Ainsi, comme en représentant une racine de y ^ mr t

toutes les racines de l'equation .x" — 1=0 sont expriii^gg i différentes puissances de r, le produit de plusieurs d'enù. „„„ „.

cines pourra être exprimé par 7^ , de quelque manière qu'il sux composé, À étant = o, ou positif et -< /z j et si l'on désigne par

(p (t, u , Uy ) une fonction algébrique rationnelle et entière

des indéterminées /, u, p», etc., dont les différens termes soient

et, (S

de la forme ht u u^ , etc., il est évident , qu'en prenant pour ty Uy r, etc. quelques-unes des racines de l'équation a;" — i =:o,

par exemple, tz=:.a, uz=.b , i^ ^=: c , etc., (p{t ^ u, i> ) pourra

être mise sous la forme

A 4- Ar + A"r^ + A^r^ + + ^^^ V''= ' ;

de manière que les coefficiens A , A , etc. (dont quelques-uns peuvent être =0), soient des quantités déterminées j et tous ces coefficiens seront entiers , si tous ceux qui sont représentés indéfiniment par h sont des nombres entiers. Si ensuite l'on substitue «% h^ , c" pour ty Uy u respectivement, le terme tel que

ht u u^ qui se réduisait à r , se réduira par la nouvelle

substitution, à r , déserte que l'on aura

On aura de même en général , /a étant un nombre entier quelconque

proposition extrêmement importante , et qui sert de base aux recherches que nous allons faire.

Il suit de là que

A R I T H M Ji T I Q U£ s. 435

et que

Ainsi cette somme ec toujours divisible par n, quand tous les coefficiens déternnés (tels que /z), dans <p(^, u, u.,.) sont des nombres entifS.

341. TiÉORÈME. 6'/ la fonction X (n° 559) ^^^ dwisible par une f on lion d'un degré inférieur "'

P=:xVAx^~' + Bx'~Vetc. + KxH-L,

A coefficiens A, B,...L «^ peuvent pas être tous entiers ni Utionnels,

Soit X=PQ, (tt) l'ensemble des racines de Péquation P=o , (X) l'ensemble des racines de Téquation Ç=o, ensorte que D. soit composé de (tt) et de (%); soit encore (p) l'ensemble des racines réciproques aux racines (tt) , et (u) l'ensemble des racines réciproques aux racines (x), et supposons que les racines contenues dans (p) soient données par l'équation /?=o, qui sera évidemment

a: 4-^-^ H-efc.4--:i:4--=:o,

tandis que les racines contenues dans (cr) seront données par l'équation S:=o. Il est manifeste que les racines (p) et (<7) prises ensemble composent n, et qu'ainsi l'on aura RS:= X. Cela posé , nous avons quatre cas à distinguer :

1% Quand (tt) coïncide avec (f) et qu'on a parconséquent Pz=zB, Dans ce cas les racines (?r) seront réciproques deux à deux, et parconséquent P est le produit de ^À facteurs doubles tels que

^* — 2xcosco'j-- 1 = (x — cos&)*-f-sin*«,

d'où il suit que quel que soit x , pourvu qu'il soit réel , P obtiendra une valeur réelle positive. Soient

les équations qui donnent les quarrés, cubes, biquarrés, e c,

4^j6 recherches

77—1 piûssctnces, des racw^is (-tt), et p, p', p',. , ,p^' les valeurs

de P, P', P"...P respectivetneiiL> quand on y fait a;=i: par

ce qui a été dit précédemment yt?, ;^'. .77^ seront des quantités réelles et positives. Or p est la valeur qiî^btient la fonclion

(i — ^)(i — «) (i — 'P) etc.

quand on j substitue pour t, u, ^, etc. les racaes ('tt) j p' est la valeur de cette même fonction, quand on subsitue pour ty Uy ^t etc. les quarrés de ces mêmes racines j et d'aïl?urs la valeur qui résulte delà supposition /=i,z/=:i,;^=i, éc., est

évidemment =oj donc la somme ;[7-f-yt?'+yt?*-f- etc. -j-^o" serc entière et divisible par n : en outre on voit facilement que le f o-

duit PP'P\ . . = X\ et partant pp'p" . . . z=.n".

