Problème. Étant donnée Véquaiion (W) z™-|-Az°i

■-|- etc. = G , trouver une équation (W) , dont^ les racines soient les puissances K de celles de V équation (W) , A étant un nombre entier positif donné.

Désignons les racines de l'équation {TV) par a, h, c, etc. ,

celles de l'équation (TV) devront être a^ , b^, c\ etc. Or , par le théorème de Newton , on peut trouver en fonction des coefficiens de l'équation (J^) , la somme des puissances quelconques des racines a, b, c, etc.j on cherchera donc les sommes

a ^b '•\^c -f-etc, a -|- ^ H- c + etc., etc. ,

jusque a -]- o -i^ C -j-etc,,.

d'Oll

d'où par le procédé inverse tiré du ni*me théorème y on pourra déduire les coefficieiis de Véqusitïrv ^^PP '). On voit en même temps que si les coefficiens de Ter'-^tion {TV) sont tous rationnels, ceux de l'équation (^PV) le set'^^ aussi 5 on pourrait même prouver par une autre voie , que si -'*^s premiers sont entiers , les autres le seront; mais comme '"^ théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arrêt*^^^^ P^^ ^^^'

359. L'éo^a^ioJi a;"— I = o (en supposant, comme il faut toujours le f?-6 P^ï^ la suite, que n est un nombre premier impair), ne r'- -erme qu'une seule racine réelle a; = i ; les n — i autres , çii sont donnés par Téquation

^"~' + ^"=' + etc. + :c -I- I = G, (X)

sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l'ensemble par Cl, Si donc r est une racine quelconque de X=: o , on aura

1 = r" = r*" = etc. , et généralement i = r** pour toute valeur entière de e, soit positive, soit négative. D'où l'on voit que si À et;* sont des nombres entiers congrus suivant n,

on aura r :=ir -, mais si A et ;* sont incongrus suivant le module n , r et r^ seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier v , tel qu'on ait

(X— .;a)v=i (mod.Tz), et partant, /^"^^'ssr;

donc r ^ ne sera certainement pas = i : or il est clair que toute puissance de r est racine de l'équation x" — 1=0; parconséquent comme toutes les quantités 1 = 7°, r, r^ r^ 7-"-!.

sont dififérentes , elles représentent toutes les racines de l'équation

^^ — 1=0, et r, r* r"-* coïncident avec les racines H. On

conclut facilement de là que Ci coïncide avec r' , r*' r^ jKn-Oe^ d étant un entier quelconque , positif ou négatif, et nondivisible par n. On aura parconséquent

X==(a: — rO (^ — 7-0 (x— r^O (jc— y-'-o.) .

d'où r' -f- r*' + r!f + ^ ^^Ct- o^ ^ .

et I -|-r'-|-r*' -|- 7"^" Z •> = o.

Nous appellerons réciproques deux racines telles, que r et -; on •i liî

plus généralement r', r-\, et il est clair que le produit des deux facteurs simples x — r et iv^^ i est

œ^ — 2.x cos cù -f- -

l'angle co étant = —, ou à un de ses multip.v,.^