Exemple. Soit l'équation

que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d'abord les valeurs de jo, et ensuite celles de y*

i", La limite des valeurs de X est, dans ce cas, v^ (3619120 -f-|)»

qui tombe entre 1902 et 1903 : la valeur de l'expression-^ (mod. 4^5)

est 354, et les valeurs de l'expression v/354 (mod. 455) sont

±82, zt:i52, ±173, ±2125

d'où il résulte que co contient les trente-trois nombres suîvans :

82, i52, 173, 212, 243, 282, 5o5, 573, 537, 607, 628, 667, 698, 737, 758, 828, 992, 1062, io83, 1122, ii53, 1192, i2i3, 1283, i447> i5i7, ï538, 1577, ï^o8, 1647, 1668, 1758, 1902.

Le nombre 3 ne peut être emplojé ici comme excluant, parcequ'il divise m.

Pour l'excluant 4> on a «=2, 3=3, d'où a=o, /S=:3,^=:o; les valeurs de \/g (mod. 4) sont o et 2; il suit de là quêtons les nombres des formes 4^ ^t 4^~l"2 , c'est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par a/ les seize qui restent.

Pour £ = 5, les racines des congruences mz^—^ A "-' tin ,

ARITHMÉTIQUES. /fo;

mz^A — Zn (mod. aS) sont 9 et 2^, qui sont toutes deux résidus de 25 j les valeurs des expressions \/g et \/24 (mod. 25) sont db3 et ±7; ainsi rejetant les nombres des formes 25/d=5, a5/±7, ceux qui restent sont au nombre de dix:

175,375^537,667,757, io83, i2i3, 1285, i5i7, 1577. ., . .(o^'J.

Four £=7, les racines des congruences

mz^A — 5/2, mz^A — Sn, mz^A — 6/z(mod.49) sont 32, 59, 18, qui sont toutes résidus de 49; les valeurs des expressions v^32, v^^Qj V^^^ (mod. 49) sont ±9, d=23, =^19-, en rejetant de cû^ les nombres de la forme

il reste les cinq suivans :

537, 737, io83, i2i5, i5i7..... CO*

Pour jE=8, on a a=5, d'où et = 5 qui est non-résidu de 8; ainsi l'excluant 8 ne peut être emplojé. Le nombre 9 doit être passé, par la même raison que le nombre 3,

Pour -E= II, les nombres c, ^, etc. sont 2, 6, 7, 8, 10, et f = o; donc les nombres a, /3, etc. sont 8, 10, 5, o, i, parmi lesquels o, i et 5 sont seuls résidus de 11 *, de là on conclut que l'on doit rejeter de cû" les nombres de la forme

II/, ii/d=i, iiif=b4»

Il reste 537, io83, i2i5j en essayant ces nombres, ils donnent pour V les valeurs

dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l'équation proposée admet deux solutions par des valeurs positives de x, y,

a:=:io85, ^-=1275 a:=i2i3, ^=119.

2°. Si l'on veut chercher par exclusion l'autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme

en échangeant x et y , afin de conserver la notation des n°^ 323, 324.

La limite des valeurs de x tombe ici entre i54 et i55; la va-

leur de l'expression — (mod. n) est i , et les valeurs de \/i (mod. 3)

sont I et — i; donc ca contient tous les nombres des fc^rmes 3/-|-i et 5/ — I, c'est-à-dire tous les nombres non-divisibles par 5, jusqu'à i54 exclusivement-, il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que

pour les excluans

on doit rejeter les nombres de la forme

9?=fc4

4^, 4^4-2, c'est-à-dire les nombres pairs, 27/zbi, 27/z±:io lit f iitzizi, ii/db3 i7/db3, i7/db4, lytzizS ij'dzy igt±:2, igtdzS, i9'=fc8, ig'rbg 23/, 23/=h5, 23/d=:7, 25 ±9, 23/±io.