Maintenant si tous les coefficiens de P étaient rationnels , tous> ceux de P', P", etc. le seraient aussi, par le 11° 538, et par le n° 42, ils seraient tous entiers; donc p, p, p" , etc. le seraient^

comme d'ailleurs le produit de ces derniers nombres est n^ , et que leur nombre est tz — i >A, plusieurs d'entre eux devraient être égaux à i , et les autres seraient égaux à n, ou à une puissance de n. Si donc il y en a gf qui soient égaux à i , on aura p ^p' -f-yt?" + etc.^^ (mod. 77),

et partant non-divisible par n. Donc la supposition ne peut subsister.

2\ Quand (tt) et (p) ne coïncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes, soit (t) l'ensemble de ces racines, et 7'= o l'équation qui les donnerait j il suit de la théorie des équations que T sera le plus grand commun diviseur des fonctions P et R, Or il est évident que les racines comprises dans (r) sont réciproques deux à deux, d'où l'on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de T ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessairement si tous les coefficiens de P et partant ceux de R étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l'opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun j donc cette supposition est absurde.

%\ Quand (x) et (p) coïncident, ou du moins renferment des racines communes, on prouvera de la même manière, que tous les coefficiens de Q ne peuvent n=^ ^tre rationnels; or ils le seraient nécessairement si c^^^ de P l'étaient; donc cette dernière supposition est impossi^^®*

4°. Si enfin il ^y ^ aucune racine commune ni à (tt) et (p), ni à (x) et ((7j> toutes les racines (tt) coïncideront nécessairement avec \f^ racines (<j) , et les racines (%) avec les racines (p) , et partan^^ on aura F:=^S, Ç = i?; donc

d'oij resuite , en faisant a:=i,

C>r si tous les coefficiens de P étaient rationnels , ils seraient entiers (n° 4^)* partant ceux de jR le seraient aussi; donc L, qui devrait diviser l'unité, dernier terme de X, ne pourrait être que rb I , et il s'ensuivrait que dzn serait un quarré, ce qui est absurde , puisque n est un nombre premier.

•Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l'on décompose X en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d'entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le premier degré.

342. Le but de nos recherclies, qu'il n'est pas inutile d'annoncer ici en peu de mots, est de décomposer X gradiielle/nenê en un nombre de facteurs de plus en plus grand , et cela de manière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déterminés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu'à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines SI, Nous ferons voir que si l'on décompose le nombre p — I en facteurs entiers quelconques a, /3, ^, etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers), X est decomposable en oc

facteurs du degré —^t dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré a ; que chacun de ces facteurs est decomposable en /3 facteurs du degré ^^, à l'aide d'une équation dç

4 j6 recherches

degré ^, etc. Desorte ^ue v étant le nombre des facteurs a, /3 , y, etc., la reclierclie des racines Q. est ramenée à la résolution de V équations des degrés ct> ^, ^, etc.

Par exemple, pour « = 17, on a n — 1 = 2.2.2.2; il faut résoudre quatre équations du second degré , pour nz=:'^5,i\ faut en résoudre trois du second et deux du troisièm.

Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des pdis-' sauces de r dont les exposans sont eux-mêmes des puissances , et que ces sortes d'expressions se prêtent difficilement à l'iiApression, nous userons de l'abréviation suivante pour r, r% H, etc Nous

écrirons [i], [2], [5], etc. et généralement [A] pour r , À ftant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entièrement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l'on prtsnd pour ?' ou [i] une racine déterminée de €1, Ainsi [A] et \fxj seront en général égaux ou inégaux, suivant que A et fJL seront congrus ou incongrus suivant le module 72. En outre on a

[o]=i, [A].[^] = [AH-/*], [Af=[A/^],

et [o] + [A] + [2A]-f [3A]-f-etc. + [(«— i)A] = o, ou n, .

