et

ou avec 5i4i2o et 324104 sont 7853 et 127, d'où l'on tire, comme ci-dessus, 997331 = 7853.127.

ir. On prendra un nombre négatif — Z>, tel que M soit contenu dans une des formes de diviseurs de a;»-j-Z) -, quoiqu'on puisse choisir ce nombre de telle grandeur qu'on voudra, il est avantageux de chercher à rendre le plus petit possible le nombre des classes contenues dans les genres de déterminant — Z). Au reste on ne rencontre aucune difficulté dans la recherche de ce nombre; en effet, parmi une quantité considérable de nombres essajés, il y en a presque autant pour lesquels M soit dans une forme de diviseurs, qu'il y en a pour lesquels M soit dans une forme de non-diviseurs. Il sera donc convenable de commencer les essais par les soixante-cinq nombres du n' 3o3, à partir des plus grands, et s'il se trouvait qu'aucun d'eux ne fût convenable ("ce qui n'arrive, généralement parlant, qu'une fois sur i6384), on passerait à d'autres pour lesquels il u'y eût que deux classes dans chaque genre.

On chercliera alors les valeurs de l'expression v^— -O (mod.il/), et si l'on eu trouve, les facteurs de M se déduiront absolument de la même manière que plus haut; mais si l'on n'obtient aucunes valeurs , c'est-à-dire, si —Z) n'est pas résidu de M , M ne

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sera certainement ni un rombrc premier, ni une puissance cl'mt nombre premier. Quand, dans ce cas, on voudra connaître les facteurs eux-mêmes, il ftudra recommencer l'opération avec une autre valeur de jD, ou recourir à une autre méthode.

Ainsi, par exemple, on trouve que 997531 est contenu dans une forme de non-diviseurs pour jc^-j-i 848, :i:*-f-i365, ^''-j-i320, mais dans une forme de diviseurs de v^*-|-S4o. On parvient pour les valeurs de l'expression \/ — 840 (mod. 997331) aux expressions •4- AJ Zj: -4:;3jj^ jj»^^ [»Qii tire les facteurs déjà connus.

Ceux qui désireraient un plus grand nombre d*exeraples, peuvent consulter le n° 328, où le premier prouve que 5428681=307. 17685^ le second, que 4^72 est un nombre premier j le troisième, que 997331 est sûrement un nombre composé.

Au reste, les limites de cet ouvrage ne nous permettent d'insérer ici que les bases les plus importantes des deux méthodes qui servent à la décomposition en facteurs. Nous réservons pour une autre occasion l'exposition plus détaillée, ainsi que plusieurs tables auxiliaires.