Après avoir effacé ces dififérens nombres, il reste 119, 127, 137, dont les deux premiers seuls rendent y un quarré, et donnent les mêmes solutions que la première méthode,

326. La méthode précédente est déjà si expéditive en ellemême, qu'elle laisse à peine quelque chose à désirer; cependant elle peut encore être beauconp abrégée par un grand nombre d'artifices , sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légèrement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l'excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas ^ , ou une puissance d'un tel nombre, d'autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d'une manière analogue.

Supposons d'abord que l'excluant E=:p soit un nombre premier qui ne divise ni m, ni n, et représentons par k, M^ N , P, etc. les valeurs des expressions

u4 na nb ne , ^ -, >.

— y , , , etc. (mod. p):

respectivement: les nombres a, /3, y, etc. se trouveront par les congruences

cL — k-irM, ^~k-irN, y — k-^-P, (moà.p).

Or

ARITHMETIQUES. 409

Or les nombres M, N, P, etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au n" 322, sans résoudre les congruences, et ils coïncideront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de p

(zéro excepté), suivant que la valeur de l'expression — — (raod.;^),

ou, ce qui revient au même, suivant que le nombre — mn est résidu ou non-résidu de ;t7. Ainsi , dans l'exemple 2 du n° précédent, pour £=17, on a ^ = 7; — mn-=. — i365^i2 est nonrésidu de 17; donc les nombres My N, etc. sont i, 2, 4> 8, 9, i3 , i5, 16, et partant , les nombres ot, /3 , etc. sont 8, 9, II, î5, 16, 5, 5, 6. Parmi ces derniers, 8, g, i5 et 16 sont résidus, d'où l'on tire zhh. H, etc. =dt5, 5, 7, 4»

Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers/^, les valeurs de h, h', etc. correspondantes aux différentes valeurs de >^ (i , 2, 3....J0 — i), dans la double supposition où — mn est résidu, et où il est non-résidu de p. Au reste, nous observerons encore qu'il y a toujours \{p — i) nombres /z, — h, h', etc. quand k et — mn sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de p\ \(p — 3), quand le premier est résidu et le second nonrésidu; {(p-i-i), quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la démonstration de ce théorème.

Quant à ce qui regarde les cas où E est un nombre premier qui divise n, ou une puissance d'un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas n , nous allons voir qu'ils peuvent être employés d'une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du n° 324 > nous

ferons nz=:n'p , desorte que n' ne soit plus divisible par p. Les

nombres <2, b, c, etc. seront les produits du nombre p par

tous les nombres moindres que p, zéro excepté, et par tous les non-résidus de p plus petits que p, suivant que /w, est pair ou

impairj exprimons les indéfiniment par up' . Soit k une valeur de l'expression — (mod. p ), il ne sera pas divisible par/?,

Fff

4io RECHERCHES

puisque A ne Pest pasj en outre il est clair que et, jS, y, efc^

sont congrus à k suivant le module p, et que partant p^ n'exclut aucun des nombres oi , si kNp-^ mais si kRp et partant

kRp \ soit a la valeur de l'expression \/k(^v[\oà. p ) , qui ne sera pas divisible par p , et e la valeur de l'expression

' ^ (raod. p) on j aura *^/'''+2^r^/?'' (mod. p *') , d'où

zmr

l'on conclut facilement que a est résidu de /[? , et que les valeurs de l'expression [/oL (mod. p )sontd:(r+^û;? )•, donc tous les nombres h, h', h", etc. seront exprimés par la formule

r-{-eup ( >

Il est facile de conclure de là que les nombres h, Jï, Ji,e{c»

se composent de r ajouté aux produits du nombre p partons

les nombres au-dessous de pj zéro excepté, quand /a est pair-, ou par tous les non-résidus de p, quand fjL est impair et que eRp, ou, ce qui est la même cliose, que — 2mrn!Rp\ ou par tous les résidus de ;t7, quand p. est impair, et que — 2mrn'Np.

