RECHERCHEE

iS^] , . . . . [^""^l » et la seconde les racines [^] , [g^] ; [^] ,.,..•* ^ [^"~^]. Supposons que les résidus minima positifs des nombres g', g^, .... g"~^ suivant le module n , soient R, R% R", etc. , abstraction faite de l'ordre, et que les résidus des nombres g, g^. ..^"~* soient N, N', N", etc.-, les racines des périodes (m, i) et {m, g) coïncideront avec

[i], [R],[R']r [K], etc. , [N], [AT, [iV], etc.

respectivement. Or il est clair que tous les nombres i , R , R', R" , etc. sont résidus quadratiques de /z; comme ils sont différens,

moindres que n et au nombre de , il s'ensuit que ce sont

effectivement tous les résidus quadratiques de w , positifs et plus petits que lui (n° 96). Il suit de là en même temps , que les nombres N , N', ]S" f etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres \ , R, R', etc., et qui , joints à ces derniers, épuisent les nombres 1,2,3... 72— I, sont tous les non-résidus quadratiques positifs de n et plus petits que lui. Si l*on suppose maintenant que l'équation dont (m, i), (jTif g) sont racines, soit

vX' •— « Ax -f. -5 = o , on a

or (a" 345),

(m,i)x(m,g):=(7n,N-\-i)-i'(m,N'+i)-\-(m,N''-^-^)+etc,z=zjr', et peut parconséquent êfre mis sous la forme

CL {m, o) + /3 (m, i) + > (m, g).

Pour déterminer les coefïiciens o,, ^, y, observons: i*. qu'on a a -^ |3 + ^ = G , puisque le nombre des périodes de PF" est m j 2°. que l^ = y (n" 55o), puisque (//z, i) X {^) g) est une fonction invariable des sommes (jii, i) et {m, g) qui composent la période plus grande {n — i , i); 5°. que tous les nombres N -\- j, IS' -\- i , A'.H- 1 , etc. étant compris entre les limites 2 et tz -}- i , il est clair que nulle période de TV ne coïncidera avec (/z , o), ou qu'il n'y en aura qu'une, par exemple (772, n^\ on aura donc ût= i , ou c=o , suivant que n — i sera ou ne sera pas parmi les nombres N, N't etc.; il suit de là que dans le premier cas on aura a=i,

^=5/=—^^^, et dans le second ct = o, /3 = 5/= — ; et comme j3

et ^ doivent être entiers, le premier cas aura lieu , c'est-à-dire que n — I ou — I se trouvera parmi lesnon-résidusde tz lorsque m sera impair, c'est-à-dire lorsque n sera de la forme 4^2+5; le second aura lieu au contraire quand ttz sera pair, c'est-à-dire quand n sera de la forme 4«+i. Ainsi, comme on a (/tz, o^z=.m, et (772, i) + (/7z> ^) = — i, le produit cherché sera donc , suivant les mêmes circonstances ,

-(/72-f-i), ou ^^^^—m, et l'équation sera , dans le premier cas ^

a;* + ,3:-|-|(/z-f- i) = o, qui donne x-=. — ^ zfc: ^ / \/n , et dans le second

x*'{-x — J(7z^i) = o, qui donne :c = — i =i= | V^n, Ainsi, quelle que soit la racine que l'on ait prise pour [i], si Ton désigne par 2 [R] la somme de toutes les racines [1] , [/?] , [B!]f etc., et par 2[iV] celle des racines [iV], [N]' , etc. On aura

2[iî] — 2[iVJ=±v/7z, ou =z±ix/n, suivant que tz ^ i ou ^ 5 (mod. 4). H suit facilement de là que k étant un nombre entier quelconque non-divisible par /z, on a

2 cos 2 cos = ± vn , ou = o ,

^ . kRP ^ . kNP . /

2 sin 2 sm = o , ou ± wn ,

suivant que tz ^ i ou ^ 3 (mod. 4), théorèmes remarquables pan leur élégance.

Au reste , nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand k est l'unité, ou plus généralement quand k est résidu quadratique de 7z, et le signe inférieur, quand k est non-résidu. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent encore davantage, lorsque n est un nombre composé quelconque; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement , et de les réserver pour une autre occasion.