suivant que n est non-divisible ou divisible par n»

543. Si, pour le module n, g est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives , les tz— i nombres i, g, g%...^"-' seront congrus aux nombres i, 2, 5,. ..72 — i, suivant le module n ., quoique l'ordre ne soit pas le même, c'està-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un ^ de ceux de la seconde. 11 suit de là que les racines

coïncident avec £l \ et de même plus généralement

coïncident avec H , si A est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par 72. Et comme on a ^"""'^i (mod. tz), on voit

sans peine que les deux racines [A^ ], [A«-] sont identiques ou différentes , suivant que ^ et y sont congrus ou incongrus suivant le module n — i.

AKITHMÉTIQUES. 459

Si donc G est une autre racine primi^ie, les ïacines [i] ,

[g],. ... [^""T coïncideront ainsi avec leTacines [1] , [G] ,

[6'"""], abstraction faite de rordrea.vIais en outre, on prouve facilement qne si 6 est un d^iseur de n — i, et qu'on pose 7z— 1 = ^, g'=^hj G^=', les/ nombres

I h, h% h\ hi-\

sont congrus, su.i.nt le module « , à ceux-ci:

sans avoir é-^d à l'ordre. Supposons en effet G^g (mod.//), et soit fjL y nombre quelconque positif et <,f, et v le résida vilnimur^^^ /*« («lod./"), on aura ve'^fJLooe (mod. n — i), donc

g ^^ ^^^ (mod.Tt) ou H ^h ,

c't 'a-dire que tout nombre de la première suite i, /z, h*, etc. c congru à un de ceux de la seconde i, H, H* 3 etc., et ré- ^proquement.

Il suit de là évidemment qu'il y a identité entre les racines

[.], [A], [A-],....[A/r'] et [i], [ff], [ff =],.... [ff/-],

OU plus généralement entre les racines

[à], [aA»], [AÂ],...[à/z/-'] et [À], [XH-], \XH^'\,...[KHf-^-\,

Nous désignerons par (•/, A) la somme de semblables racines, telle que

[A] -f- [A/z] + [a7z=] 4- etc. + [A/z/-^] ;

et comme elle ne change pas , lorsque l'on prend pour g une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante dcjO-, et V ensemble de ces racines s'appellera -période (/ A), dans laquelle on ne considère pas l'ordre des racines (*).

Pour présenter une pareille période, il sera convenable de réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple expression, en remplaçant les nombres A, A/i, A/z', etc. par leurs

(*) Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de ^'aIeur numérique de la période , ou même celui de période , lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité à craindre.

44o RECHERCHES

résidus minima, sniv^f le module n; et si l'on veut, on peut ordonner les termes de ...période suivant la grandeur de ces nombres.

Exemple, Pour 72=19, 2 est raV.Q primitive, et la période (6, i) est composée des racines

ou [i], [7], [8], [11], [12], ^-iSJj

de même la période (6, 2) est composée des raciu'

M, [3], [5], [.4], [16], [17]; la période (6, 3) coïncide avec la précédente, et If période (6, 4) contient les racines

[4], [6], [9], [>o], [i3], [.5]. 344« On remarquera, au sujet de ces périodes, les obse-.^ tions suivantes, qui se présentent d'elles-mêmes:

i*. Comme on a Xh^^X, xM-^'^Kh, etc. (mod. tz), il esfc évident que les périodes

(/. ^), (f> >^h), (/, Xh^), etc.

sont composées des mêmes racines, et généralement si X' est une racine quelconque de (f, A), cette période sera identique avec (y, X'). Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine période , il ne s'en trouve qu'une seule dans une période semblable: et il est clair que si les racines [A], [A'] appartiennent à la

même période, la valeur de l'expression — (mod. tz) sera congrue

à une certaine puissance de h , ou que l'on peut supposer

X' ^Xg^ (raod.Tz).

