SECTION SEPTIEME

Des Equations qui déterminent les Sections circuhdres,

535. Jr A R M I les accroisseraens importans dont les travaux des modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circu- ^ J Âi laires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante ^ "^^u espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque ^aii/t^ instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères, et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Mathématiques, a occupé avec tant d'assiduité la pénétration des plus grands géomètres, et ils en ont fait une théorie si vaste, qu'on ne pouvait guère s'attendre qu'une partie de cette théorie, partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l'entrée, pîit recevoir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des fonctions trigonométriques, qui répondent aux arcs commensurables avec la circonférence , ou de la théorie des polygones réguliers, dont on ne connaît jusqu'à présent que la plus petite partie, ainsi qu'on le verra par cette Section. Le lecteur pourrait s'étonner de rencontrer une semblable recherche dans un ouvrage consacré à une doctrine qui paraît au premier abord absolument hétérogène*, mais l'exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l'Arithmétique transcendante.

Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons d'exposer, s'étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir ici; ils peuvent en effet s'appliquer non-seulement aux fonctions circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d'aulres fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de

/' d V — -, et en outre àdifferens genres de congruences;

mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fonctions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches

4^o RECHERCHES

arithmétiques lions traiterons amplement des congruences, nous avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires , et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur généralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va le voir dans le n° suivant, tant dans le dessein d'abréger, que pour rendre d'une intelligence plus facile les principes tout-à-fait nouveaux de cette théorie.

356. Si nous désignons par P la circonférence du cercle, ou quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres m et n, et n égal au produit des facteurs premiers entre eux a,

h, c, etc.-, l'angle A-:=z— peut, par le n* 5io, être mis sous

la forme

et les fonctions trigonoraétriques qui en dépendent se déduiront, par les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux parties-—, -r-, etc. Ainsi, comme on peut toujours prendre pour

Ci hf c, etc. des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d'un, nombre premier, et le poljgone de n côtés se déduira sur-lechamp des polygones de a, b, c, etc. côtés. Cependant ici nous bornerons nos recherches au, cas où l'on doit diviser le cercle, en un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant

que les fonctions circulaires qui répondent à l'angle —7- , se dé-

duisent de celles qui appartiennent à l'angle — par la solution

d'une équation du degré /?•, des premières on déduira, par une

équation de même degré, celles qui appartiennent à l'angle — ^ j

de manière que, si l'on connaît déjà le poljgone de p côtés, on a nécessairement besoin de la résolution de A — i équations du

degré y[? pour obtenir le poljgone de p côtés*, et même si nous pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n'en serions pas moins conduits au mêmie nombre d'équations du degré p ,

ARITHMÉTIQUES. 45i

qui ne peuvent se réduire en aucune manière j si p est un nombre premier.

Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de 17 côtés peut être construit géométriquement; mais pour déterminer le poljgone de 289 côtés, on ne peut éviter d'aucune manière l'équation du dix-septième degré.

337. Tout le monde sait que les fonctions irigonométriques des angles — , >^désignantindéfinimentlesnombres o, i,2,...?i — i, sont les racines d'une équation du degré n\ ces équations sont;

cosinus, .»X..«-^4-^. ^^^ ^"-^-à."^"":^/r'^-"-^+etc.= -W- . (II),

tangentes,cc^-'l^l^^-^ + <^^- ^\^---^ ^^-^J^^-i + etc.

.nx = o.