HE CHERCHES

résidus minima des nombres g^ , é'^ • • • ë"~^ suivant le module n , abstraction faite de l'ordre , et K leur ensemble, en y comprenant i-, soient de même cl , jS', y\ etc. les résidus minima des nombres^*, g^,. . . g""^, et K' leur ensemble; cl", jô", y", etc. les résidus mini' ma de g'', g^ . . .^"~*, et R" leur ensemble. Tous les nombres deiï^ K', K" seront difFérens, et ils coïncideront avec la suite i, 2, 5, . . . 72 — 1. On doit observer avant tout que le nombre n — i se trouve toujours dans K, puisqu'il est facile de voir qu'il est résidu de

g* . Il suit de là aussi que les deux nombres h et n — h se trouvent toujours dans la même des trois suites K , K% K" ; en effet, si l'un

est résidu de la puissance g \ l'autre sera résidu de la puissance

^'"^^'^ ou â''"^^"', si A > I m. Désignons par le signe {KK) la

multitude des nombres de la série i, 2, 3 p — i, qui tant

par eux-mêmes qu'étant augmentés de l'unité, sont contenus dans K-, par {KK') la multitude de ceux qui sont contenus dans K par eux-mêmes , et dans K' lorsqu'on les augmente de l'unité; on jugera assez par là de la signification des sjmboles

{KK")y (K'K), (K'K'), {K'K") , iK'K), (K'K') , {K"K''). Cela posé, je dis d'abord qu'on a (KK'):=:(iK'K). Supposons en effet que h, h', h", etc. soient tous les nombres de la suite i,2,3,....;o— I, qui par eux-mêmes sont contenus dans K et dans K' lorsqu'on les augmente de l'unité ; c'est-à-dire que ^-j I , h' -i- i, h" -j- 1, etc. sont supposés tous contenus dans K', il est évident que n — /z— -i, n — h' — i, n — h' — i, etc. seront tous contenus dans K' , et que ces nombres augmentés de l'unité, savoir, n — h, n — h',n — h", etc., le seront dans K; d'où il suit que (^K.'K) n'est certainement pas plus petit que (KK'); mais comme on démontre de la même manière qu'on ne peut avoir ÇKK'X(K'K), il s'ensuit qu'on a nécessairement {KK'):={K'K), et de même (^KK''):={R''K') , (A'A") = (Z^"^').

Ensuite , comme en considérant un nombre quelconque de K, n — I excepté , le nombre immédiatement plus grand doit être contenu ou dans K , ou dans K' , ou dans K" , il s'ensuit que la

somme