Au reste, à mesure que l'on aura trouvé les nombres h, lï , lib , etc.' pour chacun des excluans que l'on voudra employer, on pourra exécuter l'exclusion par des opérations mécaniques, qu'on découvrira facilement de soi-même, avec un peu d'habitude, si on le trouve avantageux.

(*) On a

Ttik^yi , met^A-^na, r^^k (mod. p^' ^) et d'ailleurs na=Tiup^ *"';

on en déduit sur-le-champ, par les deux premières congruences, mk — mtc^nai multipliant la troisième par m, qui n'est pas divisible par p, on obtient

mr^'—mct^na (mod. p'* ") ^ or en prenant un nombre e tel qu'on ait

2,ner^ n' (mod. p), il en résulte na^ — o.merup'* ^""^ (mod. p'* ^), et

partant on tire facilement de là et de la congruence précédente , après avoir

divisé par m, asr'-f aerjlAp^'*'''"* (mod. p'*"^"), ou enfin

cts (r + eup'^-^^-> ^ e'uy^-"^^-' s (r-l- erip'^'^'-^)» (mod. p^-^').

(^T^ote du traducteur.)

ARITHMÉTIQUES. 4ii

Nous devons observer enfin que toute équation ax''-\r2bxyr^cy''z=:M, dans laquelle Z>* — ac est négatif et = — /> , peut eJre facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui précède. Désignons en effet par m le plus grand commun diviseur des nombres a et b , et posons

a:=ma, — = a'c — mb'*=n , a'a:-f-^V = ^':

il en résulte l'équation 7w:c'''+7z/*=û'iV^, des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles ce — ^y est divisible par a! , ou qui donnent des valeurs entières de ce,

327. La solution directe de l'équation ax"" -\- ihxy '^cy^z=zMy contenue dans la Section V, suppose que l'on connaisse les valeurs de l'expression \/ (b"- — ac^ (mod. M); mais réciproquement, pour le cas où Z>* — ac est négatif, la solution indirecte exposée dans les n'^^ précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une méthode très-expéditive, qui est bien préférable à celle du n° 322 , surtout quand M est un très-grand nombre. Nous supposerons que M est nombre premier, ou du moins, s'il est composé, que ses facteurs sont encore inconnus-, en effet, si l'on savait que il/ fût

divisible par un nombre premier p^ et que l'on eût M=.p M', de manière que M' ne renfermât plus le fadeur;?, il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de \' {l>^ — ac)

pour les modules p^ et M' (en déduisant les premières des valeurs pour le module p (n» loi)), et d'en conclure, par la combinaison, les valeurs pour le module M (n° io5).

Il faut donc chercher les valeurs de y/ — l) (mod. M) , où D et M sont supposés positifs , et M contenu sous la forme des diviseurs de jr*-f-Z) (n^ i47 et suivans)-, en effet, autrement il serait évident qu*aucun nombre ne satisferait à l'expression proposée. Soient ±r, rt:/, dbr", etc. les valeurs cherchées qui seront toujours opposées deux à deux , et

D-\-r'=iMh, JD-^/'=3IIi, D ■+-j''' = 3Ih\ etc.

désignons par K, ^K, K', —A', A", —A", etc. les classes auxquelles appartiennent les formes