2». Si f=^n — I, on a ^ = 1, et la période (/", i) coïncide avec H; mais dans les autres cas Q. sera composé des e périodes (/, I, {f,g), (/,^0,etc. ,.,. (/, g'-'), et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable (f, X) coïncide avec l'une d'elles,

pourvu

ARITHMETIQUES. 44i

pourvu que [a] soit une des racines fL , c'est-à-dire, que X ne soit pas divisible par /?. Quant à la période ( /, o) ou ( f^ kn), elle est évidemment composée de y unités. On voit même que si À est un nombre quelconque non-divisible par n, l'ensemble des e périodes

(/, A), (/, xg), if, xg-), (/, >^)...U> >^'-')

coïncide encore avec H.

Ainsi, par exemple, pour 7z = ig et fz=.Ç>, Cl est composé des trois périodes (6, i) , (6, 2), (6, 4)> à une desquelles toute autre semblable, excepté (6, o), peut être ramenée.

3". Si n — I est le produit des trois nombres positifs a j h, c, il est évident que toute période de bc termes est composée de b périodes dont chacune a c termes, c'est-à-dire que (Jbc, A) est composée des périodes

(c, A), (c, A^^), (c, A^O^-'-'C^^ ^8^'-')', c*est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans {bc, A).

Ainsi, pour 72 = 19, ^* période (6, i) est composée des trois (2, i), (2, 8), (2, 7), dont la première contient les racines r, r'^j la seconde, r% r'*; la troisième, r% r'*,

345. Théorème. Soient (f. A), (f, jjC) deux périodes sem* blables, identiques ou différentes, et [A], [A"], [A*], etc. les racines qui composent (f. A); le produit de (f. A) par (f, /-t) sera la somme des f périodes semblables , c'est-à-dire ,

Soit comme plus haut n — iz=.ef, g une racine primitive pour le module n , et hz=.g% on aura par ce qui précède

(/, A) = (/, Xh)^{f, A/2O, etc.i

le produit cherché sera donc

€t partant

Kkk

[ X+;a ]-|-[a;z -f-/* ]+[Kh^'\-fA ] 4.[x//-'4-;a ]

+[?v A -^fJLh ]-|-[A/i'-f-/*^ ]4-[A/23-f-^/i ] 4-[A// +/A/Ï ]

+ elc. '

Cette expression contiendra en toiity''* racines, et si l'on prend séparément la' somnie de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l'avons annoncé, égale à

or A'^A/z, A'^A/z% etc., suivant le module tï, et partant

A'+/>t^A/i +//(-,. A'^- /x, ^ A/i* -f- ;a , etc.

Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans :

i", k étant un nombre entier quelconque, le produit de {f, k?) par {/, k/j,) est

(/, k (A+/X)) + (/, k (A'4-/^)) + (/, ^(A"-!-/^)) -I- etc.

2*. Comme les différentes parties qui composent Tf^ coïncident évidemment avec (/*, o)=/z, on avec une des périodes

il est évident que ff^ peut se ramener à la forme suivante :

où les coefficiens a, b, h', etc. sont entiers et positifs ou quelques-uns = oj et en outre, que le produit de (y^ àA) par (j/^ ku). devient alors

'^f-¥Kf, ^)+V{f, sV)+hXf, i?'A) + efc. +2-^'^/. r-'V). Ainsi, 'pour 72 = 19, ^® produit de la somme (6, i) par ellemèiue, ou le quarré de cette somme, est

(6, i)-\-{%, 3)+(6, 9)-|-(6, i2)-|-(6, i5)-f(6, 19), ou 6+2(6, 04-(6, 2)+2(6, 4).

5°. Comme le produit de chacun des termes de W par une période semblable ( /", v) peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit (/, ^)'{f> f^)'(^ft 0 P^^* ^^"^^ ^^~ présenté par

c/+^(/, !) + «?'(/. ^) + etc. 4- /''V/ ^-).

c, d, d'y etc. étant tous entiers et positifs, et qireu outre, si ^ est entier, on a

(/, Xk).{f, fAk),{f, vk)z=cf+d(f, k) ^ etc. ^d^'\f,g^-^k).

