résidus de l'un et de l'autre restent seules. Or comme dans le cas où E et E' sont premiers enUe eux, tous les nombres rejetés sont non-résidus de EE% et tous les nombres conservés en sont résidus j il est clair que l'usage de l'excluant EE' est le même que celui des deux excluans E et E', et que parconséquent il est superflu. On peut donc passer tous les excluans qui peuvent se décomposer en deux facteurs premiers entre eux, et parconséquent n'emplojer que ceux qui sont des nombres premiers, non-diviseurs de /7z, ou des puissances de nombres

premiers. Enfin , après avoir employé l'excluant p , p étant un

pombre premier, l'emploi de l'excluant p ou p , v étant </^,de-'

vien

ARITHMETIQUES. 4oi

Vient superflu ; car p ne conservant des valeurs de V que celles qui sont ses propres résidus, on est sûr, à plus forte raison, qu'il ne restera plus de non-résidus de/?, ni d'aucune autre puissance

moindre que yt7 . Mais si^ ou ^ a été emplojé avant ^ , ce dernier ne peut rejeter que les valeurs de V qui seraient résidus

de p et non -résidus de p ", donc il suffirait de prendre pour

Ci b, c , etc. ces non-résidus Ôlq p •

322. Le calcul des nombres a, jS, y, etc, qui répondent à un excluant quelconque donné E, s'abrège beaucoup par les observations suivantes. Soient M , N, P , etc. les racines des congruences my^a, my^b , my^c, etc. (mod. K)^ et k la racine de la congruence my^—^A, on aura a=iltf-f-^, /3=iV-|-^, ^=P-f-A, etc. S'il fallait effectivement trouver 71/, iV, P, etc. par la résolution de ces congruences, ce procédé ne serait pas plus abrégé que celui que nous avons indiqué plus haut; mais cela n*est point nécessaire. En effet, si d'abord JE est un nombre premier , et que m soit résidu quadratique de JS , il est clair , par le n' 98, que M, N, P , etc., qui sont les valeurs des expressions —,—♦—, etc. (mod. JE), sont les non-résidus différens de E,

mm ni ^ ■'' '

et parconséquent coïncident avec a, j8, y^ etc., abstraction faite de l'ordre, qui n'est ici d'aucune importance j mais si, dans la même hypothèse , m estnon-résidu de E, les nombres Mj N, P, etc. coïncideront avec les résidus quadratiques de £, zéro excepté.

Si E est le quarré d'un nombre premier impair ==p% et que p ait déjà été employé comme excluant , il suffit , par le n' précédent, de prendre pour a, by c, etc. les non-résidus de /?' qui sont résidus de Pf c'est-à-dire, les nombres/?, ^ip^Zp, .,...(/7 — i)/?, (ou tous les nombres au-dessous de /?* qui sont divisibles par p , zéro excepté) ; on voit par-là qu'on doit trouver pour M, N , P , etc. absolument les mêmes nombres, disposés seulement d'une autre manière. De même, si après l'emploi des excluans p et /?*, on fait Ez=zp^, ^1 suffira de prendre pour a, b , c, etc. les produits de chaque non-résidu de p par ;?*, et de là on tirera pour Mj N , Pf etc., ou les même» nombres, ou les produits de p\

E ce

par chacun des résidus de p, zéro excepté, suivant que m est ré-

sidu ou non-résidu de p. Généralement, si l'on prend £=;? , toutes les puissances inférieures de p ajant été employées , on

trouvera pour M, N , P, etc. les produits de p , par tous les nombres moindres que p , zéro toujours excepté, quand/* est pair, ou par tous les non-résidus de /? moindres que /? , quand /* est impair et mRp , ou par tous les résidus, quand mNp.

Si £=4 et partant ^=2, ^ = 3, on a pour M ei N ^ z et 3 ou 2 et I, suivant que m^i ou ^3 (mod. 4)« Si après avoir emplojé 4^ on fait £=S, on a a=5j donc iïf est 5,7, i,5,,

suivant que m^i, 3, 5, 7 (mod. 8). Généralement, si Ez=2 I, les puissances inférieures étant déjà employées, on doit poser

a^^z^^^f h=5 . a'^""^, quand p. est pair, d'où il résulte ilf=3'^'~ ,

iV=3.2^~'^ ou =2'*" , suivant que m^i ou ^5j mais quand

p, est impair, on doit poser a = 5. 2 , d*oii il vient ifcT égal au

produit de 2 par 5,7, i ou 3, suivant que w^ i , 5, 5 ou 7

(mod. 8}.