(M,r, h),{M,--r, h),{M,r\ h'l{M,^r\ h'UM,r\ hypi,--?^', //")> etc.,

4i5 RECHERCHES

et par F l'ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent être regardées comme inconnues; cependant il est clair, 1°. qu'elles sont toutes positives et proprement primitives ; 2°. qu'elles appartiennent toutes à un même genre, dont le ca^ ractère peut facilement se conclure de la nature du nombre M , c'est-à-dire , de ses relations avec les difïérens diviseurs premiers de Z), et de plus avec l^ om^ , quand il y a lieu (n° 25o). Puisque nous avons supposé que M est contenu sous une forme de diviseurs de x^'^'D i nous sommes sûrs d'avance qu*il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de déterminant — D y quand bien même l'expression y/ — D (mod. M) ne pourrait être satisfaite. Donc , puisque ce genre est connu , on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues-, désignons-les par Cf C'y C y etc., et leur ensemble par G. Les différentes classes A^, —K , etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G', il peut arriver aussi que plusieurs classes de F soient identiques entre elles et qu'elles le soient parconséquent avec une même de G, et quand G n'en contient qu'une seule, il est certain que toutes les classes de F coïncident avec elle. Donc si des classes C , C, C", etc., on tire les formes les plus simples f, f y f", etc. respectivement, une forme de chaque classe de F se trouvera parmi elles. Or si ax'' -\- 2bxy'{-cy'' est une forme contenue dans la classe K ^ i\ y aura deux représentations du nombre M, par cette forme, appartenantes à la valeur i', et si l'une est a; = w, jr = 'z> l'autre sera xz=: — 772,/= — tz. On doit excepter le seul cas où £)= i , dans lequel il y aurait quatre représentations (n" 180).

Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre M par les différentes formes /",/"', y, etc., parla méthode indirecte exposée précédemment, et qu'on en tire les valeurs de Texpression y/ — D (mod. M), auxquelles chacune d'elles appartient (n" i54 et suivans), on aura toutes \es valeurs de cette expression et même chacune d'elles deux fois, ou quatre fois si Z)=i. Si parmi les formes/,/', etc., il s'en trouve quelquesunes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s'ensuit qu'elles n'appartiennent à aucune classe de F, et que parconséquent elles doivent être négligées j et si M ne pouvait être

A Kl T H M É T I Q U E s. 4i*;

représenté par aucune de ces formes, alors Z) serait certaiuenient non-résidu quadratique de M,

Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations suivantes, qui sont essentielles.

i". Les représentations du nombre M" par les formes y, y, etc. que nous emplojons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées oc, y, s'il s'en présente d'autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur yx, (ce qui ne peut arriver que lorsque ^* divise M , et qui arri-

vera nécessairement si — DR-^j, elles doivent être négligées

dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent être utiles.

2", Toutes choses d'ailleurs égales , le travail sera évidemment d'autant plus facile, que le nombre des classes y, y,/", etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand D est un des soixante-cinq nombres consignés au n° 5o3, pour lesquels il n'y a qu'une seule classe dans chaque genre.

3". Puisqu'il y a toujoure deux de ces représentations, x:=m , y=zn\ xz=z — m, y=. — n qui appartiennent à la même valeur, on voit qu'il suffit de considérer celles dans lesquelles y est positif; et de cette manière les représentations différentes correspondent à des valeurs différentes de l'expression \/ — D (mod. M), et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des représentations, en exceptant toujours le cas où Z)=i, dans lequel le premier nombre n'est que la moitié du second.

4*. Comme il suffit de connaître l'une des deux valeurs r, — r, pour avoir l'autre , les opérations peuvent encore s'abréger ; si la valeur r s'obtient par la représentation du nombre M par une forme contenue dans la classe C, la valeur opposée — r se tirera évidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente delà classe C , si celle-ci n'est pas ambiguë. Il suit de là que, quand toutes les classes de G ne sont pas ambiguës, il ne faut considérer que la moitié des autres, c'est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l'une et l'on négligera l'autre, que l'on voit d'avance et sans calcul devoir fourni^

de» valeurs opposées à celle que donne la première. Mais quand C est une clasï^e ambiguë , elle donnera à- la- fois les deux valeurs r et — /■ : si l'on a choisi dans C la forme ambiguë ax"" -\- ^bxy -\- cy^f et que la valeur r résulte de la représentation x=.m , yz=.n, la valeur — r résultera de la représentation

5". Dans le cas où Z) = i , il n'y a qu'une seule classe dans laquelle on peut supposer qu'on ait choisi la forme jc'+j^*; et si la valeur r résulte de la représentation a;=/7z,^=«, la même résultera des représentations

et la valeur opposée — r, des représentations

a;=77î, jK== — ^'y •^= — J^ty^-n-, x=:n, y^m-, X'=z — n,yz=z — m\

ainsi de ces huit représentations, qui ne forment qu'une seule décomposition, une suffit, pourvu qu'à la valeur résultante nous joignions la valeur opposée.

