ZZ = =: X
On peut donc mettre z sous la forme
où Rf S , léseront des fonctions entières de x , dont les coefficiens seront entiers. Cela fait , on aura
Faisons, pour abréger, {m, \) z=z p , (in , g) z=:^ q ', on tire de ces équations
22'= =271—5— r+(r— 5) ip-q)\
donc posant 2R — «S— T'= JT, T — S z=: Z , on a
4X= jr» — (;7 — ^)»2» == jr*q= 7zZ%
puisque (/? — ^)* = =h 77 (n" précéd. ) , le signe supérieur ajant lieu quand n est de la forme /^k-\' 1 , et le signe inférieur quand n est de la forme /^k + 3. C'est le théorème dont nous avons promis la démonstration au n° 124.
On voit facilement que les deux premiers termes de F" sont a^m -|- a;'""' , et que le premier terme de Z est jc*""* ; quant aux autres coefficiens , qui sont évidemment entiers , ils varient suivant la nature du nombre n, et ne peuvent être soumis à une formule analytique générale.
Exemple, Pour «=17, l'équation qui donne tes htiit racines contenues dans (8, i), se trouve être (n° 348),
a-8 — ;7jc^+(44-;7 + 29'):i:«--(4yt7 4-5^)a:5-f-(6+3;7 + 57);t^ — (4/? + 3^)jc^-|-(4'-f-/? + 2^)a;* — px-^" I ;=o^
ARITHMÉTIQUESo 467
qui donne
/?= a;»-f.4jc'^ + 6x*4.4jr:*-f-i,
et partant,
jr= 2a;« + a;^ -f- 5x^ 4- jx^ -f- 4^* 4- 7^' + Sx* -f- oî -f- 2 , Z= cr'-f-a?^-f- a?^-f-2^4- a;' -f- a:*-f- a?.
Voici encore d'autres exemples :
3 •iX -f-i !•
7 2Jp +a:* — x^a x* -^x.
11 ax^ +j:4 — 2x'-f-2^— ^' — 2 a^ -{-X.
19 2x9 ^x* — 4r'+3x^+5x5— 5jc*— 3x^
558, Passons à la considération des équations du troisième degré qui , dans le cas où n est de la forme 5;^ -f- i , donne les trois périodes de T* termes dont fl est composé. Soit g une racine primitive quelconque pour le module n , et ~ ■ = m qui sera un nombre pairj les trois périodes qui composent H seront (m, i), (^>§) > (j^* s") ^ue nous désignerons par p , p', p' , et qui contiennent respectivement les racines
is'll^]>[ë'],---[g'-']-
Supposons que l'équation cherchée soit
x^ — Ax* + Bx — C=: o , on aura
A=^P'\'P''^p\ B^pp'-{^pp'+p'p\ Cz=^pp'p%
d'où l'on tire sur-lc-cîiamp ^ = — i. Soient a., ^,y, etc., les