On étendra de la même manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu'on voudra , et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie différentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques.

4% Il suit de là que si dans une fonction algébrique rationnelle et entière F = (p> (t, u, ç/...),on substitue pour les indéterminées t, Uj u, etc. respectivemeEt, les périodes semblables (/' ^) > iff 1^)> (/' '')' ^^C' » la valeur de cette fonction est toujours réductible à la forme

^ H- B (/, 0 + B'{f, g) + B\f, g')... .+ B^'^ (/, g"') , et que les coefficiens A, B, B', etc. seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction F le sont eux-mêmes. Si ensuite on substitue pour t, z/, i^, etc. respectivement les périodes {f, XA), (^f> f^^)> (ff y^)> la valeur de inséra de la forme A + B(f,k)-{^ B\f, kg) + etc.

546. Théorème. Si l'on suppose qiie A est un nombre non-^ dwisihle par n, et que pour abréger on fasse ( f , X)=p, toute autre période semblable (f, //.) oà yu est aussi non-divisible par n, peut être mise sous la forme

a 4- i®P 4- >P* H- ^^^* H- Qp^~' > de manière que les coefficiens cl, ^, y , . . .^ , soient rationnels et déterminés.

Désignons par;^^ p\ p"* , etc. les périodes (/, Xg'), (/, X^*), etc. jusqu'à (/, X^'-'), dont le nombre est e — i, et avec une desquelles (y, pC) coïncidera nécessairement. On aura sur-le-champ l'équation

oz=.i-^p-^p' 4-/ 4- ;»"' 4- etc (I) ,

et en formant, d'après le n* précédent, les puissances de p jusqu'à z?'~' , on aura les c — 2 autres équations

'444 îî K C H E R C H E S

o ^ p' -}^ A -i- ap + ap' -^ a'p" + a'Y + etc' .^ . . (TT)

o = ;>^ -f- ^ + Z77 + b'p'+b'p" + ^V H- etc.. . .(Til)

o = ;;* -f- ^ + ^yf^ + c'p' + ^V + c'^'" + etc. . . .(TV) , etc.

où tons les coefflciens Af a, a', etc., B, h, V, t{c,\ etc. sont entiers et indépendanr. de Â, ainsi qu'on peut le conclure du n" précédent-, c'est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu quelle que soit la valeur que l'on donne à À: cette remarque s'étend à l'équation (I) , pourvu que X ne soit pas divisible par n.

Supposons maintenant (/^ ft) ==/?'• si (/) p) était égale à une autre des périodes p" , p", etc., il est évident que l'on pourrait employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des équations (I), (II), (HT), etc. est e — i , les quantités;?", p"', etc., dont le nombre est e — 2, pourront être éliminées de manière à ce qu'on ait une équation telle que

G =^' -f- 5> 4-C>*-|- etc. 4-My-^ + IS'p (Z),

dans laquelle A', B',...N' sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si IS' n'est pas =0, il est clair que cette équation donnera pour ;o' une valeur de la forme annoncée; ainsi il ne nous reste plus qu'à démontrer que l'on ne peut avoir A'^^o.

En supposant iV'=o , l'équation Z devient

M'p'-' + etc. H- C>» + 5>+ ^ =0,

à laquelle ne peut satisfaire au plus qu'un nombre e — i de valeurs de p. Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de A, il est clair que l'équation Z elle-même ne dépend pas de A, c'est-à-dire qu'elle a lieu pour toute valeur de A entière et non-divisible par n. Cette équation sera donc satisfaite par les valeurs des e périodes

d'où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu'elles contiennent respectivement les racines

et quL les nombres ^, (^', «^"^ etc., >?, >i', /, etc. soient positifs et<;7^, ce qui est permis -, il est évident qu'ils seront tous, difiéreiis , et qu'aucun d'eux ne sera =o. Désignons par J^ la fonction