6°. La valeur de l'expression \/—^D (mod. il/), à laquelle appartient la représentation Mz=ani''-\'2bmn'\-cri', est (n** i55)

/A (mh + ne) — y {ma + nli) ,

ou un nombre quelconque congru à celui-là, suivant le module M, fjL et V étant tels qu'on ait jxm^vnz=:i -, désignons cette valeur par p», on aura

^{fÂm-^vn^Qnb-^-nc^^mb-^nc (mod. il[f ) ;

donc p est la valeur de l'expression ^ "^ (mod. M) j on trouve

de même que p est la valeur de l'expression (mod. A/).

Ces formules sont souvent préférables à celle dont on les 9> déduites.

528. Exemples, i". Soit proposé de trouver les valeurs de l'expression \/ — 1365 (mod. 5428681= il/). On a ici

M^i, I, I, 6, II (mod. 4> ^f ^> 7» ^^)> et partant il est compris sous la forme des diviseurs de ^•-+-1^

ARITHMÉTIQUES. '4i5

a;*+5, ^*4-5, et sous la forme des non-diviseuïS de a;*-j-7, X* — 15, et partant (n* i5o) sous la forme des diviseurs de a;* 4-1 365. Le caractère du genre dans lequel se trouvent les classes Y est

1,4; m-, RS-, Nj; NiZ,

Il n'y a qu'une classe dans ce genre; nous prendrons dans cette classe la forme ôjc^^-j-G^r^-f-a^gj*. Afin de trouver toutes les représentations du nombre M , nous ferons :iX'\-yz=:x', d'où il résultera Sjc''^4^5j''=2M; cette équation admet quatre solutions dans lesquelles y est positif,

j-z=:i2'j, a;'=rbio85; ^=iig> ^'=dbi2i5;

d'où il résulte quatre solutions de l'équation 6x''-\-6xy'j-22g/*z=:3f, dans lesquelles y est positif,

x=:47^9 — 6o5, 5475 — 666 j=:i27, 127, iig, ijg.

la première solution donne pour ^ la valeur de l'expression ^ff|^ ou — ^i^ (mod. ikf) , d'où l'on tire 235og78; la seconde donne ïa valeur opposée; la troisième, la valeur 2600262, et la quatrième, la valeur opposée.

2°. Si l'on doit chercher les valeurs de Pexpression \/— 286 (mod. 42 72g43=ili), le caractère du genre dans lequel sont les classes T se trouve être i et 7,8; Rii; Rj5, C'est donc le genre principal, qui contient trois classes représentées par les formes

On doit négligerla troisième, comme opposée àlaseconde. On trouve deux représentations du nombre M par la forme :r*-f-286j', dans lesquelles y est positif, savoir ,^- = 105, a: = =biii3, qui donnent pour l'expression proposée les valeurs dbi4g3445: et comme M n'est pas représentable par la forme (i4> 6, 23), il s'ensuit qu'il n'y a que les deux valeurs que nous venons de trouver.

3', Etant proposée l'expression \/ — 70 (mod. gOy^Si), les classes T devront être contenues dans le genre dont le caractère est 3^/5^8; R5) A7. Ce genre ne renferme qu'une classe dont

4i6 RECHERCHES

la représenfanfe est (5,o, 14); or on trouve, en enfreprenant le calcul, que 997331 n'est pas représentable par cette formej donc -—70 est nécessairement non-résidu de ce nombre.