Au reste, les gens instruits trouveront facilement la manière de rejeter mécaniquement les valeurs inutiles de y, après qu'on aura calculé les valeurs de a, /3, y, etc. pour tant d'excluans qu'il paraîtra nécessaire; mais nous ne pouvons nous y arrêter, ni aux autres artifices par lesquels on peut abréger le travail.

323. Toutes les représentations d'un nombre donné yi par la forme binaire mx^^ny*, où les solutions de l'équation indéterminée ma;'* -|- Tzy' = -^ , peuvent être trouvées parla méthode exposée Section V, qui semble ne rien laisser à désirer du côté de la brièveté, si Ton a les différentes valeurs de l'expression y/ — mn , suivant le module A et suivant A divisé par ses différens facteurs quarrés. Mais nous allons donner ici", pour le cas où mn est positif, une solution beaucoup plus abrégée que la solution directe, lorsqu'il faut pour cette dernière calculer les valeurs dont nous venons de parler. Nous supposerons que les nombres m^ n^ A soient positifs et premiers entre eux ; parceque

ARITHMÉTIQUES. 4o5

les autres cas se ramènent facilement à celui-là. Il suffit encore évidemment de trouver les valeurs positives de x,y , puisque les autres s'en déduisent par un simple changement de signe.

Il est clair que x doit être tel que , que nous désignerons par y , soit positif, entier et quarré. La première condition exige que x ne soit pas plus grand que X/ —\ la seconde a lieu

par elle-même quand /z=:i, autrement elle exige que la valeur

A de l'expression — (mod. tï) soit résidu quadratique de /?, et qu'en

désignant les diverses valeurs de l'expression \x — (mod. n )

par d=r, sb/, etc., x soit compris sous une des formes:

nt-^-r, nt — r, nt-^-r', nt — /, etc.

Ainsi , il serait très-simple de substituer à la place de x tous les

nombres de ces formes et moindres que \j^ — , nombres dont

nous représenterons l'ensemble par &>, et de ne retenir que Ceux qui rendraient f^ un quarré. Nous allons donner dans le n° suivant le mojen d'abréger le nombre de ces essais autant que l'on Toudra.

334. La méthode d'exclusion à l'aide de laquelle nous y parviendrons, consiste, comme la précédente, à prendre à volonté plusieurs nombres, que nous appellerons encore exc/uans , à chercher quelles sont les valeurs de x pour lesquelles y devient non-résidu quadratique de ces excluans , et à rejeter de co ces valeurs de œ. Ou verra absolument de la même manière qu'au n* 321, que l'on ne doit employer pour excluans que des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, et que, pour un excluant du dernier genre, il n\y a plus à rejeter des valeurs de y que les non-résidus qui sont résidus de toutes les puissances inférieures du même nombre premier, si toutefois on a déjà employé ces différentes puissances.

Soit donc l'excluant E=:p (jn pouvant être = 1), où p est

lin nombre premier qui ne divise pas m, et supposons que p soit

4o4 RECHERCHES

la plus haute puissance de p qui puisse diviser n (^). Soient a , h , Cf etc. les non-résidus quadratiques de E (tous, quand /a=i , mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures,, quand />t>i). On cherchera les racines des congruences

mz^A — na, mz^^.A — nh , mz^A — ne, etc. (mod. Epzzzp^ ), que nous désignerons par ot, /3, ;/, etc.-, et l'on voit facilement

que si, pour une valeur de ^ on a x^^cl (mod. Ep ), la valeur correspondante de F" sera ^a (mod. E), c'est-à-dire, non-résidu de ^, et de même pour /3, >, etc. On voit aussi facilement, que «i une valeur de x rend V^a (mod. ^), la même valeur rendra

x*^cL (moA, Ep ), et que parconséquent toutes les valeurs de x pour lesquelles x^ n'est congru à aucun des nombres a, /3, y y etc.,

suivant le module Ep\ produisent des valeurs de V qui ne sont congrues à aucun des nombres a, b,Cy etc., suivant le module E, Cela posé, on choisira parmi les nombres cl, (B, y, etc. tous ceux

qui sont résidus quadratiques de Ep , et les nommant^, ^', g^", etc. on calculera les valeurs des expressions \/g, \/g', \/g% etc.

(mod. Ep^), que nous désignerons par h, h', h", etc. Il est évident que l'on peut rejeter de œ toutes les formes

Ept-àzh, Ept:±Lh\ Eptzi=.li", etc.,

et qu'aucune des valeurs de ^ qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de V qui soit de la forme

Eu^a, Eu^b, Eu^c, etc.

Au reste il est manifeste qu'aucune valeur de x ne peut donner de telles valeurs de y, quand aucun des nombres a, ^,y, etc.

n'est résidu quadratique de Ep y et que, dans ce cas, le nombre E ne peut pas être employé comme excluant.

On peut employer ainsi autant d'excluans qu'on voudra, et parconséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de a; à essayer.

(*) Pour abréger, nous traitons à-la-fois le cas où n est divisible par p , et celui où il ne Test pas ; dans le second^ on doit faire r = o.

AHITR MEXIQUE s. 4o5

Examinons maintenant si l'on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de m, et des puissances

A de ces nombres. Soit B la valeur de l'expression —(mod. m) , il

est clair que l'on a toujours V^B (mod. 772), quelque valeur que l'on prenne pour Xf et que parconséquent pour que l'équation proposée soit possible , il est nécessaire que B soit résidu quadratique de m. Ainsi, p désignant un diviseur quelconque premier impair de 772, qui, par hjpothèse, ne doit diviser nin, m A f ni parconséquent B; V sera résidu de jj pour une valeur quelconque de jr, et partant, p ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans.

Par une raison semblable, quand m est divisible par 8, il est nécessaire que l'on ait B^\ (mod. 8), pour que l'équation proposée soit possible; donc pour une valeur quelconque de x, on aura ^^ I (mod. 8), et partant, les puissances de 2 ne peuvenfc servir d'excluans.

Quand 772 est divisible par 4 et non par 8, on doit par la même raison avoir B^\ (mod. 4)> et parconséquent la valeur de l'expression—(mod. 8) est I ou 5j désiguons-la par C II est facile

de voir que, pour ime valeur paire de x on a V^C , et V^C-\-^ (mod. 8) pour une valeur impaire; d'où il suit que l'on doit rejeter les valeurs paires quand C = 5, et les valeurs impaires quand C = I .

Enfin, quand 772 est divisible par 2 et non par 4> soit encore

Cla valeur de l'expression - (mod. 8) , qui sera i, 3, 5 ou 7, et

D la valeur de l'expression ^- (mod.4)> qui sera i ou 3. Comme

la valeur de 7^ est toujours ^C — iDx"" (mod. 8), et partant ^C, si :r est pair, et ^C — 2D, si :r est impair; il est clair qu'on doit rejeter toutes les valeurs impaires de x , lorsque C=i ; toutes les valeurs paires, quand C=3 et Z)= i , et quand C=7 et £) = 5, et que les valeurs conservées donnent toutes J^^\ (mod. 8) , c'est-à-dire, V résidu de toute puissance de 2. Quant aux autres cas, savoir, lorsque Cs=5 ou 5 et i) = 5, lorsque

4o6 RECHERCHES

C:=7 et Dz^J , on trouve K^3, 5 ou 7 (mod. 8), soit que ce soit pair, soit qu'il soit impair, d'où il résulte évidemment que, dans ces cas, l'équation proposée n'admet aucune solution.

Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de y de la même manière que nous avons cherché celle de x , on peut appliquer de deux manières la méthode d'exclusion au problème proposé (excepté dans le cas où jr7î = /z=i); on doit préférer celle pour laquelle co contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger à priori.

Enfin, il est à peine nécessaire d'observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de &> disparaissent, on en doit conclure que l'équation proposée est impossible.