329. Le problème où l'on se propose de distinguer les nombres premiers des nombres composés, et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus importans et des plus utiles de toute l'Arithmétique-, tout le monde sait qu'il a été l'objet des recherches des géomètres tant anciens que modernes, et il serait inutile de donner des détails à cet égard. Cependant on ne peut s'empêcher de convenir que toutes les méthodes proposées jusqu'à présent sont restreintes à des cas très-particuliers, ou sont si longues et si pénibles, que même pour ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les limites des Tables dont on est redevable à quelques mathématiciens, c'est-à dire, pour les nombres à l'égard desquels ces méthodes sont inutiles, elles fatiguent la patience du calculateur le plus exercé, et qu'elles ne sont pour ainsi dire pas applicables à de plus grands nombres. Quoique ces Tables, qui sont dans les mains de tout le monde, et que l'on doit espérer devoir accroître encore par la suite, suffisent dans la plupart des cas qui se présentent ordinairement; il n'est cependant pas rare qu'un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent audelà l'emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble demander que l'on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d'un problème si élégant et si célèbre. Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes, dont nous pouvons affirmer la brièveté et l'efficacité d'après une longue expérience, ne plaisent aux amateurs de l'Arithmétique. Au reste, il est dans la nature du problème, que les méthodes, quelles qu* elles soient ^ deviennent d'autant plus longues, que les nombres auxquels on les applique sont plus considérables; cependant, pour les méthodes suivantes, les difficultés ne s'accroissent qu'avec beaucoup de lenteur , 3t les nombres de sept , de huit et même d'un plus grand nombre de chiffires, ont toujours été traités, surtout par la seconde, avec un succès très-heureux, et avec toute la célérité que l'ou peut attendre pour de si grands nombres , qui, suivant les méthodes connues jusqu'à présent, exigeraient

un

un travail intolérable , même pour le calculateur le plus infatigable.

Avant de se servir des méthodes suivantes j il est toujours très-» utile d'essajer la division du nombre proposé , par quelques-uns des plus petits nombres premiers, comme 2,3, 5, 7, etc. jusqu'à ig, ou encore plus loin, non-seulement afin de ne pas s'exposer à regretter d'avoir emplojé des méthodes recherchées et des artifices délicats pour trouver des nombres que la seule division aurait pu donner C^), mais encore parceque dans le cas où aucune division ne réussit, la seconde méthode emploie avec beaucoup de succès les restes qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l'oa doit décomposer en facteurs le nombre 3 1 41 59265, la division par 3 réussit deux fois , et ensuite la division par 5 et par 7 , d'où l'on tire

et il suffit de soumettre à un examen plus méthodique le nombre 997331, qu'on trouve n'être divisible ni par 1 1, ni par i3, ni par 17, ni par 19. De même, étant proposé le nombre 4^4^944^, nous Supprimerons le facteur 8, et nous appliquerons les méthodes au quotient 5428681,

33o. Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d'un autre nombre M, est aussi ré* sidu de tout diuiseur de M. On sait que si M" n'est divisible pan aucun nombre premier plus petit que \/M , M est certainement un nombre premier; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent M, sont p , q, etc., le nombre iî/ sera composé des seuls nombres;?, q, etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que y M, qui se trouve en divisant M par p, q , etc. autant de fois qu'il est possible. Désignant donc par où l'ensemble de tous les nombres premiers au-dessous de M , il suffit évidemment d'avoir tous les diviseurs premiers de M qui sont contenus dans cù. Or si l'on

(*) D'autant plus que, généralement parlant, de six nombres il y en a àpeiae un qui eoit non-divisible par tous les nombres 2, o , 5, 19-

4i8 RECHERCHES

sait d'une manière quelconque qu'un certain nombre r, nonquarré, est résidu de M, on pourra être sîir que tout nombre premier , dont r est non-résidu, ne peut être diviseur de My et parconséquent rejeter de « tous les nombres qui se trouveront dans ce cas (ils composent le plus souvent presque la moitié de tous les nombres de &>). Si l'on sait encore qu'un autre nombre t' est résidu de M, on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans. «, tous ceux dont / est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus r et r' sont indépendans, c'est-à-dire, si l'un n'est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l'autre est résidu , ce qui arriverait quand rr' serait un quarre. Si l'on connaît encore d'autres résidus de M , r" y r'"^ etc. qui soient tous indépendans de ceux qui précèdent C), on peut faire avec chacun d'eux des exclusions semblables, au mojen desquelles les nombres contenus dans cà> décroissent avec tant de rapidité que bientôt, ou ils sont tous effacés, auquel cas le nombre M est premier, on il en reste si peu que la division peat être essayée sans peine*, dans ce dernier cas , parmi les nombres qui restent se trouvent nécessairement les diviseurs de M, s'il en existe. Pour un nombre qui ne surpasse pas beaucoup loooooo , il suffit le plus souvent de six ou sept exclusions; et de neuf ou dix, pour un nombre de huit ou neuf chiffres. 11 nous reste maintenant deux choses à faire, i°. à trouver des résidus de M qui soient convenables et en assez grand nombre-, 2". à effectuer l'exclusion de la manière la plus commode. Mais nous intervertirons Tordre de ces questions, d'autant plus que la seconde nous apprendra quels sont les résidus qui conviennent le mieux.

33 1. Nous avons enseigné avec assez de détails dans la Section IV, a distinguer les nombres premiers dont un nombre donné r est résidu (r n'étant divisible par aucun quarré ), d'avec ceux dont il est non -résidu, c'est-à-dire, les diviseurs de x^ — r d'avec les

(*) Si le produit de tant de nombres r, /, r", etc. qu'on voudra est un quarré, un quelconque d'entre eux, r, par exemple, sera rtsidii de tout nombre dor^t les autres seront résidus. Ainsi, pour que les résidus soient indépencans , il faut que leurs produits ne puissent être des quarrés, soit qu'on les prenne deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc.

xion.diviseurs -, on a va que les preniers étaient ccntemis sous des formes de cette espèce :

rz-i-a, rz + b, etc., ou 4^2+^, 4rZ'\-h, etc. et les derniers sous des formules senblables. Toutes les fois que r est un nombre assez petit, les exclusions pourront s'exc-.-.ter très-commodément, à l'aide de ces fornules-, ainsi, par exemple, j,d ^^i il faut exclure tous bs nombres de la torrae L + 3; tous les nombres de la forme 8z+5 et S. + 5, quand r==2, etc. Mais comme on n'est pas tmjours maître de trouver de tels résidus du nombre proposé, et que l'application des formules n'est plus assez commode quand r est un grand nombre , on ga^ne beaucoup et l'on diminue prodigieusement le travail des exclusions, si pour une assez graide quantité de nombres (r) non-divisibles par des quarrés, pris postivement et négativement, on construit une table dans laquelle oLait distingue les nombres premiers qui sont résidus des différenEnombres (r) , d'avec ceux qui en sont non-résidus. Cette table purra être disposée comme la petite table II qu'on trouve à la & de cet ouvrage, et dont nous avons déjà donné la description n» 99)', mais pour qu elle présente toute l'utilité convenable au bu que nous nous proposons, fes nombres premiers placés en marge, ou les modules, doivent être continués bien plus loin, par exempt, jusqu'à looo ou loooo-, et en outre, on obtiendra un grand av.ntage, si l'on place en tête même les nombres composés et les ombres négatifs, quoique cela ne soit pas absolument nécessaire, 3omme on peut le voir par la Section IV. On atteindrait le ph haut point d'utilite , si les colonnes verticales dont elle est compsée étaient détachées et rassemblées sur des lames ou bâtons semlables à ceux de Neper; desorte que l'on pût considérer séparémet celles qui sont necessairesdans chaque cas, c'est-à-dire, cdes qui répondent aux nombres r, 7', r, etc. qui sont résidus d nombre à decomposer. En supposant ces bâtons convenablement lacés auprès de la première colonne qui renferme les modules, 'est-à-dire, de manière que les parties de ces bâtons qui corresponent à un même nombre premier delà colonne des modules, soien dans une même ligue horizontale, il est évident que les nombrs premiers qui restent daus CO après les exclusions faites avec le^résidus r, r, r , etc.